高考数学 解题方法攻略 立体几何2 理.doc

高 考 立 体 几 何常考与方法： 1求异面直线所成的角：解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；2求直线与平面所成的角：关键找“两足”：垂足与斜足解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。3求二面角的平面角解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。常考点一：三视图 1.若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 常考点二： 体积、表面积、距离、角a1cbab1c1d1do1. 如图所示，已知正四棱锥sabcd侧棱长为，底面边长为，e是sa的中点，则异面直线be与sc所成角的大小为_. 2如上图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，o是底面a1b1c1d1的中心，则o到平面ab c1d1的距离为_.3.已知是球表面上的点，则球表面积等于_.常考点三： 平行与垂直的证明1. 正方体，e为棱的中点() 求证：；() 求证：平面；（）求三棱锥的体积常考点四： 异面直线所成的角，线面角，二面角1.如图,四棱锥pabcd的底面abcd为正方形，pd底面abcd，pd=ad.求证：（1）平面pac平面pbd；（2）求pc与平面pbd所成的角；常考点五： 线面、面面关系判断题1已知直线l、m、平面、，且l，m，给出下列四个命题：（1），则lm（2）若lm，则（3）若，则lm（4）若lm，则其中正确的是_.高考题1. (2011年高考山东卷理科19)在如图所示的几何体中，四边形abcd为平行四边形，acb=，平面，ef，.=.（)若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小2.(2011年高考浙江卷理科20)如图，在三棱锥中，d为bc的中点，po平面abc，垂足o落在线段ad上，已知bc=8，po=4，ao=3，od=2（）证明：apbc；（）在线段ap上是否存在点m，使得二面角a-mc-为直二面角？若存在，求出am的长；若不存在，请说明理由。（i）证明：如图，以o为原点，以射线op为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系oxyz则，由此可得，所以，即（ii）解：设设平面bmc的法向量，平面apc的法向量由得即由即得由解得，故am=3。综上所述，存在点m符合题意，am=3。方法二：（i）证明：由ab=ac，d是bc的中点，得又平面abc，得因为，所以平面pad，故（ii）解：如图，在平面pab内作于m，连cm，由（i）中知，得平面bmc，又平面apc，所以平面bmc平面apc。在在，在所以在又从而pm，所以am=pa-pm=3。综上所述，存在点m符合题意，am=3。3.(2011年高考辽宁卷理科18)如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdqa，qa=ab=pd.（i）证明：平面pqc平面dcq（ii）求二面角q-bp-c的余弦值.18解：如图，以d为坐标原点，线段da的长为单位长，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz. （i）依题意有q（1，1，0），c（0，0，1），p（0，2，0）.则所以即pqdq，pqdc.故pq平面dcq.又pq平面pqc，所以平面pqc平面dcq. 6分 （ii）依题意有b（1，0，1），设是平面pbc的法向量，则因此可取设m是平面pbq的法向量，则可取故二面角qbpc的余弦值为 12分 4.(2011年高考安徽卷理科17)如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,，都是正三角形.（）证明直线；（ii）求棱锥f-obed的体积。（）（综合法）证明：设g是线段da与线段eb延长线的交点，由于oab与ode都是正三角形，所以ob,ob=,og=od=2同理，设g是线段da与线段fc延长线的交点，有og=od=2，又由于g和g都在线段da的延长线上，所以g与g重合。在ged和gfd中，由ob,ob=和oc, oc=,可知b,c分别是ge和gf的中点，所以bc是gef的中位线，故bcef.（向量法）过点f作fqad,交ad于点q，连qe，由平面abed平面adfc，知fq平面abed,以q为坐标原点，为x轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系。由条件知e(，0,0)，f（0,0，），b（，-，0），c（0，-，）。则有，。所以，即得bcef.（）解：由ob=1，oe=2，eob=60，知seob=,而oed是边长为2的正三角形，故soed=,所以sobed=seob+soed=。过点f作fqad，交ad于点q，由平面abed平面acfd知，fq就是四棱锥f-obed的高，且fq=，所以vf-obed=fqsobed=。5. (2011年高考全国新课标卷理科18) 四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，dab=60,ab=2ad,pd底面abcd.()证明：pabd；()若pd=ad，求二面角a-pb-c的余弦值。(18)解：（）因为, 由余弦定理得 从而bd2+ad2= ab2，故bdad又pd底面abcd，可得bdpd所以bd平面pad. 故pabd（）如图，以d为坐标原点，ad的长为单位长，射线da为轴的正半轴建立空间直角坐标系d-，则,。设平面pab的法向量为n=（x,y,z），则 即 因此可取n=设平面pbc的法向量为m，则 可取m=（0，-1，） 故二面角a-pb-c的余弦值为 6.