【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）3.4.1 三角函数的周期性以及函数y＝Asinxy＝sinωx的图象与性质精品导学案 湘教版必修2.doc

3.4.1三角函数的周期性以及函数yasin x，ysin x的图象与性质学习目标重点难点1知道什么是周期函数，什么是函数的周期以及最小正周期；2能说出函数ysin x，ycos x，ytan x的最小正周期；3能分析yasin x，ysin x的图象与ysin x图象的关系；4会解决函数yasin x，ysin x的性质问题.重点：周期函数的定义以及正弦函数、余弦函数、正切函数的周期分析函数yasin x，ysin x的图象与性质；难点：周期函数的定义；疑点：函数yasin x，ysin x的图象与函数ysin x图象的关系.1三角函数的周期性(1)一般地，对于函数yf(x)，如果存在非零常数t，使得当x取定义域内每一个值时，xt都有定义，并且f(xt)f(x)，则这个函数yf(x)称为周期函数，t称为这个函数的一个周期如果周期函数yf(x)的所有的周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数就称为这个函数的最小正周期，我们也常常将“最小正周期”简称为“周期”(2)ysin x是周期函数，2k(kz，k0)都是它的周期，最小正周期是2.(3)ycos x是周期函数，2k(kz，k0)都是它的周期，最小正周期是2.(4)ytan x是周期函数，k(kz，k0)都是它的周期，最小正周期是.预习交流1能否由sinsin，sinsin等说明是ysin x的周期？提示：不能，周期函数中的定义中应要求对定义域中的每一个x，都满足f(xt)f(x)，如果只有个别x的值满足f(xt)f(x)，则不能说f(x)的周期为t.预习交流2所有的周期函数都具有最小正周期吗？提示：并不是所有周期函数都存在最小正周期例如，常数函数f(x)c(c为常数)，xr，当x为定义域内的任何值时，函数值都是c，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(xt)c，因此f(x)是周期函数，由于t可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期2函数yasin x(a0，a1)的图象与性质(1)一般地，对任意a0，a1，函数yasin x的图象可以由ysin x的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标乘以a得到(2)函数yasin x的周期是2，值域是a，a，最大值和最小值分别为a和a预习交流3函数yasin x(a0，a1)的奇偶性、单调区间是怎样的？提示：函数yasin x(a0，a1)仍然是奇函数，它的单调区间与ysin x的单调区间也完全相同3函数ysin x(0，1)的图象与性质(1)函数ysin x(0，1)的图象可以由ysin x的图象上每一点(x，sin x)的纵坐标不变，横坐标伸长(01)或缩短(1)为原来的得到(2)函数ysin x(0，1)的周期是t，值域为1,1预习交流4你能由周期函数的定义说明ysin x(0，1)的周期为什么是吗？提示：由于sin(x2)sin x，即sinsin x，因此ysin x的周期为.预习交流5若对于函数f(x)定义域中的每个值x，都有f(2xt)f(2x)，能否说f(x)的周期为t?提示：不能从周期函数的定义式f(xt)f(x)可知，自变量x本身增加的常数才是周期当f(2xt)f(2x)时，有ff(2x)，所以f(x)的周期不是t，而是.在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、求三角函数的周期求下列函数的周期：(1)y3sin x；(2)ycos 5x；(3)y3tan 3x.思路分析：利用三角函数的周期以及周期的定义求解解：(1)由于3sin x3sin(x2)，所以y3sin x的周期t2；(2)由于cos 5xcos(5x2)cos，所以ycos 5x的周期t；(3)由于3tan 3x3tan(3x)3tan，所以y3tan 3x的周期t.1函数ycos(4x)的最小正周期为_答案：解析：ycos(4x)cos 4x，而cos 4xcos(4x2)cos，所以函数的最小正周期为.2已知y2sin x(0)的周期为4，则_.答案：解析：依题意应有4，所以.一般地，函数yasin(x)及函数yacos(x)(a0，0)的周期为，函数yatan(x)的周期为.二、三角函数的图象变换画出函数y2sinx的图象，并说明由这个函数的图象怎样得到函数ysin x的图象？思路分析：利用五点作图法画函数y2sinx的图象，然后通过横、纵坐标的变换得到函数ysin x的图象解：令x分别取0，2，列表如下：x0234x02y2sinx02020描点、连线即得函数y=2sinx在一个周期上的图象，然后根据周期性，将其向左、右扩展，即得y=2sinx，xr的图象将y=2sinx的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，可以得到函数y=sinx的图象，然后再将y=sinx图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，即可得到函数y=sin x的图象1(2012浙江高考，文6)把函数ycos 2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()答案：a解析：ycos 2x1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1cos x1，再向左平移1个单位长度得y2cos(x1)1，再向下平移1个单位长度得y3cos(x1)，故相应图象为a2为了得到函数ysin x的图象，应将函数ysin x的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的()倍即可a3 b c1 d答案：a1画函数yasin x(a0，0)的图象时，仍然可以用“五点法”，但应先作变量代换，令x0，2，求得x相应的值，然后根据x，y的值描点，连线画出函数的图象2进行图象变换时，一是要牢记横坐标与纵坐标的变化规则，二是要分清哪是变换前的函数，哪是变换后的函数三、函数yasin x的性质已知函数f(x)3cos(2x)，其中0，若f(x)是奇函数(1)求的值；(2)求f(x)的单调区间思路分析：结合诱导公式求的值，根据的值，将f(x)解析式化简，然后求其单调区间解：(1)由于cossin 2x.而ysin 2x是奇函数，从而y3sin 2x也是奇函数，故当时，f(x)3cos3sin 2x是奇函数，即的值为.(2)由(1)知f(x)3sin 2x.令2k2x2k解得kxk，kz，所以f(x)的单调减区间是(kz)；令2k2x2k解得kxk，所以f(x)的单调递增区间是(kz)若函数f(x)sin x(0)的周期为3，则其递减区间为_答案：(kz)解析：由于f(x)的周期为3，所以3，.于是f(x)sinx.令2kx2k，解得3kx3k，kz.故f(x)的减区间是(kz)求yasin x的单调区间，可以把x看作一个整体(保证0)放入ysin x的单调区间内，解不等式求得1函数ysin x的周期为()a b2 c4 d答案：b2函数y3cos 2x的最大值是()a1 b3 c1 d3答案：d3要得到函数ysin 4x的图象，只须将函数ysin x的图象上每一点的()a横坐标不变，纵坐标变为原来的4倍b纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍c横坐标不变，纵坐标变为原来的倍d纵坐标不变，横坐标变为原来的倍答案：d4函数ysin 3x的图象，可以由函数ysin 3x的图象上每一点()得到a横坐标变为原来的3倍b纵坐标变为原来的倍c横坐标变为原来的倍d纵坐标变为原来