高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数在研究函数中的应用 第2课时 导数与函数的极值最值课件 文 新人教版

第2课时导数与函数的极值 最值 考点一用导数研究函数的极值 多维探究 命题角度一根据函数图象判断极值 例1 1 设函数f x 在R上可导 其导函数为f x 且函数y 1 x f x 的图象如图所示 则下列结论中一定成立的是 A 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 B 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 C 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 D 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 解析由题图可知 当x3 此时f x 0 当 22时 1 x0 由此可以得到函数f x 在x 2处取得极大值 在x 2处取得极小值 答案D 命题角度二求函数的极值 例1 2 求函数f x x alnx a R 的极值 命题角度三已知极值求参数 若b 1 c 3 则f x x2 2x 3 x 3 x 1 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 规律方法 1 求函数f x 极值的步骤 确定函数的定义域 求导数f x 解方程f x 0 求出函数定义域内的所有根 列表检验f x 在f x 0的根x0左右两侧值的符号 如果左正右负 那么f x 在x0处取极大值 如果左负右正 那么f x 在x0处取极小值 2 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 应注意 导数为零的点不一定是极值点 对含参数的求极值问题 应注意分类讨论 训练1 设函数f x ax3 2x2 x c a 0 1 当a 1 且函数图象过 0 1 时 求函数的极小值 2 若f x 在R上无极值点 求a的取值范围 考点二利用导数求函数的最值 例2 2017 郑州模拟 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 解 1 由f x x k ex 得f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 所以 f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 综上可知 当k 1时 f x min k 当1 k 2时 f x min ek 1 当k 2时 f x min 1 k e 规律方法求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点的函数值f a f b 3 将函数f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 考点三函数极值与最值的综合问题 令g x ax2 2a b x b c 由于ex 0 令f x 0 则g x ax2 2a b x b c 0 3和0是y g x 的零点 且f x 与g x 的符号相同 又因为a 0 所以 30 即f x 0 当x0时 g x 0 即f x 0 所以f x 的单调递增区间是 3 0 单调递减区间是 3 0 规律方法 1 求极值 最值时 要求步骤规范 含参数时 要讨论参数的大小 2 求函数最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过比较才能下结论 3 求函数在无穷区间 或开区间 上的最值 不仅要研究其极值情况 还要研究其单调性 并通过单调性和极值情况 画出函数的大致图象 然后借助图象观察得到函数的最值 训练3 2017 衡水中学月考 已知函数f x ax 1 lnx a R 1 讨论函数f x 在定义域内的极值点的个数 2 若函数f x 在x 1处取得极值 x 0 f x bx 2恒成立 求实数b的最大值 思想方法 1 利用导数研究函数的单调性 极值 最值可列表观察函数的变化情况 直观而且条理 减少失分 2 求极值 最值时 要求步骤规范 表格齐全 含参数时 要讨论参数的大小 3 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 4 若函数y f x 在区间 a b 内有极值 那么y f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间上单调函数没有极值 易错防范 1 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯 可使问题直观且有