追寻历史_探索高考数学命题规律kdh.pdf

教育评价 中 教 研 究 2 0 0 6 9 1 0 追寻历史 探索高考数学命题规律 云南省教育科学研究院何立恒 分析研究高考数学可以从不同的角度 在不同的 层面 用不同的方法展开 相应地 所得结论就可能有 多种 下面着重从高考数学命题历史发展方面 结合 高考数学 必修 选修I模式 必修 选修I I模式 的发展 趋势 谈点个人的思考 为大家全面认识高考数学 理 解高考数学 科学实践高考数学抛砖引玉 高考数学是国家选拔人才的一种重要工具 它的 理论与实践必然带有鲜明的 什么是社会需要的人才 这样关于人才标准的痕迹 什么是社会需要的人才 不同的社会对人才的需求不一样 不同的历史阶段 它 的答案可以不同 我们正是基于人才标准的历史性 把高考数学命题历史划分为以下四个阶段 一 有意识的以知识立意命题阶段 综观中国高考数学 1 9 8 4年以前的数学试卷 都有 明显的重点考查知识再现特色 试卷明显关注知识覆 盖率 整个试卷几乎由资料上的陈题构成 这个时期 人们对数学的认识 几乎把数学等同于解题 复习备考 就是解各种资料上的题 这种现象折射出当时 知识 就是力量 的人才观 强调知识机械积累 突出思维的模 仿 思想的统一 同时也折射出人们对人的主观能动性 的认识 过分夸大人的主观能动性 多做多练 猜到考 题的可能性就大 在这种人才观的支配下 老师猜到考 题成了数学教学的一大亮点 二 有意识的以能力立意命题的探索阶段 这个时期大致可以划分为1 9 8 4 1 9 9 8年 这个时期 的数学试卷整体上仍然重视对知识再现的考查 仍然 有意识地强调知识的覆盖率 但从试题来看 这一时 期每年的试题都有一部分新颖问题 都有相当一部分 问题 约占整卷的4 0 在有意识的考查学生应用所学 数学分析问题 解决问题的能力 三 全面以能力立意命题的实施阶段 自1 9 9 9年开始 高考数学明确提出高考数学是能 力考试 高考数学不刻意追求知识覆盖面 只是把数 学作为考查能力的素材 同时 也特别指出 识题型 套解法 这种模仿式的思维方式不是数学能力 数学高 考坚决摈弃 识题型 套解法 这种思维方式 1 9 9 9年 2 0 0 3年期间 每年的试题都以新颖 考思 维 考能力为试题的亮点 同时 相当多的平时成绩优 秀的学生高考数学成绩不理想 在一定意义上挫伤了 中学数学学习的热情 这期间可以称之为 纯能力立 意的考试 四 从人的发展的两个方面 学习态度与能力 立意 一个人做任何一件事情 都包含两个方面 做事情 的主观态度与做事情的能力 做事情的主观态度包括对所做事情的科学认识和 实践中的科学化 从数学学习的角度看 即有关数学 内容积累的多少与积累的方式与方法 通俗地讲 就 是勤奋刻苦与正确的学习方法 高考数学有意识地关注并重视对考生主观态度考 查 应该从2 0 0 4年算起 而且是以教科书为素材 考查 考生对教科书的掌握程度 且以典型问题与方法构建 的 陈题 进行考查 这方面的试题 2 0 0 4年约占全卷1 0 4 分 2 0 0 5年约占全卷1 2 5分 2 0 0 6年约占全卷1 2 0分 高考数学通过以教科书为素材 考查考生对教科 书的掌握程度来考查考生学习数学的态度在今年的命 题方面也有新的突破 例1 2 0 0 6年云南省高考数学理1 2题 函数f x 1 9 n 1 x n 的最小值为 A 1 9 0 B 1 7 1 C 9 0 D 4 5 分析 求和符号 不在高中要求范围内 只在线 性回归中简单提到过 如果考生没有阅读过线性回归 这节教科书 就无法理解题目 如果考生阅读过线性回 归这节教科书 而没有真正理解教科书的处理思想与 6 方法 就只能够读懂问题 最多再联想到该题与系统误 差类似 如果理解了该节教科书的处理思想与方法 就 能够模仿着系统误差的处理思想方法 把f x 1 9 n 1 x n 取得最小值时x的值转化为 1 9 n 1 x n 2 取得最小值时x的 