18三角函数的综合问题.doc

第 1 页 共 12 页 江苏省江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编届一轮复习数学试题选编 10 三角函数的综合问题 三角函数的综合问题 填空题 1 已知锐角满足 则的最大值是 A Btan 2tanABA tan B 答案 2 函数的所有零点之和为 1 sin 1 13 f xxxx 答案 4 3 已知 均为正数 且满足 则的值为xy 4 2 sincos xy 22 2222 cossin10 3 xyxy x y 答案 3 4 函数 4 log 0 cos 0 x x f x x x 的图象上关于原点O对称的点有 对 答案 3 5 函数xxxxycossin2sincos 22 2 0 x的最大值为 答案 2 6 每年的 1 月 1 日是元旦节 7 月 1 日是建党节 而 2013 年的春节是 2 月 10 日 因为 新年将注定不平凡 请在括号内填写一个由月2sin11 sin71 sin 30 sin2013 sin210 份和日期构成的正整数 使得等式成立 也正好组成我国另外一个重要节日 答案 101 本题的一般结论是 可以应用课本习题中结论 xxxx3sin60sin60sinsin4 00 证得 22 sin sin sinsin 7 在 ABC 中 若9cos2 4cos25AB 则 BC AC 的值为 答案 2 3 8 若x y 满足 2 2 2 2 1 log 4cos lnln 4cos 22 ye xyy xy 则 cos4yx 的值为 答案 1 9 给出下列四个命题 其中不正确命题的序号是 第 2 页 共 12 页 若 Zkk 2 coscos 则 函数 3 2cos 2 xy 的图象关于 x 12 对称 函 数 cos sinRxxy 为偶函数 函数 sin xy 是周期函数 且周期为 2 答案 1 2 4 解答题 10 已知向量 cos sin3 31 1xnxm 1 当nm 时 求 xx xx cossin cossin 2 23 3 的值 2 设函数mnmxf 求 f x的单调增区间 3 已知在锐角ABC 中 cba 分别为角CBA 的对边 sin BAac 2 23 3 对于 2 中的函数 f x 求 8 8 Bf的取值范围 答案 第 3 页 共 12 页 11 如图 两座建筑物CDAB 的底部都在同一个水平面上 且均与水平面垂直 它们的高度分别是 9 cm 和 15cm 从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物CD的视角 45CAD 1 求BC的长度 2 在线段BC上取一点 P点 P 与点CB 不重合 从点 P 看这两座建筑物的视角分别为 DPCAPB问点 P 在何处时 最小 A B D C P 第 17 题图 答案 作AE CD 垂足为E 则9CE 6DE 设BCx 则 tantan tantan 1tantan CAEDAE CADCAEDAE CAEDAE 96 1 9 6 1 xx x x 化简得 2 15540 xx 解之得 18x 或3x 舍 答 BC的长度为18m 设BPt 则18 018 CPtt 第 4 页 共 12 页 22 915 16266 27 18 tan 915 1813518135 1 18 tt tt tttt tt 设 2 27 18135 t f t tt 2 22 542723 18135 tt f t tt 令 0f t 因为018t 得15 627t 当 0 15 627 t 时 0f t f t是减函数 当 15 627 18 t 时 0f t f t是增函 数 所以 当15 627t 时 f t取得最小值 即tan 取得最小值 因为 2 181350tt 恒成立 所以 0f t 所以tan 0 2 因为tanyx 在 2 上是增函数 所以当15 627t 时 取得最小值 答 当BP为 15 627 m 时 取得最小值 12 已知复数 求 1 求的值 sincos 1 iz sincos 2 iz 5 5 2 21 zz cos 2 若 且 求的值 2 0 2 13 5 sin sin 答案 解 1 sin sin cos cos 21 izz5 5 2 21 zz cos 5 52 sin sin cos cos 22 5 3 2 5 4 2 2 0 由 1 得 cos 0 22 5 3 sin 又 sin cos 5 4 13 5 13 12 sin sin sin cos cos sin 5 4 65 33 13 5 5 3 13 12 13 已知 7 2 sin 410 A 4 2 A 求cos A的值 求函数 5 cos2sinsin 2 f xxAx 的值域 答案 解 因为 42 A 且 7 2 sin 410 A 所以 3 244 A 2 cos 410 A 因为 coscos cos cossin sin 444444 AAAA 第 5 页 共 12 页 227 223 1021025 所以 3 cos 5 A 6 由 可得 4 sin 5 A 所以 5 cos2sinsin 2 f xxAx 2 1 