北师大版选修23 简单计数问题 课时作业.docx

简单计数问题1.从3名男同学和2名女同学中选1人主持本班某次主题班会,不同选法种数为()a.6b.5c.3d.2解析:由分类加法计数原理知总方法数为3+2=5(种).答案:b2.4位同学从甲、乙、丙3门课程中各选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法有()a.12种b.24种c.30种d.36种解析:分三步,第一步先从4位同学中选2人选修课程甲,共有c42种不同选法;第二步给第3位同学选课程,有2种选法;第三步给第4位同学选课程,也有2种不同选法.故共有c4222=24(种).答案:b3.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()a.192种b.216种c.240种d.288种解析:若最左端排甲,其他位置共有a55=120(种)排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有a44=24(种)排法,所以共有120+424=216(种)排法.答案:b4.若从1,2,3,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有()a.60种b.63种c.65种d.66种解析:共有4个不同的偶数和5个不同的奇数,要使和为偶数,则4个数全为奇数,或全为偶数,或2个奇数和2个偶数,故不同的取法有c54+c44+c52c42=66(种).答案:d5.(1+2x)3(1-x)4展开式中x项的系数为()a.10b.-10c.2d.-2解析:(1+2x)3(1-x)4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到,即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项,它为c30(2x)0c41(-x)1+c31(2x)1c4014(-x)0,其系数为c30c41(-1)+c312=-4+6=2.答案:c6.把5件不同产品摆成一排.若产品a与产品b相邻,且产品a与产品c不相邻,则不同的摆法有种.解析:记5件产品为a,b,c,d,e,a,b相邻视为一个元素,先与d,e排列,有a22a33种方法;再将c插入,仅有3个空位可选,共有a22a33c31=263=36(种)不同的摆法.答案:367.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格中,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有种.解析:编号为1的方格内填数字2,共有3种不同填法;编号为1的方格内填数字3,共有3种不同填法;编号为1的方格内填数字4,共有3种不同填法.于是由分类加法计数原理,得共有3+3+3=9(种)不同的填法.答案:98.x+12xn的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大,则第四项为.解析:由已知条件第五项和第六项二项式系数最大,得n=9,x+12x9展开式的第四项为t4=c93(x)612x3=212.答案:2129.导学号43944059电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱,其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信,甲箱中有30封,乙箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两箱中各确定一名幸运观众,有多少种不同结果?解分两类:(1)幸运之星在甲箱中抽,选定幸运之星,再在两箱内各抽一名幸运观众,有302920=17 400(种).(2)幸运之星在乙箱中抽取,有201930=11 400(种).共有不同结果17 400+11 400=28 800(种).b组1.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()a.144b.120c.72d.24解析:先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把三人带椅子插放在四个位置,共有a43=24种放法,故选d.答案:d2.使3x+1xxn(nn+)的展开式中含有常数项的最小的n为()a.4b.5c.6d.7解析:tr+1=cnr(3x)n-r1xxr=cnr3n-rxn-52r,当tr+1是常数项时,n-52r=0,当r=2,n=5时成立.答案:b3.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种(用数字作答).解析:第一步,先选出文娱委员,因为甲、乙不能担任,所以从剩下的3人中选1人当文娱委员,有3种选法.第二步,从剩下的4人中选学习委员和体育委员,又可分两步进行:先选学习委员有4种选法,再选体育委员有3种选法.由分步乘法计数原理可得,不同的选法共有343=36(种).答案:364.在x-14x6的展开式中,x2的系数为.解析:由题意知tr+1=c6rx6-r-14xr=c6rx6-2r-14r.令6-2r=2,可得r=2.故所求x2的系数为c62-142=1516.答案:15165.在(2x-3y)10的展开式中,求:(1)二项式系数的和;(2)各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4)奇数项系数和与偶数项系数和.解(1)二项式系数的和为c100+c101+c1010=210.(2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.(3)奇数项的二项式系数和为c100+c102+c1010=29,偶数项的二项式系数和为c101+c103+c109=29.(4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+a10=1,令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),得a0-a1+a2-a3+a10=510,+得2(a0+a2+a10)=1+510,奇数项系数和为1+5102;-得2(a1+a3+a9)=1-510,偶数项系数和为1-5102.6.导学号43944060男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员.解(1)第一步:选3名男运动员,有c63种选法.第二步:选2名女运动员,有c42种选法.共有c63c42=120(种)选法.(2)法一至少有1名女运动员包括以下几种情况:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为c41c64+c42c63+c43c62+c44c61=246(种).法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,可用间接法求解.从10人中任选5人有c105种选法,其中全是男运动员的选法有c65种.所以“至少有1名女运动员”的选法为c105-c65=246(种).(3)法一(直接法)可分类求解:“只有男队长”的选法为c84;“只有女队长”的选法为c84;“男、女队长都入选”的选法为c83;所以共有2c84+c83=196(种)选法.法二(间接法)从10人中任选5人有c105种选法.其中不选队长的方法有c85种.所以“至少有1名队长