高三数学大纲版2.7 对数与对数函数课件.ppt

1 对数的概念 1 对数的定义 一般地 如果 那么数x叫做以a为底n的对数 记作 其中叫做对数的底数 叫做真数 2 几种常见对数 2 7对数与对数函数 要点梳理 ax n a 0且a 1 x logan n a 10 e logan lgn lnn 2 对数的性质与运算法则 1 对数的性质 logaan a 0且a 1 2 对数的重要公式 换底公式 a b均大于零且不等于1 推广logab logbc logcd 3 对数的运算法则 如果a 0且a 1 m 0 n 0 那么 loga mn logamn n r n n logad logam logan logam logan nlogam 3 对数函数的图象与性质 0 r 1 0 1 0 y 0 y 0 y 0 y 0 增 减 4 反函数指数函数y ax与对数函数y logax互为 它们的图象关于直线对称 1 2008 全国 理 4 若x e 1 1 a lnx b 2lnx c ln3x 则 a a0 a b c a t3 t t t2 1 t t 1 t 1 又 10 c a c a b 反函数 y x 基础自测 c 2 已知3a 5b a 且则a的值是 a 15b c d 225 解析 3a 5b a a log3a b log5a a2 15 或 舍去 b 3 已知log7 log3 log2x 0 那么 等于 a b c d 解析由条件知log3 log2x 1 log2x 3 cx 8 c 4 2009 新郑调研 若f x logax在 2 上恒有f x 1 则实数a的取值范围是 a b c 1 2 d 解析据题意a 1 f x 为增函数 当x 2 时 f x loga2 故要使f x 1恒成立 只需f x min loga2 1 1 a 2 c 5 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y m2 与时间t 月 的关系 y at 有以下叙述 这个指数函数的底数为2 第5个月时 浮萍面积就会超过30m2 浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1 5个月 浮萍每月增加的面积都相等 若浮萍蔓延到2m2 3m2 6m2所经过的时间分别为t1 t2 t3 则t1 t2 t3 其中正确的是 a b c d 解析t 1时 y 2 则2 a1 所以a 2 正确 y 25 32 30 故 正确 t1 t2 1 log23 log26 t3 故 正确 d 计算 1 2 3 思维启迪 利用对数定义求值 利用对数的运算性质 解 1 方法一利用对数定义求值设 x 1 题型一对数的运算 方法二利用对数的运算性质求解 3 原式 2 原式 探究拓展 1 在对数运算中 先利用幂的运算把底数或真数进行变形 化成分数指数幂的形式 使幂的底数最简 然后再运用对数运算法则化简合并 在运算中要注意化同底和指数与对数互化 2 熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算 化简 证明常用的技巧 比较下列各组数的大小 1 2 log1 10 7与log1 20 7 3 已知比较2b 2a 2c的大小关系 思维启迪 1 引入中间量比较 2 利用对数函数图象或利用换底公式 3 利用对数函数 指数函数的单调性求解 解 1 而 题型二利用对数函数的性质比较大小 2 方法一 0log0 71 1 log0 71 2 即由换底公式可得log1 10 7a c 而y 2x是增函数 2b 2a 2c 探究拓展比较对数式的大小 或证明等式问题是对数中常见题型 解决此类问题的方法很多 当底数相同时可直接利用对数函数的单调性比较 若底数不同 真数相同 可转化为同底 利用换底公式 或利用对数函数图象 数形结合解得 若不同底 不同真数 则可利用中间量进行比较 12分 已知函数f x logax a 0 a 1 如果对于任意x 3 都有 f x 1成立 试求a的取值范围 思维启迪 当x 3 时 必有 f x 1成立 可以理解为函数 f x 在区间 3 上的最小值不小于1 解当a 1时 对于任意x 3 都有f x 0 所以 f x f x 而f x logax在 3 上为增函数 对于任意x 3 有f x loga3 4分 因此 要使 f x 1对于任意x 3 都成立 只要loga3 1 logaa即可 1 a 3 6分 当0 a 1时 对于x 3 有f x 0 题型三对数函数的图象与性质 f x f x 8分 f x logax在 3 上为减函数 f x 在 3 上为增函数 对于任意x 3 都有 f x f x loga3 10分 因此 要使 f x 1对于任意x 3 都成立 只要 loga3 1成立即可 综上 使 f x 1对任意x 3 