工程力学电子教案第四章（全沅生周家泽主编）

重点 第2篇杆件的基本变形及承载能力计算静力分析中我们把物体抽象为刚体 实际上刚体并不存在 任何物体在外力作用下都会产生变形 当外力达到一定值时物体会发生破坏 在工程实际中 往往需要考虑构件的变形及破坏 因此 本篇研究对象是可变形固体 简称变形体 为便于研究 假设 材料是均匀 连续和各向同性的 物体的整个体积内均匀地 毫无空隙地充满了物质 且材料沿任何方向都具有相同的力学性能 本篇主要研究构件承受载荷的能力 对此 有几点要求 1 要有足够的强度 即构件抵抗破坏的能力 2 要求足够的刚度 即构件抵抗变形的能力 3 要有足够的稳定性 即受压直杆保持其直线平衡状态 重点 了解本篇学习内容拉伸与压缩剪切与挤压扭转弯曲 的能力 如果受压杆的轴线由直线突然变成曲线 即为失稳 此种情况后果很严重 本篇重点考虑强度问题 在使用材料是要考虑其可靠性和经济性 本篇任务即在保证构件安全可靠工作的条件下 为选择合适的材料 合理的截面尺寸提供理论基础及计算方法 本篇重点讨论杆件的轴向拉伸与压缩 剪切与挤压 扭转 弯曲 有些变形同时发生 称为组合变形 重点 内力 第4章拉伸与压缩4 1拉伸与压缩的概念上二图中螺栓和内燃机连杆等都是承受轴向拉伸或压缩的构件 共同特点 外力合力与轴线重合 杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短 即为轴向拉伸或压缩 简化为图3 图中虚线为变形后的形状 4 2拉 压 杆的内力与截面法内力 构件受外力作用而变形时 内部质点间的相互作用力也在发生改变 外力作用而引起内力的改变量为附加内力 简称内力 重点 了解轴力的概念了解轴力图的概念 截面法 内力是物体内部的相互作用力 求内力时必须将物体分成两部分才能使内力表现出来 图4用截面将构件截开 受连续分布内力作用 合力用FN表示 在杆件平衡时 FN F此力沿轴向 因而也成轴力 求拉 压 杆内力或轴力的方法即为截面法 是材料力学求内力的基本方法 归纳 截开 用截面将构件分成两部分 代替 留下任一部分 标出内力 平衡 对留下部分建立方程 确定内力大小和方向 轴力图 用轴线坐标代表横截面 用垂直于坐标的值 重点 表示轴力值 例4 1直杆受力如图4 5所示 已知F1 15kN F2 13kN F3 8kN 计算杆各段的轴力并作轴力图 解 1 求支座A的约束反力Fr 图b 建立方程 Fx 0 Fr F1 F2 F3 0解得Fr 10kN2 杆在B C处也有外力 因而AB BC和CD三段的轴力不同 需要分段计算 AB段的轴力 取段中任一截面 取左段为研究对象 画出受力图 建立方程 重点 熟练掌握轴力图的画法 Fx 0 FN1 Fr 0解得FN1 10kN计算BC段的轴力 在段中取任一截面 取左段为研究对象 画出受力图 建立方程 Fx 0 Fr F1 FN2 0解得FN2 5kN计算CD段的轴力 在段中取任一截面 取右段为研究对象 画出受力图 建立方程 Fx 0 FN3 F3 0解得FN3 8kN根据以上结果 画出每段的轴力图如图f所示 可见最大轴力发生在AB段 重点 了解应力的概念 4 3拉 压 杆的应力4 3 1应力的概念杆件的强度不仅与轴力有关 还与截面积有关 应力 横截面上内力分布的密集程度 严格来说 横截面上各点的内力一般是不均匀的 为描述某点的应力 可在该点取微面积 A 其上作用的合力为 F 其比值 F A为微面积上的平均应力 m 当 A趋近于零时 m的极值即为该点处的应力P 