北师大版必修三 模拟方法概率的应用 学案.doc

3模拟方法概率的应用学习目标1.了解几何概型的定义及其特点(重点).2.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率(重点).3.会用模拟方法估计某些随机事件的概率和不规则图形的面积(重、难点).预习教材p150153完成下列问题：知识点1几何概型的含义1.几何概型的定义向平面上有限区域(集合)g内随机地投掷点m，若点m落在子区域g1g的概率与g1的面积成正比，而与g的形状、位置无关，即p(点m落在g1)，则称这种模型为几何概型.2.几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.【预习评价】几何概型与古典概型有何区别？提示几何概型与古典概型的异同点类型异同古典概型几何概型不同点(基本事件的个数)一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有有限个一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个相同点(基本事件发生的等可能性)每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等知识点2几何概型的概率公式1.p(a).2.模拟方法的本质是产生大量指定范围内的随机数来代替反复实验，以频率估计概率.模拟方法可以来估计某些随机事件发生的概率.【预习评价】(正确的打，错误的打)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(6)从区间1,10内任取一个数，取到1的概率是p()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)题型一与长度有关的几何概型【例1】取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？解如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件a.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件a发生，因为中间一段的长度为1 m，所以事件a发生的概率为p(a).规律方法在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域d，这时区域d可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件a发生对应的区域d，在找区域d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件a的概率.【训练1】 平面上画了一组彼此平行且相距2a的平行线.把一枚半径ra的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率.解设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件a.如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r的两条平行虚线，则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰.故p(a).题型二与面积有关的几何概型【例2】如图，射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解记“射中黄心”为事件b.因为中靶点随机地落在面积为cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为cm2的黄心内时，事件b发生，所以事件b发生的概率p(b)0.01.规律方法解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题.(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率.【训练2】一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.解如图所示，区域是长30 m、宽20 m的长方形.图中阴影部分表示事件a：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率.由于区域的面积为3020600(m2)，阴影部分的面积为30202616184(m2).所以p(a)0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率约为0.31.题型三与体积有关的几何概型【例3】已知正三棱锥sabc的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点m，试求点m到底面的距离小于的概率.解如图，分别在sa，sb，sc上取点a1，b1，c1，使a1，b1，c1分别为sa，sb，sc的中点，则当点m位于平面abc和平面a1b1c1之间时，点m到底面的距离小于.设abc的面积为s，由abca1b1c1，且相似比为2，得a1b1c1的面积为.由题意，知区域d(三棱锥sabc)的体积为sh，区域d(三棱台abca1b1c1)的体积为shsh.所以点m到底面的距离小于的概率p.规律方法如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件a所占的区域体积.其概率的计算公式为p(a).【训练3】一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率.解依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体.由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为p.题型四模拟方法的应用【例4】 利用随机模拟方法计算由y1和yx2所围成的图形的面积.解以直线x1，x1，y0，y1为边界作矩形，(1)利用计算器或计算机产生两组0 1区间的均匀随机数，a1rand，brand；(2)进行平移和伸缩变换，a2(a10.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数n1，用几何概型公式计算阴影部分的面积.例如做1 000次试验，即n1 000，模拟得到n1698，所以p，即阴影面积s矩形面积21.396.规律方法解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值，解决此类问题时注意两点：一是选取合适的对应图形；二是由几何概型正确计算概率.【训练4】在右图的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.解随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即.设正方形的边长为2，则圆半径为1，则，由于落在每个区域的豆子数是可能数出来的，所以4.所以就得到了的近似值.【例5】 如图所示，在abc中，b60，c45，高ad，在bac内作射线am交bc于点m，求bm1的概率.解因为b60，c45，所以bac75.在rtabd中，ad，b60，所以bd1，bad30.