苏教版选修22 1.3.1单调性 学案.docx

1.3.1单调性学习目标1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点函数的单调性与导函数正负的关系思考1观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图象及h(t)9.8t6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别答案从起跳到最高点，h随t的增加而增加，h(t)是增函数，h(t)0；从最高点到入水，h(t)是减函数，h(t)00锐角上升递增00，那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上f(x)0，那么f(x)为该区间上的减函数上述结论可以用下图来直观理解类型一导数与单调性的关系例1已知函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是图中的_(填序号)答案解析由函数yf(x)的图象的增减变化趋势判断函数当x(1，b)时，f(x)0，图象在x轴上方；当x(a,1)时，f(x)0，图象在x轴下方反思与感悟对于原函数图象，要看其在哪个区间上单调递增，则在该区间上导数值大于零在哪个区间上单调递减，则在此区间上导数值小于零根据导数值的正负可判定导函数图象跟踪训练1设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能是_(填序号)答案解析当x0时，函数单调性变化依次为增、减、增故当x0；当x0时，f(x)的符号变化依次为、，所以应为.类型二利用导数求函数的单调区间例2求f(x)3x22ln x的单调区间解f(x)3x22ln x的定义域为(0，)f(x)6x，由x0，令f(x)0，得x.由x0，令f(x)0，得0x0，函数在解集所表示的定义域内为增函数(4)解不等式f(x)0，函数在解集所表示的定义域内为减函数跟踪训练2函数f(x)(x22x)ex(xr)的单调减区间为_答案(2，2)解析令f(x)(x24x2)ex0，即x24x20，解得2x0，得x1；令f(x)0，得0x0时，f(x)，a0，0，得x1；令f(x)0，得0x0，所以f(x)在(，)上单调递增若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增综上所述，当a0时，函数f(x)在(，)上单调递增；当a0时，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增类型三已知函数的单调性求参数的范围例4若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是_答案1，)解析由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而01，所以k1.即k的取值范围为1，)引申探究1若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围解f(x)k，又f(x)在(1，)上单调递减，f(x)k0在(1，)上恒成立，即k，01，k0.即k的取值范围为(，02若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围解f(x)kxln x的定义域为(0，)，f(x)k.当k0时，f(x)0时，令f(x)0，得x，只需(1，)，即1，则0k0(或f(x)0，2x3a0，a2x3在2，)上恒成立a(2x3)min.x2，)，y2x3是增函数，(2x3)min16，a16.当a16时，f(x)0(x2，)恒成立a的取值范围是(，161函数f(x)xln x在(0,6)上的单调性为_答案增函数解析当x(0,6)时，f(x)10，函数f(x)在(0,6)上是增函数2若函数f(x)x3ax2x6在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是_答案1，)解析f(x)3x22ax1，且f(x)在(0,1)上单调递减，不等式3x22ax10在(0,1)上恒成立，f(0)0，且f(1)0，a1.3函数f(x)3xln x的单调增区间是_答案(，)解析f(x)ln x1，令f(x)0，即ln x10，得x.故函数f(x)的单调增区间为(，)4已知f(x)x3ax2x1在r上是单调函数，则实数a的取值范围是_答案，解析f(x)3x22ax1，由题意知，在r上f(x)0恒成立，则(2a)24(3)(1)0，得a.5试求函数f(x)kxln x的单调区间解函数f(x)kxln x的定义域为(0，)，f(x)k.当k0时，kx10，f(x)0时，令f(x)0，即0，解得0x0，即0，解得x.