北师大版选修45 第一章 3 平均值不等式 学案.doc

3平均值不等式对应学生用书p121定理1对任意实数a，b，有a2b22ab，当且仅当ab时取“”号2定理2(两个正数的平均值不等式)对任意两个正数a，b，有，当且仅当ab时取“”号我们称为正数a与b的算术平均值，为正数a与b的几何平均值；因此定理2又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值3定理3对任意三个正数a，b，c，有a3b3c33abc，当且仅当abc时取“”号4定理4(三个正数的平均值不等式)对任意三个正数a，b，c，有，当且仅当abc时取“”号这个定理可以叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值5定理2,4的推广一般地，对n个正数a1，a2，an(n2)，数值，分别称为这n个正数的算术平均值与几何平均值且有： .当且仅当a1a2an时，取“”号，即n个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值1如何利用求差法证明定理2?提示：因为0，所以.2由定理1与定理2能得到以下结论吗？(1)2(a，b同号)；(2) (a，br)；(3)ab2(a0，b0)提示：可以3利用定理2,4求最值需满足什么条件？提示：“一正二定三相等”对应学生用书p13用平均值不等式证明不等式例1(1)已知a，b，cr，求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2；(2)设a，b，c都是正数，求证：abc.思路点拨本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考查推理论证能力解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成平均值不等式的和，再进行证明精解详析(1)a4b42a2b2，同理a4c42a2c2，b4c42b2c2，将以上三个不等式相加得：a4b4a4c4b4c42a2b22a2c22b2c2，即：a4b4c4a2b2a2c2b2c2.(2)当a0，b0时，ab2，2 2c.同理：22b，22a.将以上三个不等式相加得：22(abc)，abc.平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用平均值不等式的切入点但应注意连续多次使用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致若将本例(1)中a，b，cr，变为a，b，cr，求证：abc.证明：a，b，c为正实数，ab2，bc2，ca2.由上面三式相加可得(ab)(bc)(ca)222，即abc.1已知实数a，b，c，d满足abcd，求证：.证明：因为abcd，所以ab0，bc0，cd0.所以(ad)(ab)(bc)(cd)339.即.利用平均值不等式求最值例2(1)已知x0，y0，且1，求xy的最小值(2)求函数yx2(15x)的最大值思路点拨本题考查利用平均值不等式求最值以及利用不等式知识分析、解决问题的能力解答此题(1)可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，再用平均值不等式求得和的最小值；而解答题(2)需要将两项积x2(15x)改变成三项积xx，再对它使用平均值不等式，即可获得所求精解详析(1)法一：x0，y0，1，xy(xy)1061016.当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.法二：由1得(x1)(y9)9(定值)，可知x1，y9，而xy(x1)(y9)1021016.所以当且仅当x1y93，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.(2)yx2xx，0x，2x0.y3.当且仅当xx2x，即x时，ymax.利用平均值不等式求最值，一般按以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取“1”变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决切记利用平均值不等式求最值时的三个条件：“一正二定三相等”必须同时满足，函数方可取得最值，否则不可以2(新课标全国卷)若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解：(1)由，得ab2，且当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.3已知xr，求函数yx2(1x)的最大值解：yx2(1x)xx(1x)xx(22x)3.当且仅当x22x，即x时取等号此时，ymax.本课时平均值不等式是高考的一个非常重要的考点，在高考和模拟中考查其在求最值方面的应用，有时亦以解答题的形式考查其在证明不等式方面的应用，考查学生利用不等式的性质等知识分析、解决问题的能力考题印证1(浙江高考)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()a.b.c5 d6命题立意本题考查利用平均值不等式求最小值，考查了分析、解决问题的能力自主尝试x3y5xy，5，x0，y0，(3x4y)942 1325，5(3x4y)25，3x4y5，当且仅当x2y时取等号3x4y的最小值是5.答案c2(新课标卷)设a，b，c均为正数，且abc1.证明：(1) abbcca；(2) 1.命题立意本题主要考查重要不等式、均值不等式的应用以及整体代换的思想、考查考生转化与化归思想和逻辑思维能力自主尝试(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由题设