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教师专业发展一、解题练习例1一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆自行车将能行驶 （请用方程或算术等多种解法求解；至少要用两个解法完成此题；希望完成之后能谈谈感想，想说什么就说什么）例2一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前段5000小时完成，乙工程队干后段3000小时完成，如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换，使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？例3一件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？ 例4一件工程，甲工程队干需10000小时，乙工程队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？ 下面我们从反思、沟通、启示三个层面上展开分析1.反思答案 解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行1的磨损量为又设一对新轮胎交换位置前走了、交换位置后走了， 有 两式相加，得 ， 则 （） 这个解法条理清晰，书写完整，答案正确，也不乏趣味性的技巧，体现了方程解题的优势，同时也给我们留下了反思深化的空间比如，可以提出怎样一些思考的线索：（1）本例对“字母表示数”的运用很熟练，引进过渡性的字母有助于建立等量关系、列出方程（像化学反应中的催化剂）；设而不求、也很富于解题的艺术，方程组、像是三元二次的，其实是二元一次的，并且不需要求出各个字母来但也正是这些技巧给我们的教学讲解和学生接受带来了一些困惑，把所求的未知数设为两个未知数之和，学生不太好理解，我们“怎样想到的”也不容易说清，这促使我们思考：能不能把题目处理得更好接受一些？（2）式、已经显露了题目的一种结构：很像“工程问题”，能不能循此进行深层次的揭示？（3）如果继续把式代入原方程（或由、式相减），还可以得出，就是说，若一对新轮胎同时报废，则单个轮胎安装在前轮行驶的路程等于其安装在后轮行驶的路程当我们思考这些问题，并把“一对自行车轮胎的行驶磨损”对应为“一件工程”，而把“前、后轮胎的磨损”对应为“把一件工程平均分为前、后两段”时（例1与例2的沟通），发现这个“自行车问题”与“工程问题”没有本质的区别 2.沟通新问题与原有知识经验的联系首先看下面熟知的“工程问题”：（具体数据有意与例1保持一致）例2一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前段5000小时完成，乙工程队干后段3000小时完成，如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换，使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？例3一件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？ 例4一件工程，甲工程队干需10000小时，乙工程队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？ 这三个工程问题的实质是完全一样的：（1）例2中前、后相等的两段，就是例3中的一半工程量；例2中甲、乙工程队各干一定时间后交换场地，使前、后两段同时完工，只不过是例3中甲、乙两工程队一齐干的一种途径，一齐干有多种途径，也可以像打隧道一样分别从两头同时动工，一直打到贯通，中间不交换（例2与例3的沟通）（2）例3中甲（乙）完成一半工程量需5000小时（3000小时），就是例4中甲（乙）完成整个工程需10000小时（6000小时）（例3与例4的沟通）（3）但是，例2的叙述方式更接近例1，所以，我们以“工程问题1”为代表与“自行车问题”比较如下（左右两边有“相当于”的对应关系）：例1 自行车问题例2 工程问题一对自行车轮胎的行驶磨损一件工程磨损量（从新轮胎到报废）工程量（完成一件工程）轮胎分为前轮、后轮工程分为前段、后段前轮、后轮磨损量相等（一个轮胎的磨损量为定值是隐含条件）前段、后段工程量相等（工程平均分为前、后两段是已知条件）前轮行驶5000报废甲工程队干前段5000小时完成后轮行驶3000报废乙工程队干后段3000小时完成如果行驶一定路程后，交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换，使前、后两段同时完工这辆车将能行驶多少？整个工程几小时完成？ 可见，“自行车问题”与“工程问题”有相同的结构这样一来，就激活了原有的知识经验，一般性的“工程”模式就可以具体指导特殊性的“自行车”磨损问题，更反映问题深层结构的解法也水到渠成新解1：设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则一对新轮胎报废时的总磨损量为2；又由已知得，安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1的磨损量为，进而，每1一对轮胎磨损量为；用总磨损量除以单位磨损量可得“一对新轮胎同时报废最多可行驶” 填新解2：设一对新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1的磨损量为，进而，每1一对轮胎磨损量为；用总磨损量除以单位磨损量可得“一对新轮胎同时报废最多可行驶” 填说明 如果说原解法更关注前轮、后轮两个“局部”的话，那么新解法则把前轮、后轮合起来作“整体处理”了；原解法将两个“局部”列成两条方程、直接呈现表层结构，新解法则已经完成两条方程相加、整体呈现问题的深层结构了，而、式（还有后面的、式）是一样的 新解3：设一对新轮胎交换位置后同时报废时自行车共行驶了由于填空题不需要书写过程，所以，我们不妨设想自行车的车把和车座都可以旋转，用人和车的掉头代替前、后轮交换的装卸当自行车行驶到时，前轮的磨损量恰好是后轮的磨损剩余量，前轮的磨损剩余量恰好是后轮的磨损量，如果此时旋转车把和车座掉头返回出发地，就交换了前、后轮，再行驶回到出发地时一对新轮胎同时报废于是， 一个新轮胎的总磨损量前进的磨损量返程的磨损量，有 ， 得 填说明 这实际上是对方程组中或取，并把两个方程合并为方程新解4：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行使1的磨损量为又设自行车一对新轮胎交换位置前走了、而到同时报废时共行驶了，分别以一个轮胎总磨损量为等量关系列方程， 即两式相加，得 ，则 说明：虽然方程相减还可求出，但本题的和主要起化学反应中的催化剂作用像已知数一样参与运算，便于列出方程新解5：假设自行车行驶了15000，则前轮用了3个，后轮用了5个，共报废8个，所以，一对新轮胎同时报废能行驶（）在中，先消去就是新解1，而取就是新解5，所以，方程解法、算术解法、技巧解法三者是相通的3.对“学解题、教解题、编习题”的启示 总结上面的讲解，每个人都有机会领悟一些有益的启示（千万别进宝山而空还），由于这是一个个性化的经验生成过程，认识的差异是难免的，作为抛砖引玉，我谈三点启示与同行共勉 （1）关于解题学习的启示解题获得答案是必要的，但学解题不要满足于获得答案，继续分析解题过程是认识问题深层结构、学会怎样解题的有效途径如同大家所看到的，对本例的反思分析就如同给我们的眼睛配备了显微镜和望远镜，既看得更细了（微观更透彻），又看得更远了（宏观更开阔）（2）关于解题教学的启示解题教学不仅要教解题活动的结果（答案），而且要呈现解题活动的必要过程暴露数学解题的思维活动没有过程的结果是事实的外在灌输，没有结果的过程是时间的低效消费，解题教学不仅要获得答案，而且要从获得答案的过程中学会怎样解题，把过程与结果结合起来对于本例，我们不妨依次转化为例2、例3、例4进行化归思想的教学；或者反过来回忆小学时的例4，然后逐步深入到例3、例2、例，从小