(2011年高考天津卷理科17)如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求异面直线ac与a1b1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分. 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点b为坐标原点. 依题意得 （i）解：易得， 于是 所以异面直线ac与a1b1所成角的余弦值为 （ii）解：易知 设平面aa1c1的法向量， 则即 不妨令可得， 同样地，设平面a1b1c1的法向量， 则即不妨令，可得于是从而所以二面角aa1c1b的正弦值为 （iii）解：由n为棱b1c1的中点，得设m（a，b，0），则由平面a1b1c1，得即解得故因此，所以线段bm的长为方法二：（i）解：由于ac/a1c1，故是异面直线ac与a1b1所成的角.因为平面aa1b1b，又h为正方形aa1b1b的中心，可得因此所以异面直线ac与a1b1所成角的余弦值为（ii）解：连接ac1，易知ac1=b1c1，又由于aa1=b1a1，a1c1=a1=c1，所以，过点a作于点r，连接b1r，于是，故为二面角aa1c1b1的平面角.在中，连接ab1，在中，从而所以二面角aa1c1b1的正弦值为（iii）解：因为平面a1b1c1，所以取hb1中点d，连接nd，由于n是棱b1c1中点，所以nd/c1h且.又平面aa1b1b，所以平面aa1b1b，故又所以平面mnd，连接md并延长交a1b1于点e，则由得，延长em交ab于点f，可得连接ne.在中，所以可得连接bm，在中，7(2011年高考湖南卷理科19)如图5，在圆锥中，已知=，o的直径,是的中点，为的中点（）证明：平面 平面;（）求二面角的余弦值.解：（i）连接，因为,为的中点，所以.又因为内的两条相交直线，所以而，所以。（ii）在平面中，过作于，由（i）知，,所以又所以.在平面中，过作连接,则有，从而，所以是二面角的平面角在在在在,所以。故二面角的余弦值为。8. (2011年高考广东卷理科18)在椎体中，是边长为1的棱形，且,分别是的中点，（1） 证明： （2）求二面角的余弦值。18.解：(1) 取ad的中点g，又pa=pd，由题意知abc是等边三角形，又pg, bg是平面pgb的两条相交直线，(2) 由（1）知为二面角的平面角，在中，；在中，；在中，.9. (2011年高考湖北卷理科18)如图，已知，本棱柱abc-a1b1c1的各棱长都是4，e是bc的中点，动点f在侧棱cc1上，且不与点c重合.() 当cf=1时，求证：efa1e. ()设二面角c-af-e的大小为，求的最小值.解法1：过e作于n，连结ef。 （i）如图1，连结nf、ac1，由直棱柱的性质知， 底面abc侧面a1c。 又度面侧面a，c=ac，且底面abc， 所以侧面a1c，nf为ef在侧面a1c内的射影，在中，=1，则由，得nf/ac1，又故。由三垂线定理知（ii）如图2，连结af，过n作于m，连结me。由（i）知侧面a1c，根据三垂线定理得所以是二面角cafe的平面角，即，设在中，在故又故当时，达到最小值；，此时f与c1重合。解法2：（i）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得于是则故（ii）设，平面aef的一个法向量为，则由（i）得f（0，4，），于是由可得取 又由直三棱柱的性质可取侧面ac1的一个法向量为， 于是由为锐角可得， 所以， 由，得，即 故当，即点f与点c1重合时，取得最小值10.(2011年高考陕西卷理科16)如图：在，沿把折起，使（）证明：平面；（）设。解（）折起前是边上的高，当折起后，ad，ad，又db，平面，ad 平面平面bdc.（）由及（）知da，dc两两垂直，不防设=1，以d为坐标原点，以，所在直线轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得d（0,0,0），b（1,0,0），c（0,3,0），a（0,0，），e（，0），=，=（1，0,0,），与夹角的余弦值为，=.11.(2011年高考重庆卷理科19)在四面体中，平面 , ,=,=（）若=2，=2，求四面体的体积。（）若二面角-为，求异面直线与所成角的余弦值。 12(2011年高考四川卷理科19) 如图，在直三棱柱ab-a1b1c1中 bac=90，ab=ac=aa1 =1d是棱cc1上的一p是ad的延长线与a1c1的延长线的交点，且pb1平面bda(i)求证：cd=c1d：(ii)求二面角a-a1d-b的平面角的余弦值.()求点c到平面b1dp的距离解析：（1）连接交于,又为的中点，中点，,d为的中点。（2）由题意,过b 作,连接，则,为二面角的平面角。在中，,则(3)因为，所以,在中，13.(2011年高考全国卷理科19)四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.（）证明：;（)求与平面所成角的大小.（ii）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小。【精讲精析】计算sd=1，于是，利用勾股定理，可知，同理，可证又，因此，.（ii）过d做，如图建立空间直角坐标系d-xyz，a(2,-1,0),b(2,1,0),c(0,1,0),可计算平面sbc的一个法向量是.所以ab与平面sbc所成角为.14.(2011年高考江苏16)如图，在四棱锥中，平面pad平面abcd，ab=ad，bad=60，e、f分别是ap、ad的中点.求证：（1）直线ef平面pcd；（2）平面bef平面pad15(2011年高考北京卷理科16)在四棱锥中，平面，底面是菱形，.()求证：平面（）若求与所成角的余弦值；、（）当平面与平面垂直时，求的长.16(20