线性代数历年试卷 全 .doc

线性代数教学大纲教学内容和基本要求行列式理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；了解阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的阶行列式；掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。矩阵理解矩阵的概念；理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质； 理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。矩阵的初等变换与Gauss消元法理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系，理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。向量组的线性相关性理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。相似矩阵和二次型理解向量的内积、长度及正交性的概念，了解向量内积的基本性质；理解向量空间的标准正交基的概念，熟练掌握Schimidt正交化方法；理解正交矩阵的概念，了解正交矩阵的性质；理解矩阵的特征值、特征向量的概念，熟练掌握矩阵的特征多项式、特征值、特征向量的求法，理解特征多项式、特征值、特征向量的性质；理解矩阵的相似性概念，理解两矩阵相似的必要条件；熟练掌握矩阵相似于对角阵的充要条件，并熟练掌握相应的对角阵及相似变换矩阵的求法；熟练掌握实对称矩阵的性质，熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵的方法；理解二次型及二次型的矩阵的概念，熟练掌握二次型的矩阵的求法；理解可逆线性变换及二次型的标准形的概念，了解二次型的规范形的概念；理解矩阵间的合同关系的概念；理解二次型在正交变换下的标准形与二次型的矩阵的特征值的关系，熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，掌握用可逆线性变换化二次型为标准形的方法；理解惯性定理的结论，掌握判断实对称矩阵合同的方法；理解正定性的概念，熟练掌握判断二次型、实对称矩阵是否正定的方法。01-02学年第三学期线性代数期终考试试卷一（33%）填空题（表示单位矩阵，表示零矩阵，指矩阵的转置矩阵）：设，则 ； ；设矩阵，则行列式 ；若向量组，则当参数 时，线性相关；矩阵的伴随矩阵=；设矩阵及均可逆，则 ；分块矩阵的逆矩阵为；设矩阵。若齐次线性方程组的解空间是2维的，则齐次线性方程组的解空间是 维的；与向量，均正交的一个单位向量为 ；已知矩阵，则当数满足条件 时，是正定的；若n阶实对称矩阵满足，且有两个不同的特征值, 则当参数满足条件 时，矩阵是正定的；二（12%）求矩阵方程的解，其中，。三（12%）设3阶方阵有特征值，是其相应于特征值 的特征向量，是其相应于特征值的特征向量。求。若3阶实对称矩阵的特征值也是，证明：与必定相似。四（12%）设线性方程组问：当参数满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式）。五（12%）矩阵。求一问：是否存在秩大于2的矩阵使得？为什么？六（12%）设实对称矩阵求参数；求一正交矩阵七（7%）证明题：设 是矩阵的两个互异的特征值，是的属于的线性无关的特征向量，是的属于的特征向量。证明：线性无关。已知阶方阵相似于对角阵，并且，矩阵的特征向量均是矩阵的特征向量（注：，的特征值未必相同）。证明03-04学年第三学期线性代数期终考试试卷（24%）填空题：假设矩阵，则。假设向量组A：，则当参数满足条件 时，向量组A的秩为1； 时A的秩为2； 时A的秩为3。若向量是矩阵的特征向量，则。设矩阵，且，则参数满足条件 。若矩阵与对角阵相似，则满足条件 。若是正交矩阵，则满足条件 。若对满足条件的实对称矩阵， 都是正定矩阵，则实数必定满足条件 。（8%）求矩阵的行列式的值。（15%）已知矩阵，向量。若是线性方程组的解，试求的值，并求这时的通解；若有无穷多组解，但不是的解，求的值。（15%）解矩阵方程 。其中，。（15%）设二次型写出二次型的矩阵；求一正交变换将化成标准形，并写出相应的标准形。（12%）设3阶矩阵的特征值是（二重）和，且，是的相应于特征值2的特征向量，是的相应于特征值是4的特征向量。求矩阵及。（5%）已知矩阵，。问：当参数满足什么条件时，矩阵方程有解，但无解？（6%）证明题：已知向量组可以由线性表示。若向量组的秩为2，证明：线性无关。设2阶方阵，且，。若不全为零，证明：不与任何对角阵相似。04-05学年第三学期线性代数期终考试试卷一、27%）填空题若矩阵,，且，则的值分别为；设对任意列向量，则矩阵 ；设阶方阵， 若的行列式 ，则矩阵的行列式 ；设为阶可逆方阵，阶矩阵的逆矩阵为 ；齐次线性方程组的一个基础解系为 ；若二次型是正定的，则参数的取值范围是；若矩阵是正交矩阵, 则参数的值分别为 ；假设阶矩阵的特征值为。则行列式的值为 ；若实二次型的矩阵分别为，则的正惯性指数相同，负惯性指数也相同的充分必要条件是参数满足 。