2019-2020学年焦作市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年河南省焦作市高一上学期期末数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】解出集合中的方程即可求解.【详解】由题：由，所以.故选：A【点睛】此题考查集合的交集运算，关键在于准确解出方程.2过点，且斜率为2的直线方程是（ ）ABCD【答案】A【解析】由直线的点斜式计算出直线方程.【详解】因为直线过点，且斜率为2，所以该直线方程为，即.故选【点睛】本题考查了求直线方程，由题意已知点坐标和斜率，故选用点斜式即可求出答案，较为简单.3若函数的图像是连续的，且函数的唯一零点同时在区间，内，则与符号相同的是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据根的存在性定理分析与符号相同.【详解】因为函数有唯一零点，在区间内，所以零点左侧的函数值同号，零点右侧的函数值同号，所以与符号相同的是.故选：D【点睛】此题考查函数零点辨析，根据根的存在性定理结合零点个数分析得解.4已知函数满足.若，则（ ）A2B1CD0【答案】C【解析】根据求出，即可求得a的取值.【详解】函数满足，当时，所以，所以.故选：C【点睛】此题考查根据函数值求自变量的取值，关键在于弄清函数关系.5已知，则m，n，p的大小关系为（ ）ABCD【答案】B【解析】结合中间数据比较，即可得解.【详解】，因为，所以，所以.故选：B【点睛】此题考查指数对数的大小比较，熟记特殊值结合函数单调性解题轻松.6如图，三棱柱的棱长均为6，且侧棱垂直于底面，其三视图中的主视图是边长为6的正方形，则该三棱柱的左视图面积为（ ）AB18CD【答案】D【解析】左视图是一个矩形，高为6底边长即底面正三角形的高，即可求解.【详解】根据这个三棱柱正视图特点可得：左视图是一个矩形，底边长为底面正三角形的高，矩形高为6，所以左视图的面积为.故选：D【点睛】此题考查根据立体图形求三视图，求解左视图的面积，关键在于准确得出三视图的特点，对空间想象能力要求较高.7定义运算，函数的图像是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据定义得出的解析式，即可判定选项.【详解】由已知可得函数，可得，只有选项B中的图像符合要求.故选：B.【点睛】此题考查函数图象的辨析，根据解析式选择恰当的函数图象，关键在于根据新定义得出函数解析式，可以作出函数图象，也可结合特值法进行排除.8已知m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）A若，且，则B若，且，则C若且，则D若，则【答案】C【解析】AB两个选项中直线位置均不能确定，D选项中的直线可能在平面内.【详解】对于A选项，若，则或，又，所以，或m，n异面，或m，n相交，A错误；对于B选项，若，且，则m，n也可能相交或异面，B错误；对于C选项，因为且，内必有直线l与m平行，,根据面面垂直的判定定理，可得出，C正确；对于D选项，若，则或，D错误.故选：C【点睛】此题考查线面位置关系的判定，关键在于熟练掌握定理公理，根据定理公理推理论证即可.9圆与圆的公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则m的值为（ ）ABC3D3或【答案】D【解析】求出公共弦所在直线，再求与两坐标轴的交点，即可得出面积表达式，根据面积关系求解.【详解】圆的标准方程为两圆相交，必有，且，将两圆方程相减可得，当时，当时，所以直线与坐标轴的交点为与，所围图形面积，解得或，经检验，符合条件.故选：D【点睛】此题考查通过两圆的公共弦所在直线与坐标轴围成的面积问题求参数的值，需要注意考虑公共弦所在直线不是简单地将两圆方程相减，还需考虑两圆的位置关系.10已知函数，若存在实数k，使得关于x的方程有两个不同的实根，则的值为（ ）ABC2D4【答案】A【解析】根据有两个不同实根可得，即可求解.【详解】由题意，有两个不同的实根，设，则，则，故.故选：A【点睛】此题考查函数零点问题，根据函数零点建立等量关系，考虑整体处理.11已知三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱垂直于底面且侧棱长为2，若该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据正三棱柱的几何特征，上下底面中心连线的中点就是球心，建立等量关系计算出半径即可.【详解】根据条件可知该三棱柱是正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图，则其外接球的半径，外接球的表面积.故选：D【点睛】此题考查几何体外接球问题，关键在于找准这个正三棱柱的外接球球心位置即可求解.12已知函数是定义在上的奇函数，且当时.若对任意的恒成立，则实数t的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据奇偶性和解析式分析函数在定义域内是单调递增，转化为，得恒成立，求参数范围.【详解】当时，所以在上单调递增且，又是定义在上的奇函数，综上在上单调递增，由，可得，则，所以，即对任意的恒成立，所以，得，解得.故选：C【点睛】此题考查根据函数的奇偶性和单调性解决不等式恒成立求参数范围问题，其中涉及转化与化归思想.二、填空题13已知集合，.若，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】解出集合B根据包含关系，讨论端点的大小关系即可得解.【详解】由已知可得.因为，所以，即.