北师大版选修21 3.1.2.1 椭圆的简单性质 作业.docx

1.2椭圆的简单性质第1课时椭圆的简单性质1.已知点(3,2)在椭圆x2a2+y2b2=1(a0,b0,且ab)上,则()a.点(-3,-2)不在椭圆上b.点(3,-2)不在椭圆上c.点(-3,2)在椭圆上d.以上都不对解析:由椭圆的图像既关于x轴、y轴成轴对称,又关于坐标原点成中心对称可知选c.答案:c2.椭圆x2a2+y2b2=1(a0,b0,且ab)和x2a2+y2b2=k(k0,a0,b0,且ab)具有()a.相同的长轴b.相同的焦点c.相同的顶点d.相同的离心率答案:d3.已知中心在原点的椭圆c的右焦点为f(1,0),离心率等于12,则c的方程是()a.x23+y24=1b.x24+y23=1c.x24+y22=1d.x24+y23=1解析:由中心在原点的椭圆c的右焦点f(1,0)知,c=1.又离心率等于12,则ca=12,得a=2.由b2=a2-c2=3,故椭圆c的方程为x24+y23=1.答案:d4.已知椭圆的一个焦点为f,若椭圆上存在一点p,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段pf相切于线段pf的中点,则该椭圆的离心率为()a.53b.23c.22d.59解析:如图所示,pf与圆相切于点a,且a为pf的中点.设点f1为椭圆的另一个焦点.又o为f1f的中点,|pf1|+|pf|=2a,|pf1|=2|ao|=2b,|pf|=2a-2b,|pf|2=|af|=a-b.在rtoaf中,|oa|=b,|of|=c,c2=b2+(a-b)2,即3b=2a,令a=3,则b=2,c=5,e=53.答案:a5.已知椭圆的中心在原点,对称轴是坐标轴,离心率e=32且过点p(2,3),则此椭圆的标准方程是()a.x240+y210=1b.y240+x210=1c.x240+y210=1或y225+4x225=1d.y225+4x225=1解析:(方法一)将点p的坐标代入各选项的方程中进行检验,排除b.选项c中两椭圆都过点p且离心率都等于32,故选c.(方法二)分焦点在x轴、y轴上两种情况,用待定系数法求解.(1)若所求椭圆的焦点在x轴上,设其方程为x2a2+y2b2=1,则1-b2a2=34,4a2+9b2=1,解得a2=40,b2=10.故所求椭圆的标准方程为x240+y210=1.(2)同理可得焦点在y轴上时,所求椭圆的标准方程为y225+4x225=1.答案:c6.过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点f1作x轴的垂线交椭圆于点p,f2为右焦点,若f1pf2=60,则椭圆的离心率e为()a.22b.33c.12d.13解析:设|f1f2|=2c,则|pf1|=233c,|pf2|=433c,|pf1|+|pf2|=23c=2a,离心率为ca=33.答案:b7.如图所示,底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30的平面所截,其截口是一个椭圆,则这个椭圆的长轴长为,短轴长为.答案:83 cm12 cm8.已知椭圆g的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为32,且g上一点到g的两个焦点的距离之和为12,则椭圆g的方程为.解析:由已知,得2a=12,ca=32,a=6,c=33,b=3,椭圆g的方程为x236+y29=1.答案:x236+y29=19.如图所示,把椭圆x225+y216=1的长轴ab分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7七个点,f是椭圆的一个焦点,则|p1f|+|p2f|+|p3f|+|p4f|+|p5f|+|p6f|+|p7f|=.解析:由椭圆的定义及对称性知|p1f|+|p7f|=|p1f|+|p1f1|=2a.同理,|p2f|+|p6f|=|p3f|+|p5f|=2a=10.又|p4f|=a=5,故原式=310+5=35.答案:3510.如图所示,椭圆的中心在原点,焦点f1,f2在x轴上,a,b是椭圆的顶点,p是椭圆上一点,且pf1x轴,pf2ab,求此椭圆的离心率.解(方法一)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0).则有f1(-c,0),f2(c,0),a(0,b),b(a,0),直线pf1的方程为x=-c,代入方程x2a2+y2b2=1,得y=b2a,p-c,b2a.又pf2ab,pf1f2aob,|pf1|f1f2|=|ao|ob|,b22ac=ba,b=2c,b2=4c2,a2-c2=4c2,c2a2=15,e2=15,则e=55,椭圆的离心率为55.(方法二)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则f1(-c,0),f2(c,0),a(0,b),b(a,0).设p(-c,y0)(y00)代入方程x2a2+y2b2=1,得y0=b2a,p-c,b2a.pf2ab,kab=kpf2, 0-ba-0=0-b2ac-(-c),b=2c,b2=4c2.又b2=a2-c2,a2-c2=4c2,e2=c2a2=15,e=55,椭圆的离心率为55.11.设直线l:y=x+m与椭圆c:x2a2+y2a2-1=1(a1)相交于a,b两点,且l过椭圆c的右焦点,若以ab为直径的圆经过椭圆的左焦点,试求椭圆c的方程.解由椭圆c:x2a2+y2a2-1=1(a1)得c=a2-(a2-1)=1,椭圆的两个焦点为f1(-1,0),f2(1,0).又l经过点f2,m=-1,即直线l的方程为y=x-1,代入x2a2+y2a2-1=1(a1)得(2a2-1)x2-2a2x+2a2-a4=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),x1x2=2a2-a42a2-1.又以ab为直径的圆过点f1,af1bf1. kaf1kbf1=-1,即y1x1+1y2x2+1=-1,y1y2+(x1+1)(x2+1)=