当k0时，f(x)的单调减区间为(0，)，单调增区间为(，)综上所述，当k0时，f(x)的单调减区间为(0，)；当k0时，f(x)的单调减区间为(0，)，单调增区间为(，)1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求导数f(x)(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0.(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间课时作业一、填空题1函数yx24xa的单调增区间为_答案(2，)解析y2x4，令y0，得x2，所以yx24xa的单调增区间为(2，)2函数y(3x2)ex的单调增区间是_答案(3,1)解析求导函数，得y(x22x3)ex.令y(x22x3)ex0，可得x22x30，3x1，函数y(3x2)ex的单调增区间是(3,1)3函数f(x)x2ln x的单调减区间为_答案(0,1)解析f(x)x2ln x的定义域为(0，)，f(x)x，令f(x)0，即x0，解得0x1或x0，0x1.4函数f(x)的单调减区间是_答案(0,1)，(1，e)解析令f(x)0，解得0xe.因为函数f(x)的定义域为(0,1)(1，)，所以函数f(x)的单调减区间是(0,1)，(1，e)5函数f(x)x3mx2m2的单调减区间为(0,3)，则m_.答案解析f(x)x3mx2m2，f(x)3x22mx.令f(x)0，得x0或xm，又函数f(x)的单调减区间为(0,3)，m3，即m.6若f(x)(x2)2bln x在(1，)上是减函数，则b的取值范围是_答案(，1解析由题意可知，f(x)(x2)0在(1，)上恒成立，即bx(x2)在(1，)上恒成立，由于(x)x(x2)x22x(x(1，)的值域是(1，)，故b1.7已知函数f(x)x3ax1，若f(x)在(1,1)上单调递减，则a的取值范围为_答案3，)解析f(x)x3ax1，f(x)3x2a.要使f(x)在(1,1)上单调递减，则f(x)0在x(1,1)上恒成立，则3x2a0，即a3x2在x(1,1)上恒成立，在x(1,1)上，03x23，a3，a的取值范围为3，)8已知函数f(x)kex1xx2(k为常数)，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线与x轴平行，则f(x)的单调减区间为_答案(，0)解析f(x)kex11x.曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线与x轴平行，f(0)ke110，解得ke，故f(x)exx1.令f(x)0，解得x0，故f(x)的单调减区间为(，0)9如图为函数f(x)的图象，f(x)为函数f(x)的导函数，则不等式0的解集为_答案(3，1)(0,1)解析由图知，当x(，3)(1,1)时，f(x)0，故不等式0的解集为(3，1)(0,1)10函数yf(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为_答案，12,3)解析如图，f(x)在(，3)上的单调减区间为，1，2,3)由单调性与导数的关系可得，当x，12,3)时，f(x)0，不等式f(x)0的解集为x，12,3)11定义在r上的函数f(x)满足f(1)1，f(x)2x1的x的取值范围是_答案(，1)解析令g(x)f(x)2x1，则g(x)f(x)2g(1)0时，x0，即f(x)2x1的解集为(，1)二、解答题12已知函数f(x)2ax，x(0,1若f(x)在(0,1上是增函数，求a的取值范围解由已知，得f(x)2a.f(x)在(0,1上是增函数，f(x)0，即a在(0,1上恒成立而g(x)在(0,1上是增函数，g(x)maxg(1)1，a1.当a1时，f(x)2，对x(0,1有f(x)0，当a1时，f(x)在(0,1上是增函数综上，若f(x)在(0,1上为增函数，a的取值范围是1，)13.已知二次函数h(x)ax2bx2，其导函数yh(x)的图象如图，f(x)6ln xh(x)(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间(1，m)上是单调函数，求实数m的取值范围解(1)由已知，h(x)2axb，其图象为直线，且过(0，8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h(x)2axb，解得h(x)x28x2，h(x)2x8，f(x)6ln xx28x2.(2)f(x)2x8 (x0)令f(x)0，解得0x3.令f(x)0，解得1x3.f(x)的单调增区间为(0,1)和(3，)，f(x)的单调减区间为(1,3)要使函数f(x)在区间(1，m)上是单调函数，则解得m.即实数m的取值范围为(，三、探究与拓展14设f(x)，g(x)分别是定义在r上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是_答案(，3)(0,3)解析当x0，令f(x)f(x)g(x)，则当x0时，f(x)仍为增函数根据f(x)f(x)g(x)的性质，作出f(x)的示意图如图f(x)g(x)1，f(x)0k，k