故答案为：【点睛】此题考查根据集合的包含关系求参数的范围，关键在于弄清哪个集合是子集，建立不等关系，注意考虑端点能否取等.14已知函数，.若该函数的值域为，则_.【答案】4【解析】根据二次函数的单调性结合值域，分析最值即可求解.【详解】二次函数的图像的对称轴为，函数在递减，在递增，且当时，函数取得最小值1，又因为当时，所以当时，且，解得或（舍），故.故答案为：4【点睛】此题考查二次函数值域问题，根据二次函数的值域求参数的取值.15若直线被圆截得的弦长为，则_.【答案】2【解析】求出圆心到直线的距离，根据弦长公式列方程求解.【详解】圆心到直线的距离，因为直线被圆截得的弦长为，所以，所以.故答案为：2【点睛】此题考查根据直线与圆形成的弦长关系求参数的值，关键在于准确求出圆心到直线的距离，熟练掌握弦长公式.16在正方体中，有下列结论：平面；异面直线AD与所成的角为；三棱柱的体积是三棱锥的体积的四倍；在四面体中，分别连接三组对棱的中点的线段互相垂直平分.其中正确的是_（填出所有正确结论的序号）.【答案】【解析】根据正方体的几何特征，证明线面平行，求异面直线夹角，求体积关系，分析正四面体对棱连线特点.【详解】因为，平面，平面，所以平面，故正确；因为，所以异面直线AD与所成的角等于，在正方形中，故错误；三棱柱的体积是三棱锥的体积的三倍，故错误；由正方体的性质可知，正方体三条对面中心连线线段相互垂直平分.四面体是正四面体，其棱中点即正方体每个面的中心，对棱中点连线必经过正方体的中心，由对称性知，连接正四面体每组对棱中点的线段互相垂直平分，则正确.故答案为：【点睛】此题考查根据正方体的几何特征，证明线面平行，求异面直线夹角和柱体锥体体积关系，分析线段的长度和位置关系，需要熟练掌握常见特殊几何体的几何特征.三、解答题17已知函数.（1）在如图所示的坐标系中画出的大致图象；（2）根据（1）中的图象写出在上的值域.【答案】（1）作图见解析；（2）【解析】（1）去绝对值，写出分段函数解析式，分段作图即可；（2）根据图象观察计算即可得解.【详解】本题主要考查函数的图像的画法及函数的值域.（1）.所以其大致图像如图所示. （2），由图可知， 当时，函数的值域为.【点睛】此题考查根据函数解析式作出函数图象并求值域，关键在于准确将题目所给含绝对值函数式化简拆开成分段函数.18已知直线，.（1）若恒过定点M，求点M的坐标；（2）当时，求直线与之间的距离.【答案】（1）；（2）【解析】（1）将直线方程化简，解方程组即可；（2）根据直线平行求出参数的值，再根据平行直线的距离公式求解.【详解】（1）直线的方程可化为.为了不受参数a的影响，则需使，解得，所以直线恒过定点；（2）当时，有解得.所以，即，符合题意；所以直线与之间的距离.【点睛】此题考查求直线的定点，根据两条直线平行求参数的值，求平行直线之间的距离，关键在于熟练掌握相关公式进行化简计算.19已知函数，且，.（1）求a，b的值；（2）若，求的最小值及最小值对应的x的值.【答案】（1），；（2）时，函数取得最小值【解析】（1）根据，列方程组即可求解；（2）根据（1）的结果，利用换元法令，求函数最小值.【详解】（1），所以，.（2）由（1）可知，.令，.于是.当，即，时，函数取得最小值.【点睛】此题考查根据函数经过的点求函数解析式，换元法求函数的最值，利用换元法解题需要注意考虑所换“新元”的取值范围.20如图，在四棱锥中，平面ABCD，E是棱PC上一点，F是AB的中点.（1）证明：平面ADE；（2）若，O为点E在平面PAB上的正投影，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）通过证明得，得，进而证明线面平行；（2）转换顶点即可求得体积.【详解】（1）如图，连接AC.易知，故.所以，又因为F为AB的中点，所以.因为，所以.又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE.（2）由（1）知.又易知，所以平面PAB，所以，即O点在线段PF上，平面PAB，,，因为，所以，所以.易知四边形ADCF是矩形，所以.所以，所以，所以.【点睛】此题考查证明线面平行和求空间几何体的体积，根据比例关系将四棱锥体积转化成三棱锥体积，利用顶点转换，处理成便于求解的锥体.21已知函数区间上的最小值为.（1）求使成立的x的取值范围；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据单调性结合定义域的区间左闭右开讨论最值即可求解参数的值，再解不等式；（2）分离参数将问题转化为在恒成立，讨论函数的单调性求解.【详解】（1）由题易知函数是单调函数，因为区间左闭右开，所以函数的最小值为，解得.所以，单调递增，符合条件.由得，解得，即x的取值范围为；（2）设，则在上恒成立可转化为在上恒成立.因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增.所以，所以m的取值范围为.【点睛】此题考查根据函数的单调性和值域求解参数，解决不等式恒成立求参数的范围，涉及转化与划归思想.22已知圆C经过点，且圆心在直线上（1）求圆C的方程.（2）过点的直线与圆C交于A，B两点，问：在直线上是否存在定点N，使得（，分别为直线AN，BN的斜率）恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在定点，使得恒成立【解析】（1）的垂直平分线与直线的交点就是圆心，求出圆心即可得到半径，圆的方程得解；（2）设直线AB的方程为，联立直线与圆的方程，消去y整理得，根据建立等式，结合韦达定理求出定点，检验直线斜率为0和斜率不存在的情况.【详解】（1）由题可知线段EF的中点为，EF的垂直平分线的斜率为5，的垂直平分线的方程为.EF的垂直