即p p是矢量 方向不定 可将其分解为轴向分量 和切向分量 称为正应力 称为切应力 应力单位为帕斯卡 简称Pa 1Pa 1N m2 重点 通常用兆帕MPa和吉帕Gpa 1MPa 106Pa 1GPa 109Pa4 3 2拉 压 杆横截面上的应力平面假设 等直杆两横截面在拉伸或压缩后仍保持平面 只是相对移动了一定距离 刚杆在轴向拉伸时 横截面上只有正应力 且均匀分布 轴向拉伸或压缩时正应力 4 1 其中 FN 横截面的轴力 A 横截面面积 正负号与轴力相同 拉应力为正 压应力为负 例4 2图4 8所示的吊环由斜杆AB AC与横梁BC组成 重点 200 斜杆的直径d 55mm 材料为锻钢 已知吊环的最大吊重P 500kN 求斜杆内的应力 解 内力分析 吊环简图和节点的受力图如图b C所示 建立节点平衡方程 Fy 0 P 2cos 0解得斜杆的轴力为F 266kN确定应力 斜杆横截面上的应力为 112MPa4 3 3拉 压 杆斜截面上的应力实验表明 拉 压 杆破坏并不总是在横截面发生 有时断口在斜截面上 有必要研究斜截面上的应力 重点 图4 9所示一轴向受拉的直杆 其横截面上是均匀分布的应力 其斜截面的应力如何呢 用一与横截面成 角的斜截面m m将杆件截为两部分 以左段为研究对象 右段对其作用以应力P 表示 据平面假设斜截面上的应力是均匀分布的 从x轴到外法线逆时针为正 反之为负 建立方程 Fx 0 p A FN 0解得p FN A A 故p cos cos 4 2 将p 向斜面法向和切向分解 得到正应力 和切应力 则 cos2 1 cos2 cos sin sin2 4 3 重点 熟练掌握拉压杆的强度计算 拉为正 压为负 绕研究对象任一点顺时针转动为正 逆时针为负 当 00时 在横截面上达到最大值 且 max 当 450时 达到最大值 且 max 当 900时 表示平行于杆件轴线的纵向截面上无任何应力 4 4拉 压 杆的强度计算实验表明 当应力达到一定值时 杆件就会破坏 引起材料破坏的应力极限值称为极限应力或危险应力 用 u表示 为保证构件不发生强度失效 破坏或产生塑性变形 其最大应力 max应小于 u 考虑其它因素 构件工作时允许的最大应力称为材料的许用应力 以 表示 u n 4 5 重点 其中n 安全系数 构件工作时的最大应力必须小于材料的许用应力 因而构件轴向拉伸或压缩的强度条件为 max F A 4 6 根据此条件 可以解决三类强度问题 1 强度校核 已知载荷 许用应力 截面尺寸 验算构件是否安全 2 截面设计 已知尺寸 许用应力 设计截面尺寸 A 3 确定许用载荷 已知尺寸 许用应力 求最大轴力 Fmax A 求构件能承受的最大载荷 例4 3铸铁阶梯杆的AB段截面面积A1 500mm2 BC段截面面积A2 200mm2 材料的许用拉应力 L 40MPa 许用压应力 Y 100MPa 校核该杆的强度 重点 解 1 求约束反力 建立方程 Fx 0 FA 50 20 0解得FA 30kN 2 画轴力图b 3 计算各段应力 AB段 AB FAB A1 60MPaBC段 BC FBC Az 100MPa 4 强度情况 AB段 受压缩作用 压应力 AB 60MPa Y 100MPaBC段 受拉伸作用 拉应力 BC 100MPa L 40MPa因此 该阶梯杆强度不够 重点 例4 5一悬臂吊车如图4 12所示 已知斜杆AB为直径d 25mm的圆杆 横杆由两根规格为36mm 36mm 4mm的3 6等边角钢连接成一体 材料的许用应力 