北师大版选修21 空间向量的运算(一) 学案.docx

学习目标1.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义.2.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线向量定理.3.利用向量知识解决立体几何中一些简单的问题.知识点一空间向量的加法设a和b是空间两个向量，如图，过点o作a，b，则平行四边形的对角线oc对应的向量就是a与b的和，记作ab.知识点二空间向量的减法a与b的差定义为a(b)，记作ab，其中b是b的相反向量.知识点三空间向量加减法的运算律(1)结合律：(ab)ca(bc).(2)交换律：abba.知识点四数乘的定义空间向量a与实数的乘积是一个向量，记作a.(1)|a|a|.(2)当0时，a与a方向相同；当0时，a和a方向相同；0时，a和a方向相反；0时，a0；a的长度是a的长度的|倍.(2)不能.因为向量既有大小又有方向.题型一空间向量的加减运算例1如图，在长方体abcda1b1c1d1中，下列各式运算结果为的是()；.a.b.c.d.答案a解析(1)；(2)；(3)；(4)，故选a.反思与感悟运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”.跟踪训练1如图，在正方体abcda1b1c1d1中，下列各式中运算结果为向量的是_(填序号).()；()；()；().答案解析()；()；()；().所以所给四个式子的运算结果都是.题型二空间向量的数乘运算例2如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，设a，b，c，m，n，p分别是aa1，bc，c1d1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解(1)p是c1d1的中点，aacacb.(2)n是bc的中点，abababc.(3)m是aa1的中点，a(acb)abc.又ca，(abc)(ac)abc.反思与感悟用已知向量表示未知向量，一定要结合图形进行求解.如果要表示的向量与已知向量起点相同，一般用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，则用数乘.跟踪训练2如图所示，在平行六面体abcdabcd中，a，b，c，p是ca的中点，m是cd的中点，n是cd的中点，点q在ca上，且cqqa41，用a，b，c表示以下向量：(1)；(2)；(3)；(4).解(1)p是ca的中点，()()(abc).(2)m是cd的中点，()(2)(a2bc).(3)n是cd的中点，()()()(22)abc.(4)cqqa41，()abc.题型三向量共线问题例3如图，四边形abcd和abef都是平行四边形，且不共面，m，n分别是ac，bf的中点，则与是否共线？解方法一m，n分别是ac，bf的中点，且四边形abcd和abef都是平行四边形，.又，得2，即与共线.方法二m，n分别是ac，bf的中点，且四边形abcd和abef都是平行四边形，()()()()().，即与共线.反思与感悟判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数，使ab成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出ab，从而得到ab.跟踪训练3设两非零向量e1、e2不共线，e1e2，2e18e2，3(e1e2).试问：a、b、d是否共线，请说明理由.解(2e18e2)3(e1e2)5(e1e2)，5，又b为两向量的公共点，a、b、d三点共线.1.设a，b是两个不共线的向量，r，若ab0，则()a.ab0b.0c.0，b0d.0，a0答案b解析a，b是两个不共线的向量，a0，b0，只有b正确.2.设空间中四点o，a，b，p满足t，其中0t1，则有()a.点p在线段ab上b.点p在线段ab的延长线上c.点p在线段ba的延长线上d.点p不一定在直线ab上答案a解析0t1，点p在线段ab上.3.如图，在空间四边形oabc中，a，b，c，点m在oa上，且om2ma，n为bc中点，则等于()a.abcb.abcc.abcd.abc答案b解析a(ba)(cb)abc.4.如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为a1c1与b1d1的交点.若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()a.abcb.abcc.abcd.abc答案a解析()abc.5.如图，在四面体oabc中，a，b，c，d为bc的中点，e为ad的中点，则_(用a，b，c表示).答案abc解析abc.1.空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线，三个向量