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一 振动 波动 横跨物理学所有领域 物理量在中心值附近作周期性变化 1 机械振动 位置或位移 2 非机械振动 电磁振荡 交流电 以上具有相似物理规律和研究方法 概述 第九章振动 1 二 最基本的振动 简谐运动 2 9 1简谐运动振幅周期与频率相位 一 简谐运动 以平衡位置为原点 建立图示坐标系 偏离x k 劲度系数 一般为振动常数 A 积分常数 初始条件 动力学方程 运动微分方程 运动方程 3 a x 平衡位置量度 b k 固有性质与初始条件无关 A 初始条件与固有性质无关 4 讨论 动力学分析 判断振动性质 求固有量 动和静 平衡位置 偏离量x 力 矩 分析 5 1 振幅A 最大位移表征能量 二 简谐运动的运动学描述 2 周期与频率 比较 即 弹簧振子固有周期 单位时间 全振动次数的2 倍 T 固有量 取决振动系统动力学特征 6 3 相位 k 0 1 2 x A v 0 x 0 v 0 x A v 0 x 0 v 0 或 如t 0则 初始状态 7 任意角 4个象限 8 9 2旋转矢量 一 简谐运动与匀速圆周运动 如图所示 旋转矢量 9 10 二 旋转矢量法 1 表示谐振动 三要素 3 确定初相位 或相位 几何法 11 由图知 相位差 初相差 对 a 图x2超前x1 2 1 b 图x1超前x2 2或x2滞后x1 2 12 5 t或 由旋矢图知 由此 与 t可互求 6 谐振动合成 9 5 13 三 谐振动的运动学分析 1 已知运动方程 一系列物理量 2 由已知条件 运动方程 确定三要素 其它物理量 14 分析 求 1 a 先求运动方程 三要素 其中 为关键 如 解析法 判断 旋矢法 由旋矢图 知 2 x 0 04m到 0 04m最短时间 15 由图知 例2 一简谐运动的x t曲线 如图所示 求 1 初相 2 求运动方程 并用旋矢表示之 3 第一次到达处的速度和加速度 分析 a 简便路径 用旋矢法求 和 并结合相位法求第三问 b 旋矢图 第一次到达次处相位 比较 解析法 旋矢法 相位法 讨论 1 16 如 物理摆 一维角谐振动模型 9 3单摆和复摆 一 复摆 如图偏离平衡位置 l 质心c至转轴o距离 二 单摆 数学摆 复摆一个特例 有 17 O R r 例1 一半径为r的均质球 可沿半径为R的固定大球壳的内表面作纯滚动 如图 试求圆球绕平衡位置作微小运动的动力学方程及其周期 分析 偏离 力 矩 分析 18 c 例2 细杆 m l 竖直时 水平轻质弹簧 k 处于自然状态 求细杆作小幅摆动时的周期T 分析 偏离 对o 很小时 有 19 t 系统能量 以弹簧振子为例 9 4简谐运动的能量 守恒 20 简谐运动 能量特征 能量守恒 讨论 能量法 判断广义简谐运动 振子偏离平衡位置x时 以弹簧振子为例 两边对t求导 21 例 求图示系统的振动频率 设轻绳与定滑轮间无相对滑动 分析 a 寻找平衡位置 建立图示坐标系 b 法动力学法 偏离x平动与转动隔离 对m 对J m与J 系统固有性质 22 偏离x系统 m k J 地球 c 法能量法 两边对t求导 可得同样结果 23 9 5简谐运动的合成 一 两个同方向同频率简谐运动的合成 与相位差 有关 仍为谐振动 不变 24 a 如 讨论 b 如 或 如 静止 a 以上为两相干波干涉的基础 b 建议 对下列特殊情况可直接用旋矢法求解 25 比较 旋矢法与解析法 讨论 26 合振动轨迹方程 消去t 椭圆方程 二 两个相互垂直同频率简谐运动的合成 27 讨论 a 所含各种情况 0 直线 谐振动 2 3 2正椭圆 如A1 A2圆 其他情况斜椭圆 b 右旋与左旋 如 2 1 0 如 2 1 0 x超前y逆时针旋转 左旋 y超前x顺时针旋转 右旋 28 三 多个同方向同频率简谐运动的合成 合运动仍为简谐运动 如 则 29 讨论 a 若 b 若 N个矢量构成一闭合图形 30 c 次级大 四 两个同方向不同频率简谐运动合成 拍 一般 合运动 不是谐振动 讨论 的情况 31 合运动 如 随t变化的振幅 振动因子 32 比较 证明 1 解析法 证明 2 旋矢法 从两振动同相 再次同相 由相对运动 拍现象应用领域 声学 无线电技术 速度测量 33 一 阻尼振动 简谐运动 理想等幅守恒 9 6阻尼振动受迫振动共振 实际阻尼 如 2 02其解为 式中A 初始条件 34 讨论 临界阻尼 工程中有很多应用 c 临界阻尼 b 过阻尼 a 欠阻尼 35 二 受迫振动 周期性简谐外力 则 其解 暂态响应 稳态响应 多种因素有关 如 0 P 振动频率 驱动外力 P 机械能守恒 36 三 位移 共振 共振频率 另速度共振 电流谐振 选频 令 速度最大 令 共振 有弊也有利 37 一 振荡电路无阻尼自由电磁振荡 9 7电磁振荡 LC电路 无阻尼情况 38 二 无阻尼电磁振荡的振荡方程 LC电路 t 有 振动周期 39 三 无阻尼电磁振荡的能量 t 电容器 电感线圈 总能量 守恒 40 9 8简述非线性系统 一 线性系统 理想或近似 特征 1 动力学行为 满足 一组 线性微分方程 2 其解 满足线性叠加原理 二 非线性系统 实际 普遍 特征 1 叠加原理不成立 2 初始条件不同 会导致很不相同运动形式 3 可能出现完全随机混沌行为 41 讨论 小角度 线性系统 和大角度 非线性系统 物理行为 线性微分方程 其解 精确描述状态 确定性 两同频率谐振动合成 满足线性叠加原理 满足 其解 42 非线性微分方程 如取前两项 一次迭代近似解 不满足线性叠加原理 近似 两个不同频率谐振动合成 复杂振动 其中 与A 能量 初始条件 有