2sin2sinxx 2 13 2 sin 22 x x R 因为sin 1 1 x 所以 当 1 sin 2 x 时 f x取最大值 3 2 当sin1x 时 f x取最小值3 所以函数 f x的值域为 3 3 2 14 在三角形ABC中 已知2AB ACABAC 设 CAB 1 求角 的值 2 若 4 3 cos 7 其中 5 36 求cos 的值 答案 解 1 由2AB ACABAC 得2cosABACABAC 所以 1 cos 2 又因为0 为三角形ABC的内角 所以 3 2 由 1 知 3 sin 2 且 0 2 所以 1 sin 7 故coscos cos cossin sin 4 31133 3 727214 15 某企业有两个生产车间分别在 两个位置 车间有 100 名员工 车间有 400 名员工 现要在ABAB 公路上找一点 修一条公路 并在处建一个食堂 使得所有员工均在此食堂用餐 已知 ACDBDDA 中任意两点间的距离均有 设 所有员工从车间到食堂步行的总路程为 BCkm1 BDCs 1 写出关于的函数表达式 并指出的取值范围 s 2 问食堂建在距离多远时 可使总路程最少DAs A BC D 第 17 题图 第 6 页 共 12 页 d D B E A 答案 解 1 在中 BCD 120sin sin60sin 00 CDBCBD 则 sin 2 3 BD sin 120sin 0 CD sin 120sin 1 0 AD 其中 sin 120sin 1 100 sin 2 3 400 0 s sin 4cos 35050 3 2 3 2 22 sin cos41 350 sin cos 4 cossinsin 350 s 令得 记 0 s 4 1 cos 3 2 3 4 1 cos 00 当时 4 1 cos 0 s 当时 4 1 cos 0 s 所以在上 单调递减 s 3 0 在上 单调递增 3 2 0 所以当 即时 取得最小值 0 4 1 cos s 此时 4 15 sin sin 120sin 1 0 AD sin sin 2 1 cos 2 3 1 sin cos 2 3 2 1 10 5 2 1 4 15 4 1 2 3 2 1 答 当时 可使总路程最少 10 5 2 1 ADs 16 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H 单位 m 如示意图 垂直放置的标杆 BC 高度 h 4m 仰角 ABE ADE 1 该小组已经测得一组 的值 tan 1 24 tan 1 20 请据此算出 H 的值 2 该小组分析若干测得的数据后 发现适当调整标杆到电视塔的距离 d 单位 m 使 与 之差较 大 可以提高测量精确度 若电视塔实际高度为 125m 问 d 为多少时 最大 第 7 页 共 12 页 答案 1 tan31 tan tan tan30 AEAEAD ABADAB 17 若实数 满足 则称比接近 xymxmym xym 1 若比 3 接近 0 求的取值范围 2 1x x 2 对任意两个不相等的正数 证明 比接近 ab 22 a bab 33 ab 2ab ab 3 已知函数的定义域 任取 等于和 f x D x xkkZ xR xD f x1 sin x 中接近 0 的那个值 写出函数的解析式 并指出它的奇偶性 最小正周期 最小值和单1 sin x f x 调性 结论不要求证明 答案 解 1 x 2 2 2 对任意两个不相等的正数a b 有 22 2a babab ab 33 2abab ab 因为 22332 2 2 0a babab ababab abab ab 所以 即a2b ab2比a3 b3接近 2233 2 2 a babab ababab ab 2ab ab 3 k Z 1sin 2 2 1 sin 1sin 2 2 xxkk f xx xk xxkk f x 是偶函数 f x 是周期函数 最小正周期T 函数f x 的最小值为 0 函数f x 在区间单调递增 在区间单调递减 k Z 2 kk 2 kk 18 在ABC 中 已知3ABACBA BC AA 1 求证 tan3tanBA 2 若 5 cos 5 C 求 A 的值 答案 解 1 3ABACBA BC AA cos 3cosAB ACABA BCBAAAA 即cos 3cosACABCBAA 由正弦定理 得 sinsin ACBC BA sincos 3sincosBAABAA 又 0 ABB sinsin 3 coscos BA BA A即tan3tanBA 2 5 cos0 5 C C tan 1A 4 A 第 8 页 共 12 页 19 已知 设函数 3sin sinaxx sin cosbxx f xa b 2 x 求函数的零点 f x 求函数的最大值和最小值 f x 答案 解 由题意 2 3sinsin cosf xxxx 2 x 令 得 0f x sin 3sincos 0 xxx 所以 或 sin0 x 3 tan 3 x 由 得 sin0 x 2 x x 由 得 3 tan 3 x 2 x 5 6 x 综上 函数的零点为或 f x 5 6 解 313 1 cos2sin2sin 2 2232 f