120MPa 夹角 200 忽略自重 求吊车的许用载荷 解 受力分析 取铰链A为研究对象 并设两杆的轴力分别为FAC和FBA 受力图b 建立方程 Fx 0 FBAcos FAC 0 Fy 0 FBAsin P 0解得FBA 2 92P 1 FAC 2 75P 2 计算最大轴力 重点 先求斜杆的最大轴力 截面积A1 则最大轴力FBAmax A1 58 9kN求横杆的最大轴力 截面积A2 可通过查表得到A2 2 756 2cm2 5 51cm2 5 51 102mm2 则最大轴力FACmax A2 66 1kN确定许用载荷 将最大轴力带入 1 2 式 可得按强度确定的许用载荷 P1max FBAmax 2 92 20 2kNP2max FACmax 2 75 24kN从结果看出 要使两杆都能安全工作 吊车的最大许可载荷应取Pmax 20 2kN 重点 了解弹性变形 塑性变形的概念 也可以用安全系数进行校核 n 为规定的安全系数 工作安全系数n为n u 由此可知 强度条件为n u n 4 5拉 压 杆的变形计算弹性变形 外力除去后变形消失 塑性变形 外力除去后不能恢复的变形 本节只讨论弹性变形 杆件在拉压时 有轴向和横向的变形 4 5 1纵向变形与胡克定律1 纵向变形长度为l的杆在拉伸后变为l1 l l1 l 称之为绝对变形 其与杆的原长有关 引入相对变形来消除长度对变形的影响 l l 重点 相对变形量或纵向应变 为无量刚量 2 胡克定律当轴向外力F不超过某一限度时 绝对变形与截面积 长度 外力有如下关系 l Fl A引进比例常数E F FN 上式可写成 l FNl EA 4 9 此即为胡克定律 E为材料的弹性模量 与应力单位相同 EA为截面的抗拉 压 刚度 由4 8 4 9两式代人4 1得出 E 4 10 重点 说明在弹性范围内 正应力与线应变成正比关系 4 5 2横向变形与泊松比考虑横向变形时 横向缩短量 b b1 b横向应变 b b实验表明 在线弹性范围内 同一种材料的横向应变与纵向应变之比的绝对值是一常数 即 为泊松比或横向变形系数 拉伸时横向缩短 反之增大 所以 4 11 例4 6一钢制阶梯杆如图4 14所示 已知轴向力F1 50kN F2 20kN 杆长l1 120mm 重点 l2 l3 100mm 汇交面积A1 A2 500mm2 A3 250mm2 钢的弹性模量E 200GPa 求各段杆的纵向变形 解 求约束反力 取整杆为研究对象 Fx 0 FA F1 F2 0解得FA 30kN计算内力 图b1 1段 FN1 FA 30kN 此段力为负 受压力 同理可求出2 2 3 3段内力FN2 FN3 20kN 均为拉力 计算纵向变形 杆的总变形量为各段代数和 lAB l1 l2 l3 FN1l1 EA1 FN2l2 EA2 FN3l3 EA3 0 024mm 说明整杆伸长了 重点 了解材料的危险应力 弹性模量 泊松比等概念 4 6材料在拉伸或压缩时的力学性能材料的力学性能 材料受力时在强度和变形方面表现出来的性能 如危险应力 弹性模量 泊松比等 4 6 1材料在拉伸时的力学性能拉伸实验按国家标准进行 为便于比较实验结果 将材料做成标准尺寸 L为标距 圆形截面有l 5d和l 10d两种 矩形截面l和面积A的关系有l 5 65和l 11 31 低碳钢在拉伸时的力学性能图4 16与试件的A l有关 为消除其影响 用 F A 重点 l l两者为坐标 表示试件的应力 应变图4 17所示 1 材料变形发展的四个阶段 1 弹性阶段 