都成立的a的取值范围是 探究拓展本题属于函数恒成立问题 即在x 3 时 函数f x 的绝对值恒大于等于1 恒成立问题一般有两种思路 一是利用图象转化为最值问题 二是利用单调性转化为最值问题 这里函数的底数为字母a 因此需对参数a分类讨论 已知过原点o的一条直线与函数y log8x的图象交于a b两点 分别过a b作y轴的平行线与函数y log2x的图象交于c d两点 1 证明 点c d和原点o在同一直线上 2 当bc平行于x轴时 求点a的坐标 思维启迪 1 证明三点在同一条直线上只需证明koc kod 2 解方程组得x1 x2 代入解析式即可求解 1 证明设点a b的横坐标分别为x1 x2 由题设知x1 1 x2 1 则点a b的纵坐标分别为log8x1 log8x2 因为a b在过点o的直线上 题型四对数函数的综合应用 所以点c d的坐标分别为 x1 log2x1 x2 log2x2 由于oc的斜率为od的斜率为由此可知k1 k2 即o c d在同一直线上 2 解由于bc平行于x轴 知log2x1 log8x2 即得代入x2log8x1 x1log8x2 得由于x1 1 知log8x1 0 故 又因x1 1 解得于是点a的坐标为探究拓展本题是典型的在知识交汇点处的命题 若用传统方法设直线方程 解方程组求交点必然思路受阻 而充分利用函数图象和性质及解析几何的思想方法会使问题迎刃而解 方法与技巧1 指数式ab n与对数式logan b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键 2 在运算性质logamn nlogam时 要特别注意条件 在无m 0的条件下应为logamn nloga m n n 且n为偶数 3 注意对数恒等式 对数换底公式及等式在解题中的灵活应用 失误与防范 1 指数函数y ax与对数函数y logax a 0 且a 1 互为反函数 要能从概念 图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别 2 在解决问题的思路和方法上 要注意与指数进行比较 3 比较两个幂值的大小是一种常见的题型 也是一类容易做错的题目 解决这类问题时 首先要分清是底数相同还是指数相同 如果底数相同 可利用指数函数的单调性 如果指数相同 可利用图象 如下表 同一坐标系下的图象关系当底大于1时 底越大 图象越靠近坐标轴 当底小于1大于0时 底越小 图象越靠近坐标轴 如果底数 指数都不同 则要利用中间变量 1 化简求值 1 2 lg2 2 lg2 lg50 lg25 3 log32 log92 log43 log83 解 1 原式 2 原式 lg2 lg2 lg50 lg25 2lg2 lg25 lg100 2 3 原式 2 已知0 a 1 b 1 ab 1 则的大小关系是 a b c d 解析 01 又 ab 1 c 3 已知函数f x log2 x2 ax a 在区间上是单调递减函数 求实数a的取值范围 解令g x x2 ax a 则由以上知g x 的图象关于直线对称且此抛物线开口向上 因为函数f x log2g x 的底数2 1 在区间上是减函数 所以g x x2 ax a在区间上也是单调减函数 且g x 0 解得故a的取值范围是 4 已知函数 1 求f x 的定义域 2 求f x 的值域 解 1 f x 有意义时 有由 得x 1 由 得x1 f x 的定义域是 1 p 2 f x log2 x 1 p x 当即p 3时 当即13时 f x 的值域是 2log2 p 1 2 当1 p 3时 函数f x 的值域是 1 log2 p 1 1 若函数y loga x b a 0 且a 1 的图象过两点 1 0 和 0 1 则 a a 2 b 2 b c a 2 b 1d 解析由题意得求得2 d a 3 已知点 m n 在函数f x ax的图象上 则下列哪个点一定在函数g x logax a 0 a 1 的图象上 a n m b n m c m n d m n 解析 f x ax与y logax互为反函数 又 m n 在f x ax的图象上 n m 在函数y logax的图象上 又y logax与g x logax关于x轴对称 n m 在g x logax的图象上 b 4 2009 宜昌调研 函数的递增区间是 a 1 b 2 c d 解析由x2 3x 2 0得x2 当x 1 时 f x x2 3x 2单调递减 而由复合函数单调性可知在 1 上是单调递增的 而在 2 上是单调递减的 a 5 d6 b7 2008 青岛质检 计算 解析原式8 2 9 已知函数f x loga x 1 a 1 若函数y g x 图象上任意一点p关于原点对称点q的轨迹恰好是函数f x 的图象 1 写出函数g x 的解析式 2 当x 0 1 时总有f x g x m成立 求m的取值范围 解 1 设p