中考中与二次函数有关的面积问题.doc

中考中与二次函数有关的面积问题图1ABCDx3040x有许多面积的最大(小)值问题, 是中考的重点题型，常常是例用二次函数的最大(小)值来解决的,现举例说明这类问题的解法. 例1.(2008西宁市)现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：兰花；菊花；月季；牵牛花（1）求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围（2）当是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？ 分析：这是花草种植面积的最值问题，先根据矩形的面积公式列出与之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值.解：（1）由题意知，场地宽为， 自变量的取值范围为 （2），当时，种植菊米的面积最大， 最大面积为225m2例2. （2007年兰州市）某农场计划建一个养鸡场,为了节约材料,鸡场一边靠着原有的一堵墙(墙足够长),另外的部分用30米的竹篱笆围成,现在两种方案：围成一个矩形(如图2)；围成一个半圆形(如图3).设矩形的面积为平方米,宽为x米, 半圆形的面积为平方米,半径为x米,请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案().图2图3分析：这是一道实际应用问题，方案中半圆的面积是固定不变的，解决本题的关键是确定方案中矩形面积的最大值，然后再比较.因此，对于方案，需要根据矩形的面积构造二次函数，通过求二次函数的最值解决解: 方案：当x=7.5米时，取最大值112.5平方米.方案：由得米，所以平方米.112.5150， ，应选方案.例3.在某市开展的创城活动中，桃园小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图4所示）若设花园的BC的边长为x(cm)，花园的面积为y (m2）图4（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量是x的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？分析：（1）根据矩形的面积可以确定函数表达式,根据墙长可确定自变量的范围；（2）假设可到200m2矩形,根据函数值构造方程,求出x的值与墙长比较,从而判断是否面积可达到200m2；（3）通过求二次函数的最值可求到花园的最大面积.解：（1）根据题意得：,所以y =x2+20x (015m,所以此花园的面积不能达到200m2.（3）因为的图像是开中向下的抛物线，对称轴为x=20所以当0x15时，y随x的增大而增大,所以当x=15时,y有最大值.即：当x=15时，花园面积最大，最大面积为187.5m2.注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，结合函数的性质，进行具体分析，才能求出符合题意的最值本题应在x的取值范围0x15中确定函数最大值.二次函数帮你确定最大面积图125mDCBA学习了二次函数，我们经常遇到利用二次函数的性质解决生活中的最大值或最小值问题，如：求有关几何图形的最大面积问题.处理这类问题，关键是根据题意和几何图形的特点求出其面积的二次函数表达式，再通过配方成顶点式或利用最值公式求解，即对于二次函数yax2+bx+c(a0)，若a0，则当x时，有最大值y.下面举例分析，供同学们参考.例1为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图1）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2.（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？分析：由题意，y表示的矩形的面积，因此需表示出矩形的长与宽，根据长BC=xm，ABBCCD=40m，得：宽=m.解：（1）由题意和矩形的面积公式，得yxx2+20x，（0x25）.（2）yx220x(x20)2200，由于 2025，所以当x20时，y有最大值200.即当x20时，满足条件的绿化带面积最大.点评：需注意求最大面积必须在自变量的取值范围内求.例2用长为l2m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃如图2，围出的苗圃是五边形ABCDE，AEAB，BCAB，C=D=E设CD=DE=xm，五边形ABCDE的面积为S m2问当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值分析：由于五边形没有自己的面积公式，故应通过对图形的适当分割，转化为比较熟悉的三角形、特殊四边形的面积问题来解决解：连结EC，作DFEC，垂足为FDCB=CDE=DEA，EAB=CBA=90，DCB=CDE=DEA=120 DE=CD，DEC=DCE=30，CEA=ECB=90图2四边形EABC为矩形，DE=xm，AE=(6-x)m，DF=x，EC=S=(0x6)当时，m2点评：当所研究的图形为不规则图形时，我们通常可以采用割补法转化为规则图形面积的和或差来计算.例3如图3，抛物线（n为常数）经过坐标原点和x轴上另一点C，顶点在第一象限（1）确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标；（2）已知A点坐标为（2，8），在梯形OABC内有一矩形MNPQ，点M、N分别在OA、BC上，点Q、P在x轴上当MN为多少时，矩形MNPQ的面积最大？最大面积是多少？分析：确定最大面积的关键是建立矩形面积与边长间的二次函数关系式，进而需找到MQ与MN间的关系，用一个量表示出另一个量AMOQHBNPC图3解：（1）抛物线过（0，0）点， 顶点在第一象限，且， 抛物线，顶点坐标为（3，9）（2）由