二（14%）假设阶矩阵满足。证明矩阵及均可逆，并分别求及；证明：若，矩阵肯定不可逆。三（14%）假设矩阵，。已知线性方程组有无穷多组解。试求参数的值，并求方程组的通解（要求用的一特解及相应的齐次线性方程组的基础解系表示）。四（15%）已知矩阵相似于对角阵。求的值，并求的特征值及相应的特征向量；求一可逆矩阵，使得为对角阵，并写出相应的对角阵；问：是否存在正交矩阵，使得为对角阵？试说明你的理由。五（12%）已知矩阵，矩阵，求矩阵，使得。六（12%）假设3维向量；。已知向量组与向量组等价。求的秩及其一个最大线性无关组，并求参数的值；令矩阵，求满足的矩阵。七（6%）假设阶矩阵满足。证明：关于矩阵的秩有等式，并且相似于对角阵；若，试求行列式的值。05-06第三学期线性代数期终考试试卷一、30%）填空题（表示相应的单位矩阵）设3阶矩阵的行列式,矩阵， 则矩阵的行列式 ；若矩阵满足，则的逆矩阵 ；若向量组的秩为2，则参数满足条件 ；假设3阶矩阵的特征值为，矩阵，其中，是的伴随矩阵，则的行列式 ；若矩阵与矩阵相似，则 ； 设是3阶实对称矩阵的相应于某个非零二重特征值的特征向量。若不可逆，则的另一个特征值为 ，相应的一个特征向量为 ；已知3元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2, 并且，是的3个解向量,其中,则的通解是 ；若4阶方阵的秩都等于1，则矩阵的行列式 ；若矩阵与矩阵合同，则参数满足条件 。（10%）计算下述行列式的值：（15%）设线性方程组 。问：当参数取何值时, 线性方程组有唯一解？当参数取何值时，线性方程组有无穷多组解？当线性方程组有无穷多组解时，求出其通解。（12%）假设矩阵，矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求。（10%）已知向量组线性无关，问：参数满足什么条件时，向量组线性相关？（15%）已知二次型写出二次型的矩阵； 求一正交变换，将变成其标准形（并写出的相应的标准形）； 求当时的最大值。（8%）证明题：设向量组中，线性相关，线性无关，证明：能由线性表示。设是阶正定矩阵,证明：矩阵也是正定矩阵。06-07第三学期线性代数期终考试试卷(18%)填空题（表示单位矩阵）假设，则 ；矩阵的逆矩阵 ；若矩阵的行列式等于，矩阵，则矩阵的行列式 ；齐次线性方程组的一个基础解系是 ；向量组，的一个极大线性无关组是 ；若矩阵合同，则参数满足条件 。（12%）选择题假设是同阶方阵，数，则正确的命题是（ ）（A）； （B）；（C） ； （D）。假设矩阵，则不与相似的矩阵为（ ）（A）； （B）； （C）； （D）假设都是非零矩阵且，则正确的命题是（ ） （A）的行向量组线性相关； （B）的行向量组线性相关； （C）的行向量组都线性相关； （D）的列向量组都线性相关。（16%）设线性方程组 参数取何值时，线性方程组有唯一解？取何值时，方程组没有解？当取何值时，方程组有无穷多组解？当方程组有无穷多组解时，求其通解。（16%）设，并且，求及。（14%）已知向量是矩阵的一个特征向量。求参数的值，并求的相应于特征向量的特征值；问：矩阵是否相似于对角阵？说明你的理由。 （14%）已知矩阵。求一正交矩阵使得为对角阵； （10%）假设维实行向量，矩阵。证明：是对称矩阵当且仅当线性相关； 当线性相关时，求实数的取值范围，使得是正定矩阵。05-06学年第二学期线性代数补考试卷一(30%)填空题设3阶矩阵，。若的行列式，则的行列式 ；与向量及都正交的单位向量为 ；矩阵的伴随矩阵 ；假设，则= ；= ；若为阶方阵，则方阵的逆矩阵 ；已知矩阵，若不可逆，则参数满足条件 ，这时，的秩为 ； 假设阶方阵满足，则是可逆的，且 ；假设矩阵相似于对角阵，并且2是的一个二重特征值，则参数的值分别等于 。二（12%）已知矩阵。求的行列式的值；根据的不同的值，求的秩及列向量组的极大线性无关组。三（12%）假设，。求矩阵方程的解。四（14%）假设矩阵，。问：当参数取什么值时，线性方程组有唯一解、有无穷多组解、无解？当线性方程组有无穷多组解时，求出其通解。五（14%）已知三阶方阵与矩阵相似，求参数的值，并求一可逆矩阵，使得。六（12%）设二次型求一可逆线性变换将变成其标准形；根据参数的不同取值，讨论的秩及正、负惯性指数；问：当参数取什么值时，是正定二次型？ 七（6%）假设是阶正交阵。若是实对称矩阵，证明：的特征值只能是1和，并且，若，则肯定是的特征值。07-08学年第一学期线性代数转系考试试卷一 (18%)填空题（表示单位矩阵）设，若和都是对称矩阵，则的值分别为 ；若矩阵的特征值是，则的伴随矩阵的行列式等于 ；如果矩阵 相似于对角阵，则参数必满足条件 ；如果矩阵是正定的，则参数满足条件 ；对秩为的矩阵，非齐次线性方程组的解集合中，线性无关的解向量的个数为 ；如果将实对称矩阵按合同关系分类，使得两个矩阵在同一类的充分必要条件是它们是合同的，则实对称矩阵全体可以分成的合同类的个数为二(12%)选择题对于矩阵，齐次线性方程组的基础解系中向量个数不可能是 （A）； （B）； （C）； （D）假设是矩阵的属于不同特征值的特征向量，则线性无关的充分必要条件是（A）； （B）； （C）； （D）下列论断中，正确的一项为（）存在实对称矩阵，使得，但；（）存在实对称矩阵，使得，但；（）存在实对称