值 而 1 9 n 1 x n 2 1 9 x 2 2 1 9 n 1 n x 1 9 n 1 n 2 当x 1 9 n 1 n 1 9 1 0时 1 9 n 1 x n 2 1 9 x 2 2 1 9 n 1 n x 1 9 n 1 n 2 取得最小值 而类比着教科 书的方法 当x 1 0时 f x 1 9 n 1 x n 的值等于9 0 故选C 做事情的能力 往往带有客观性 与先天遗传素质 有很大关系 一个人的才能是多方面的 有的人在某 方面有才能 在其他方面就不一定有高的才能 一般 情况下 绝大多数学生也不是能够在所有高考的学科 上都达到最高水平 这种现时存在的客观差异就是能 力因素导致的 高考数学强调对人的客观差异的能力 考试 目的是把高层次学生选拔出来 在对能力进行考查时 从2 0 0 4年开始 更多关注两 个方面 一是解题方法的选择方面 对于一个具体的问 题 初看上去 有多种思路 但到底哪种思路更好 要通过 阅读理解 收集有关信息 整理相关信息 最后判断出哪 些信息是有用的 是本质的 哪些信息是无用的 是非本 质的 充分利用由阅读理解获得的信息关系进行选择 解决数学问题使用什么样的知识 哪种方法更合 理 这是一个直接与问题环境有关系的问题 知识 方 法的选择直接依赖于问题环境 这是现代数学教育的 新成果 高考数学为摒弃 识别题型 再套解法 这种 套路式的数学解题方法 在解决问题时 充分获得有用 的信息 重新再现 整合脑子里的知识 方法 形成解决 问题的合适的思路与方法 这样的思维方式是一个现 代公民应该具备的重要而又基本的素质 例2 2 0 0 6年云南省高考数学文2 2题 理2 1题 已知抛物线x 2 4 y的焦点为F A B是抛物线上的两 动点 且A F F B 0 过A B两点分别作抛物线的 切线 设其交点为M I 证明F M A B为定值 设 A B M的面积为S 写出S f 的表达式 并求S的最小值 解 由已知条件 得F 0 1 0 设A x 1 y 1 B x 2 y 2 由A F F B 得 x 1 1 y 1 x 2 y 2 1 即 x 1 x2 1 y 1 y 2 1 将 式两边平方并把y 1 1 4 x 2 1 y 2 1 4 x 2 2代入得 y 1 2 y 2 解 式得y 1 y 2 1 且有x 1x2 x 2 2 4 y2 4 抛物线方程为y 1 4 x 2 求导得y 1 2 x 所以过抛物线上A B两点的切线方程分别是 y 1 2 x 1 x x 1 y 1 y 1 2 x 2 x x 2 y 2 即y 1 2 x 1x 1 4 x 2 1 y 1 2 x 2x 1 4 x 2 2 解出两条切线的交点M的坐标为 x 1 x2 2 x 1x2 4 x 1 x2 2 1 所以F M A B x 1 x2 2 2 x 2 x1 y 2 y1 1 2 x 2 2 x 2 1 2 1 4 x 2 2 1 4 x 2 1 0 所以F M A B为定值 其值为0 由 知在 A B M中 F M A B 因而S 1 2 A B F M F M x 1 x2 2 2 2 2 1 4 x 2 1 1 4 x 2 2 1 2 x 1x2 4 y 1 y2 1 2 4 4 1 2 1 因为 A F B F 分别等于A B到抛物线准线y 1 的距离 所以 7 A B A F B F y 1 y2 2 1 2 1 2 于是S 1 2 A B F M 1 3 由 1 2知S 4 且当 1时 S取得 最小值4 说明 第 问比较基本 没有什么悬念 属于对考 生主观态度考查的问题 第 问属于通过对考生在 方法选择上的差异 考查读书理解 获得信息 处理信息 的能力 达到对考生能力考查的目的 尽管三角形面 积公式考生都很熟悉 但如果不能获得并充分使用 F M A B这个信息 那么三角形面积S f 的表达式 就变得非常难于求解 这是许多考生在此题失分的原 因 处理事情 要有效地获得周围信息 