第7节　圆锥曲线的综合问题.doc

第7节圆锥曲线的综合问题【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线的位置关系2,4,5弦长和中点弦问题1,6,7,8定点、定值问题9,11最值、范围、存在性问题3,101.设AB为过抛物线y2=2px(p0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为(C)(A)p2(B)p(C)2p(D)无法确定解析:当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短,这时x=p2,所以y=p,|AB|min=2p.选C.2.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是(D)(A)(-153,153)(B)(0,153)(C)(-153,0)(D)(-153,-1)解析:由y=kx+2,x2-y2=6得(1-k2)x2-4kx-10=0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),则1-k20,=16k2+40(1-k2)0,x1+x2=4k1-k20,x1x2=-101-k20,解得-153kb0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(D)(A)x245+y236=1(B)x236+y227=1(C)x227+y218=1(D)x218+y29=1解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率k=-1-01-3=12,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即1a2+(y1+y2)(y1-y2)b2(x1+x2)(x1-x2)=01a2+1b2(-22)12=0,即a2=2b2,又c2=9,a2=b2+c2,解得a2=18,b2=9,方程是x218+y29=1,故选D.7.已知倾斜角为60的直线l通过抛物线x2=4y的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,则弦AB的长为.解析:直线l的方程为y=3x+1,由y=3x+1,x2=4y得y2-14y+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=14,所以|AB|=y1+y2+p=14+2=16.答案:168.已知(4,2)是直线l被椭圆x236+y29=1所截得的线段的中点,则l的方程是.解析:设直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2).则x1236+y129=1,x2236+y229=1,两式相减并化简得y1-y2x1-x2=-x1+x24(y1+y2).又x1+x2=8,y1+y2=4,所以y1-y2x1-x2=-12,故直线l的方程为y-2=-12(x-4),即x+2y-8=0.答案:x+2y-8=09.(2017河北唐山二模)已知抛物线C:y2=4x,经过点(4,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,M(-4,0),O为坐标原点.(1)证明:kAM+kBM=0;(2)若直线l的斜率为k(kb0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为22,P是椭圆上一点,且PF1F2面积的最大值等于2.(1)求椭圆的方程;(2)直线y=2上是否存在点Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)因为点P在椭圆上,所以-byPb.因此,当|yP|=b时,PF1F2面积最大,且最大值为12|F1F2|yP|=122cb=bc=2.由bc=2,ca=22,a2=b2+c2,解得a2=4,b2=c2=2.所以椭圆的方程为x24+y22=1.(2)存在.假设直线y=2上存在点Q满足题意,设Q(m,2).显然,当m=2时,从Q点所引的两条切线不垂直,当m2时,设过点Q向椭圆所引的切线l的斜率为k,则l的方程为y=k(x-m)+2.由y=k(x-m)+2,x24+y22=1消去y,整理得(1+2k2)x2-4k(mk-2)x+2(mk-2)2-4=0,因为=16k2(mk-2)2-4(1+2k2)2(mk-2)2-4=0,所以(m2-4)k2-4mk+2=0.(*)设两切线的斜率分别为k1,k2,显然k1,k2是方程(*)的两根,故k1k2=2m2-4=-1,解得m=2,点Q的坐标为(2,2)或(-2,2),因此,直线y=2上存在两点(2,2)和(-2,2)满足题意.11.导学号 94626222(2017江西联考)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为22,它的一个焦点恰好与抛物线y2=4x的焦点 重合.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆的上顶点为A,过点A作椭圆C的两条动弦AB,AC,若直线AB,AC斜率之积为14,直线BC是否一定经过一定点?若经过,求出该定点坐标;若不经过,请说明理由.解:(1)设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则e=ca=22,抛物线的焦点为(1,0),则c=1,故a2=2,b2=1,椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(2)BC一定经过一定点.由(1)知A(0,1),当直线BC的斜率不存在时,设BC:x=x0,设B(x0,y0),则C(x0,-y0),kABkAC=y0-1x0-y0-1x0=1-y02x02=12x02x02=1214,不合题意.故直线BC的斜率存在.设直线BC的方程为y=kx+m(m1),并代入椭圆方程,得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0,由=(4km)2-8(1+2k2)(m2-1)0得2k2-m2+10.设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1,x2是方程的两根,由根与系数的关系得,x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2(m2-1)1+2k2,由kABkAC=y1-1x1y2-1x2=14得