Oa段 比例阶段 应力应变成线性关系 p为比例极限 ab阶段 应力应变不再成线性关系 最大应力为 e 与 p非常接近 工程上不作严格区分 即服从胡克定律 2 屈服阶段 开始长生塑性变形 应力变化小而变形急剧增大 材料此时暂时失去抵抗变形的能力 称为屈服或流动 最小应力为屈服极限或屈服强度 用 s表示 此时材料表面出现450条纹 称为滑移线 晶格的滑移是产生塑性变形的根本原因 s是衡量材料强度的重要指标 3 强化阶段 屈服后 材料要继续变形就必须增大拉 重点 力 表明又恢复了抵抗变形的能力 即为强化 e点为材料拉断前能承受的最大应力 用 b表示 是衡量强度的另一指标 4 颈缩阶段 过e点后 变形局限于局部范围 横截面出现急剧收缩 此即为颈缩 在f点发生断裂 2 塑性指标材料破坏后 留下塑性变形 塑性指标为伸长率 和截面收缩率 l1 l l 100 4 12 A A1 A 100 4 13 l 原长 l1 断裂后的长度 A 初始面积 A1 断裂后最小截面积 两者越大证明材料的塑性越好 5 的称为塑性材料 5 的为脆性材料 重点 卸载定律冷作硬化 3 卸载定律和冷作硬化当试件拉伸到强化阶段后逐渐卸载 曲线将沿平行线dd 下降到d 点 说明应力应变按直线规律变化 即为卸载定律 如果卸载后不久又重新加载 则沿同一曲线上升到d点 再沿原曲线直到断裂 可见此时材料的比例极限有所提高 而塑性变形减小了 此即为冷作硬化 工程上常用此法来提高材料的弹性范围内的承载能力 如冷拔等 2 其他材料在拉伸时的力学性能其他材料的拉伸实验与低碳钢方法一致 1 塑性材料在拉伸时的力学性能共同特点是伸长率较大 有些材料没有明显的屈服现象 用 0 2表示名义屈服强度 2 铸铁在拉伸时的力学性能 重点 了解常用金属材料的力学性能 铸铁是典型的塑性材料 特点是无屈服和颈缩现象 变形很小 抗拉强度是衡量脆性材料强度的唯一指标 此类材料不宜用作拉伸材料 4 6 2材料压缩时的力学性能试件一般用圆柱体 高度为直径的1 5 3倍 混凝土 石材等制成立方体 1 低碳钢图4 23所示 屈服前与拉伸基本 重点 一致 压缩时不产生破坏 2 铸铁图4 24所示 其抗压强度比抗拉强度高4 5倍 因而常以铸铁等脆性材料用来制作承压构件 塑性材料的优点 强度和塑性优于脆性材料 用作承受拉伸 冲击 振动或需冷加工零件 脆性材料的优点 抗拉强度高 耐磨 价廉以及良好的铸造性能和吸振性能 用作机器底座 外壳和轴承座等受压部件 重点 了解压杆稳定的概念失稳的概念 4 7许用应力与安全系数强度计算时 按此式确定许用应力 u n u 材料的极限应力 n 安全系数 相关解释和说明见课本或参考书 4 8压杆稳定4 8 1压杆稳定概念图4 25中 同一截面尺寸的二杆 一个受力为6000N 一个受力30N即开始弯曲 再增大压力就可能折断 细长的受压直杆在一定的条件下会突然发生弯曲 从而丧失工作能力 这种现象叫失稳 因而 对细长受压杆 需要建立保持其 重点 稳定平衡状态的计算方法 图4 26所示 杆二端受力F1 在杆中部加一力F2 撤销后能恢复直线状态 此即为稳定平衡 如果F2撤销后杆不能恢复直线状态而呈微弯状态 此即为不稳定平衡状态 达到不稳定时的力F1称为临界力 用Fcr表示 必须严格控制压杆的失稳 4 8 2临界力的欧拉公式及临界应力1 临界力的欧拉公式由弯曲必须的理论及数学推导 可得出计算临界力的欧拉公式Fcr 其中 I 压杆的横截面对中心轴的惯性矩 E 压杆材料的拉压弹性模量 u 与压杆两端的支座情况有关