xxxx 因为 所以 2 x 2 5 2 333 x 当 即时 的最大值为 2 2 33 x 2 x f x3 当 即时 的最小值为 3 2 32 x 11 12 x xf 3 1 2 20 已知向量 1 sin xm 2 1 cos3 xn 函数2 2 nmmxf 求 xf的最大值 并求取最大值时x的取值集合 已知a b c分别为ABC 内角A B C的对边 且a b c成等比数列 角B为锐角 且 1f B 求 CAtan 1 tan 1 的值 答案 解 2 mnmxf2 2 1 cossin31sin 2 xxx 6 2sin 2cos 2 1 2sin 2 3 2 1 2sin 2 3 2 2cos1 xxxx x 故1 max xf 此时Zkkx 2 2 6 2 得Zkkx 3 取最大值时x的取值集合为 3 Zkkxx 第 9 页 共 12 页 sin 2 1 6 f BB 2 0 B 6 5 6 2 6 B 2 62 B 3 B 由acb 2 及正弦定理得CABsinsinsin 2 于是 CA ACAC C C A A CAsinsin sincoscossin sin cos sin cos tan 1 tan 1 2 sin 12 3 sinsin3 AC BB 21 如图 游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径 一种是从沿直线步行到 另一种是ACAC 先从沿索道乘缆车到 然后从沿直线步行到 现有甲 乙两位游客从处下山 甲沿匀速ABBCAAC 步行 速度为 在甲出发后 乙从乘缆车到 在处停留后 再从匀速步行min 50mmin2ABBmin1 到 假设缆车匀速直线运动的速度为 山路长为 经测量 Cmin 130mACm1260 13 12 cos A 5 3 cos C 1 求索道的长 AB 2 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟 乙步行的速度应控制在什么范围内 C3 C B A 答案 本题主要考察利用正余弦定理解三角形 二次函数的最值 以及三角函数的基本关系 两角和 的正弦等基础知识 考察数学阅读能力和分析解决实际问题的能力 解 1 13 12 cos A 5 3 cos C 2 0 CA 13 5 sin A 5 4 sin C 65 63 sincoscossinsinsinsin CACACACAB 根据得 sinBsinC ACAB mC AC AB1040sin sinB 2 设乙出发 t 分钟后 甲 乙距离为 d 则 13 12 50100 1302 50100 130 222 ttttd 507037 200 22 ttd 即 130 1040 0 t80 t 时 即乙出发分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 37 35 t 37 35 第 10 页 共 12 页 3 由正弦定理得 m sinBsinA ACBC 500 13 5 65 63 1260 sin sinB A AC BC 乙从 B 出发时 甲已经走了 50 2 8 1 550 m 还需走 710 m 才能到达 C 设乙的步行速度为 V 则 min m3 50 710500 v 3 50 710500 3 v14 625 43 1250 v 为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟 乙步行的速度应控制在范围内 C3 14 625 43 1250 法二 解 1 如图作BD CA于点D 设BD 20k 则DC 25k AD 48k AB 52k 由AC 63k 1260m 知 AB 52k 1040m 2 设乙出发x分钟后到达点M 此时甲到达N点 如图所示 则 AM 130 x AN 50 x 2 由余弦定理得 MN2 AM2 AN2 2 AM ANcosA 7400 x2 14000 x 10000 其中 0 x 8 当x min 时 MN最小 此时乙在缆车上与甲的距离最短 35 37 3 由 1 知 BC 500m 甲到C用时 min 1260 50 126 5 若甲等乙 3 分钟 则乙到C用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 141 5 86 5 此时乙的速度最小 且为 500 m min 86 5 1250 43 若乙等甲 3 分钟 则乙到C用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 111 5 56 5 此时乙的速度最大 且为 500 m min 56 5 625 14 故乙步行的速度应控制在 范围内 1250 43 625 14 C B A D M N 22 已知 cos sin cos sin ab 0 1 若 求证 2 设 若 求的值 2ab ab 0 1 c abc 答案 本题主要考查平面向量的加法 减法 数量积 三角函数基本关系式 诱导公式等基础知识 考 第 11 页 共 12 页 查运算能力与推理论证能力 解 1 即 2 ba2 2 ba 22 22