高中数学 第十章第四节圆锥曲线与方程课件 北师大版选修2－1.ppt

第四节曲线与方程 1 曲线与方程在直角坐标系中 如果某曲线c 看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 2 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 1 如果曲线c的方程是f x y 0 那么点p0 x0 y0 在曲线c上的充要条件是f x0 y0 0 曲线上点的坐标都是这个方程的解 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 2 视曲线为点集 如果将曲线上的点应满足的条件转化为点的坐标所满足的方程 则曲线上的点集与方程的解集之间就建立了一一对应关系 2 求曲线方程的一般步骤是 1 建立适当的坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点m的坐标 2 写出适合条件p的点m的集合p m p m 3 用坐标表示条件p m 列出方程f x y 0 4 化方程f x y 为最简形式 5 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 3 求轨迹方程的常用方法 1 直接法 直接利用条件建立x y之间的关系f x y 0 2 待定系数法 已知所求曲线的类型 先根据条件设出所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 3 定义法 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线 再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程 4 相关点法 动点p x y 依赖于另一动点q x0 y0 的变化而变化 并且q x0 y0 又在某已知曲线上 则可先用x y的代数式表示x0 y0 再将x0 y0代入已知曲线得要求的轨迹方程 求轨迹和轨迹方程有什么不同 提示 求轨迹和轨迹方程的不同 后者只指方程 包括范围 而前者包含方程及所求轨迹的形状 位置 大小等 答案 d 2 已知两定点a 2 0 b 1 0 如果动点p满足 pa 2 pb 则点p的轨迹所围成的图形的面积等于 a b 4 c 8 d 9 解析 设p x y 则由 pa 2 pb 得 x 2 2 y2 4 x 1 2 y2 即 x 2 2 y2 4 故p点的轨迹是以 2 0 为圆心 以2为半径的圆 所围成的图形的面积等于 22 4 答案 b 3 已知点p是直线2x y 3 0上的一个动点 定点m 1 2 q是线段pm延长线上的一点 且 pm mq 则q点的轨迹方程是 a 2x y 1 0b 2x y 5 0c 2x y 1 0d 2x y 5 0 解析 设q x y 则p为 2 x 4 y 代入2x y 3 0得2x y 5 0 答案 d 解析 设m x y 则p 2x 2y 代入双曲线方程得x2 4y2 1 即为所求 答案 x2 4y2 1 答案 y2 x2 4 线段ab与cd互相垂直平分于点o ab 2a cd 2b 动点p满足 pa pb pc pd 求动点p的轨迹方程 思路点拨 建立坐标系 写出a b c d坐标 代入等式关系 解析 以ab的中点o为原点 直线ab为x轴 直线cd为y轴 建立直角坐标系 则a a 0 b a 0 c 0 b d 0 b 设p x y 由题设知 点p满足的条件为 pa pb pc pd 已知a b c是直线l上的三点 且 ab bc 6 o 切直线l于点a 又过b c作 o 异于l的两条切线 切点分别为d e 设这两条切线交于点f 求点f的轨迹方程 解析 如右图 由切线的性质知 ba bd fd fe ca ce 故 fb fc bd fd fc ba fe fc ba ce ab ca 6 12 18 6 bc 故由椭圆定义知 点f的轨迹是以b c为两焦点的椭圆 以l所在的直线为x轴 以bc的中点为原点 建立坐标系 则a 在求得轨迹方程之后 要深入地思考一下 是否还遗漏了一些点 是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在 在所求得的轨迹方程中 x y的取值范围是否有什么限制 确保轨迹上的点 不多不少 本题应注意y 0 1 如图所示 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切 同时与圆x2 y2 6x 91 0内切 求动圆圆心m的轨迹方程 并说明它是什么样的曲线 解析 方法一 设动圆圆心为m x y 半径为r 设已知圆的圆心分别为o1 o2 将圆的方程分别配方得 x 3 2 y2 4 x 3 2 y2 100 当动圆与圆o1相外切时 有 o1m r 2 当动圆与圆o2相内切时 有 o2m 10 r 将 两式相加 得 o1m o2m 12 o1o2 动圆圆心m x y 到点o1 3 0 和o2 3 0 的距离和是常数12 所以点m的轨迹是焦点为o1 3 0 o2 3 0 长轴长等于12的椭圆 2c 6 2a 12 c 3 a 6 b2 36 9 27 当题目中的动点不止一个时 先要寻求所求动点与其他动点的坐标关系 进而集中条件代入即可 本节重点考查曲线与方程的关系 曲线方程的探求方法 本部分在高考试题中主要以解答题的形式出现 属中高档题目 1 2009年宁厦 海南卷 已知椭圆c的中心为直角坐标