北师大版必修一 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在 学案.doc

1函数与方程11利用函数性质判定方程解的存在学习目标1.了解函数的零点与方程的根的关系；2.会判断函数零点的存在性；3.初步理解函数与方程思想预习教材p115116完成下列问题：知识点一函数的零点定义：函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点【预习评价】1函数的零点是点吗？提示函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)0的解，即函数的零点是一个实数2结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，思考是否所有的函数都有零点？并说明理由提示不一定因为函数的零点就是方程的根，但不是所有的方程都有根，所以说不是所有的函数都有零点如：指数函数，其图像都在x轴的上方，与x轴没有交点，故指数函数没有零点；对数函数有唯一一个零点知识点二函数的零点、方程的根、函数图像之间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点【预习评价】1若4是函数f(x)ax22log2x的零点，则a的值等于()a4 b4c d解析因为4是函数f(x)ax22log2x的零点，所以a422log240，解得a答案d2函数f(x)x25x的零点是_解析令x25x0，解得x10或x25，所以函数f(x)x25x的零点是0和5答案0和5知识点三函数零点存在性的判断若函数yf(x)在闭区间a，b 上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？提示不一定如yx21在区间(2,2)上有两个零点，但f(2)f(2)02结合教材p116例3，你认为求函数零点个数的常用方法有哪些？提示方法一利用方程的根，转化为解方程，方程有几个根相对应的函数就有几个零点方法二利用函数yf(x)的图像与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数方法三结合函数的单调性若函数在区间a，b 上的图像是一条连续不断的曲线，利用f(a)f(b)0，结合单调性可判定yf(x)在(a，b)上零点的个数方法四转化成两个函数图像的交点问题题型一求函数的零点【例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13；(4)f(x)解(1)解方程f(x)x27x60，得x1或x6，所以函数的零点是1，6(2)解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函数的零点是1(3)解方程f(x)2x130，得xlog26，所以函数的零点是log26(4)解方程f(x)0，得x6，所以函数的零点为6规律方法求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点【训练1】函数yx1的零点是()a(1,0) b0c1 d不存在解析令yx10，得x1，故函数yx1的零点为1答案c题型二判断函数零点所在区间【例2】已知函数f(x)x3x1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是()a(3,4) b(2,3)c(1,2) d(0,1)解析f(0)10，f(1)10，f(3)230，f(4)590f(1)f(2)0，此零点一定在(1,2)内答案c规律方法1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图像2要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图像在a，b 上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点【训练2】函数f(x)exx2的零点所在的区间是()a(2，1) b(1,0) c(0,1) d(1,2)解析f(0)e00210，f(0)f(1)0，f(x)在(0,1)内有零点答案c题型三判断函数零点的个数【例3】判断函数f(x)ln xx23的零点的个数解方法一函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图像交点个数在同一直角坐标系下，作出两函数的图像(如图)由图像知，函数y3x2与yln x的图像只有一个交点从而方程ln xx230有一个根，即函数yln xx23有一个零点方法二由于f(1)ln 112320，所以f(1)f(2)0)的区间根问题【探究1】关于x的方程x22ax40的两根均大于1，求实数a的取值范围解法一(应用求根公式)方程x22ax40的两根为xa，要使两根均大于1，只需较小根a1即可解得2a.即实数a的取值范围是法二(应用根与系数的关系)设x1，x2为方程x22ax40的两根，则有x1x22a，x1x24.要使原方程x22ax40的两根x1，x2均大于1，则需满足将代入上述不等式组，解得2a即实数a的取值范围是法三(应用二次函数的图像)设f(x)x22ax4，图像如图所示由图可知解得2a即实数a的取值范围是【探究2】已知关于x的一元二方程x22mx2m10有两个不相等的实数根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围解由题意知，抛物线f(x)x22mx2m1与x轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内，如图，观察图像可得：解得m所以m的取值范围为【探究3】若关于x的方程x2mxm10有一正根和一负根，且负根的绝对值较大，求实数m的取值范围解令f(x)x2mxm1，其图像的对称轴为直线x方程x2mxm10有一正根和一负根，且负根的绝对值较大，函数f(x)x2mxm1有两个零点，且两零点的和小于0.画出函数的大致图像，如图所示解得0m0.故当a0时，方程一根大于1，一根小于1规律方法1.在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面：(1)与0的关系；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系；(4)开口方向2设x1，x2是实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个实数根，则x1，x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示.根的分布图像等价条件x1x2 x1x2续表 x1 x2f( )0x1，x2( 1， 2)x1，x2(x1x2)中有且仅有一个在( 1， 2)内f( 1)f( 2)0或f( 1)0， 1或f( 2)0， 2课堂达标1函数y4x2的零点是()a2 b(2,0) c d解析令y4x20，得x函数y4x2的零点为答案d2对于函数f(x)，若f(1)f(3)0，则()a方程f(x)0一定有实数解b方程f(x)0一定无实数解c方程f(x)0一定有两实数解d方程f(x)0可能无实数解解析函数f(x)的图像在(1,3)上未必连续，故尽管f(1)f(3)0，但未必函数yf(x)在(1,3)上有实数解答案d3方程2xx20的解的个数是_解析在同一直角坐标系中画出函数y2x及yx2的图像，可看出两图像有三个交点，故2xx20的解的个数为3答案34已知函数f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a的取值范围为_解析由题意可知f(0)a20，解得a2答案(，2)5判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)；(2)f(x)x22x4解(1)令f(x)0即0，故x3所以函数f(x)的零点是3(2)令f(x)0即x22x40，因为444120，所以此方程无解，故原函数无零点课堂小结1在函数零点存在定理中