高考数学专题复习精课件—17等差数列.ppt

等差数列 一 概念与公式 1 定义 若数列 an 满足 an 1 an d 常数 则称 an 为等差数列 2 通项公式 3 前n项和公式 二 等差数列的性质 1 首尾项性质 有穷等差数列中 与首末两项距离相等的两项和相等 即 特别地 若项数为奇数 还等于中间项的两倍 即 a1 an a2 an 1 a3 an 2 2a中 a1 an a2 an 1 a3 an 2 an a1 n 1 d am n m d 特别地 若m n 2p 则am an 2ap 2 若p q r s p q r s n 则ap aq ar as 3 等差中项 如果在两个数a b中间插入一个数a 使a a b成等差差数列 则a叫做a与b的等差中项 4 顺次n项和性质 5 已知 an 是公差为d的等差数列 6 若 an bn 均为等差数列 则 man man kbn 也为等差数列 其中m k均为常数 三 判断 证明方法 1 定义法 2 通项公式法 3 等差中项法 四 sn的最值问题 二次函数 典型例题 3 等差数列的前n项和为sn 若sm sk m k 求sm k 4 等差数列 an 的首项a1 0 前n项和为sn 若sm sk m k 问n为何值时sn最大 0 5 在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为sn 且s10 s15 1 求前n项和sn 2 当n为何值时 sn有最大值 并求它的最大值 2 当且仅当n 12或13时 sn有最大值 最大值为130 7 已知函数f t 对任意实数x y都有 f x y f x f y 3xy x y 2 3 f 1 1 1 若t为正整数 试求f t 的表达式 2 满足f t t的所有整数t能否构成等差数列 若能构成等差数列 求出此数列 若不能构成等差数列 请说明理由 3 若t为自然数 且t 4 f t mt2 4m 1 t 3m恒成立 求m的最大值 1 f t t3 3t2 3 t n 3 f t mt2 4m 1 t 3m f t t m t2 4t 3 m t 1 所求数列为 3 1 1或1 1 3 2 f t t3 3t2 3 t z f t t t 3 1 1 故m的最大值是3 1 an 2n 1 p q n n 2 an 1 an 2p 0 an 1 an a1 p q 1 连线的斜率为定值 p 即可 1 已知 an 是等差数列 1 前4项和为21 末4项和为67 且各项和为286 求项数 2 sn 20 s2n 38 求s3n 3 项数为奇数 奇数项和为44 偶数项和为33 求数列的中间项和项数 解 1 设数列的项数为n 依题意得 4 a1 an 21 67 88 a1 an 22 由n a1 an 2sn 2 286得 2 sn s2n sn s3n s2n成等差数列 s3n s2n sn 2 s2n sn a1 a2 a3 a4 21 an 3 an 2 an 1 an 67 且有 sn 286 a1 an a2 an 1 a3 an 2 a4 an 3 n 26 故所求数列的项数为26 s3n 3 s2n sn 3 38 20 54 3 依题意 解得 a中 11 n 7 课后练习题 解 an bn 是等差数列 它们的前n项和是关于n的二次函数 且常数项为0 a5 s5 s4 65k b5 s5 s4 13k 可设sn kn 7n 2 sn kn n 4 3 设 an 是一个公差为d d 0 的等差数列 它的前10项和s10 110 且a1 a2 a4成等比数列 1 证明 a1 d 2 求公差d的值和数列 an 的通项公式 1 证 a1 a2 a4成等比数列 a22 a1a4 而 an 是等差数列 有a2 a1 d a4 a1 3d a1 d 2 a1 a1 3d 整理得d2 a1d d 0 a1 d 2 解 s10 110 而s10 10a1 45d 10a1 45d 110 又由 1 知a1 d 代入上式得 11a1 22 即2a1 9d 22 a1 2 an 2 n 1 2 2n d a1 2 公差d的值为2 数列 an 的通项公式为an 2n 故数列 bn 是等差数列 5 数列 an 的前n项和为sn npan n n 且a1 a2 1 求常数p的值 2 证明数列 an 是等差数列 1 解 当n 1时 a1 pa1 若p 1 则当n 2时有a1 a2 2pa2 2a2 a1 a2与a1 a2矛盾 p 1 a1 0 由a1 a2 2pa2知 2p 1 a2 a1 0 a2 a1 a2 0 an n 1 a2 an an 1 a2 故数列 an 是以a1为首项 a2为公差的等差数列 1 证 由an 1 sn 1 sn得 8an 1 an 1 2 2 an 2 2 2 解 由已知8a1 8s1 a1 2 2 a1 2 故由 1 知an 4n 2 an 1 2 2 an 2 2 0 an 1 an an 1 an 4 0 an n an 1 an 0 an 1 an 4 0即an 1 an 4 an 是等差数列 bn 2n 1 30 2n 31 解2n 31 0且2 n 1 31 0得 n n n 15 bn 的前15项为负数 其前15项和t15最小 b1 29 公差d 2 故所求前n项和的最小值为 225 t15 15 29 15 7 2 225 7 已知等差数列 an 的首项是2 前10项之和是15 记an a2 a4 a8 a2n n n 求an及an的最大值 解 设等差数列 an 的公差是d 由已知 a1 2且10a1 45d 15 an a2 a4 a8 a2n na1 d 1 3 7 2n 1 na1 d 2 22 23 2n n 求an的最大值有以下解法 法1 由a1 0 da2 ak 0 ak 1 由k 2n 19 n n 得n 4 即在数列 a2n 中 a21 a22 a23 a24 0 a25 当n 4时 an的值最大 其最大值为 解 求an的最大值有以下解法 法2 若存在n n 使得an an 1且an an 1 则an的值最大 解得 9 5 2n 19 n n n 4 故取n 4时 an的值最大 其最大值为 7 已知等差数列 an 的首项是2 前10项之和是15 记an a2 a4 a8 a2n n n 求an及an的最大值 解 设等差数列 an 的公差为d s7 7 s15 75 解得 a1 2 d 1 将 式减 式化简得 bn 为等差数列 bn 1 2bn bn 1 bn 1 bn为常数 故数列 an 也是等差数列 证 2 1 的逆命题为 两个数列 an 和 bn 满足 若 an 为等差数列 则数列 bn 也是等差数列 证明如下 an 是等差数列 可设an an b a b为常数 nan an2 bn a1 2a2 nan a 12 22 n2 b 1 2 n 故数列 bn 也是等差数列 10 已知数列 an 是等差数列 其前n项和为sn a3 7 s4 24 1 求数列 an 的通项公式 2 设p q是正整数 且p q 证明 a1 2d 7且4a1 6d 24 解得 a1 3 d 2 an a1 n 1