记事件n为“在bac内作射线am交bc于点m，使bm1”，则可得bambad时事件n发生.由几何概型的概率公式，得：p(n).【迁移1】(变换条件)若本例 中“在bac内作射线am交bc于点m”改为“在线段bc上找一点m”，求bm1的概率.解依题意知bcbddc1，p(bm1).【迁移2】(变条件，变问法)如图，在等腰直角三角形abc中，过直角顶点c在acb内部作一条射线cm，与线段ab交于点m.求amac的概率.解因为cm是acb内部的任意一条射线，而总的基本事件是acb的大小，即为90，所以作acac，且acc67.5.如图，当cm在acc内部的任意一个位置时，皆有amacac，即p(amac).【迁移3】(变条件，变问法)如图，在平面直角坐标系内，射线ot落在60角的终边上，任作一条射线oa，求射线oa落在xot内的概率.解以o为起点作射线oa是随机的，因而射线oa落在任何位置都是等可能的，落在xot内的概率只与xot的大小有关，符合几何概型的条件.于是，记事件b射线oa落在xot内.因为xot60，所以p(b).规律方法当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段.课堂达标1.在区间0,3上任取一个数，则此数不大于2的概率是()a. b. c. d.解析此数不大于2的概率p.答案c2.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影区域的面积是()a.b.c.d.无法计算解析在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型.设“落在阴影区域内”为事件a，则事件a构成的区域是阴影部分.设阴影区域的面积为s，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有p(a)，解得s.答案c3.在半径为2的球o内任取一点p，则 op 1的概率为_.解析问题相当于在以o为球心，1为半径的球外，且在以o为球心，2为半径的球内任取一点，所以p.答案4.在1 000 ml水中有一个草履虫，现从中随机取出3 ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_.解析由几何概型知，p.答案5.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是多少？解由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件.事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为p.课堂小结1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型.2.几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目.3.注意理解几何概型与古典概型的区别.4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为p(a).基础过关1.在长为12 cm的线段ab上任取一点m，并以线段am为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为()a. b. c. d.解析正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间，所以正方形的边长介于6 cm与9 cm之间，线段ab的长度为12 cm，故所求概率为.答案c2.已知直线yxb的横截距在区间2,3上，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是()a. b. c. d.解析因为直线yxb的横截距b2,3，所以纵截距b3,2，故b1的概率p.答案a3.如图，在一个边长分别为a，b(ab0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边长分别为，且高为b.现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是()a. b. c. d.解析s梯形()bab，s矩形ab.所以p.答案c4.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为_.解析由几何概型知p0.005.答案0.0055.广告法对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他在一小时内的任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为，那么该台每小时约有_分钟的广告.解析由题意知，某人在一小时内看节目时，看到广告的概率为1，则该台每小时约有606(分钟)的广告.答案66.在转盘游戏中，假设有红、绿、蓝三种颜色.在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问：若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为，输的概率为，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是等可能的)解因为赢的概率为，所以红色所占角度为周角的，即172.同理，蓝色占周角的，即2120，所以绿色所占角度336012072168.将3分成四等份，得34168442，即每个绿色扇形的圆心角为42.7.如图，在单位圆o的某一直径上随机的取一点q，求过点q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率.解弦长不超过1，故oq，因为q点在直径ab上是随机的，设事件a为“弦长长度超过1”，由几何概率的计算公式得，p(a).所以其对立事件“弦长不超过1”的概率为p()1p(a)1.能力提升8.如图，在矩形区域abcd的a，c两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ade和扇形区域cbf(该矩形区域内无其他信号 ，基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()a.1b.1c.2d.解析由几何概型知所求的概率p1.答案a9.函数f(x)x2x2，x5,5，那么任取一点x0使f(x0)0的概率为()a.0.5 b.0.6 c.0.7 d.0.8解析如图，在5,5上函数的图象和x轴分别交于两点(1,0)，(2,0)，只有x05，1)(2,5时，f(x0)0，由题意，知本题是几何概型问题.记事件a为“任取一点x0，使f(x0)0”，事件a的区域长度是区间5，1)与(2,5的长度和，全体基本事件的长度是5,5的区间长度.由几何概型的概率公式，得p(a)0.7.故选c.答案c10.设a为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点b与点a连接，则弦长超过半径的倍的概率是_.解析如图，在圆o上有一定点a，任取一点b与点a连接，且弦长超过半径的倍，即为aob的度数大于90，而小于270.记“弦长超过半径的倍”为事件c，则事件c表示的范围是aob(90，270).由几何概型的概率公式，得p(c).答案11.在长方形abcd中，ab2，bc1，o为ab的中点，在长方形abcd内随