对所获得的信 息进行加工 这是信息社会对人的素质的基本要求 高 考数学正是基于对人的素质这一层面进行能力考查的 值得说明的是 2 0 0 6年以前的考题 题目中给出的 每个已知条件对问题的解答都是有用的 从来没有出现 多余的已知条件 但今年在这个方面有了新的突破 例3 2 0 0 6年云南省高考数学文 理1 6题 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 1 0 0 0 0人 并根据所得数据画了样本的频率分布直方图 如下图 为了分析居民的收入与年龄 学历 职业等 方面的关系 要从这1 0 0 0 0人中再用分层抽样方法抽出 1 0 0人作进一步调查 则在 2 5 0 0 3 0 0 0 元 月收入段应 抽出人 解 由直方图可得 2 5 0 0 3 0 0 0 元 月收入段共有 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 2 5 0 0人 按分层抽样应抽出2 5 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 5人 说明 由上述解答不难看出 问题给出的已知信息 远远多于解答该题所需要的信息 本来本题应该是比较 简单的问题 但得分不高 究其原因 就象许多考生考后 所说的那样 那么多条件怎么用啊 二是对符号意义的理解 应用方面 给考生发挥自 己潜能创造了广阔空间 从高考数学 必修 选修I模式 必修 选修I I模式 来看 2 0 0 4年 2 0 0 5年 2 0 0 6年最后三 大题 都有明显的这方面的痕迹 而且 对考生在这方面 的差异 是通过计算的复杂程度来实施考查的 限于篇 幅 这里仅举一例 例4 2 0 0 6年云南省高考数学理2 2题 设数列 a n 的前n项和为S n 且方程x 2 a nx an 0 有一 根为S n 1 n 1 2 3 求a 1 a 2 求 a n 的通项公式 分析 第 问比较简单 没有什么悬念 属于对 考生主观态度考查的问题 对于第 问 由已知方程 x 2 a nx an 0 有一根为S n 1 不难符号化为 S n 1 2 a n S n 1 a n 0 即S 2 n 2 Sn 1 a nS 0 由此式反映出来 这样的信息 一个方程 两类未知数a n与Sn 又根据该式子 的结构信息 只能消去a n 从而得到S n与Sn 1的关系式 S n 1Sn 2 Sn 1 0 由于对该方程的理解的差异 自然 就导致不同的解法 解法一 当n 1时 x 2 a 1x a1 0 有一根为 S 1 1 a1 1 于是 a 1 1 2 a 1 a 1 1 a 1 0 解得a 1 1 2 当n 2时 x 2 a 2x a2 0 有一根为S 2 1 a2 1 2 于是 a 2 1 2 2 a 2 a 2 1 2 a 2 0 解得a 2 1 6 由已知得 S n 1 2 a n S n 1 a n 0 即S 2 n 2 Sn 1 annSn 0 当n 2时 a n Sn Sn 1 代入上式得 S n 1Sn 2 Sn 1 0 由 知S 1 a1 1 2 S 2 a1 a2 1 2 1 6 2 3 8 由 可得S 3 3 4 由此猜想S n n n 1 n 1 2 3 下面用数学归纳法证明这个结论 i n 1时已知结论成立 i i 假设n k时结论成立 即S k k k 1 当n k 1时 由 得S k 1 1 2 S k 即S k 1 k 1 k 2 故n k 1时结论也成立 综上 由 i i i 可知S n n n 1 对所有正整数n都成立 于是当n 2时 a n Sn Sn 1 n n 1 n 1 n 1 n n 1 又n 1时 a 1 1 2 1 1 2 所以 a n 的通项公式a n n n 1 n 1 2 3 解法二 当n 1时 x 2 a 1x a1 0 有一根为 S 1 1 a1 1 于是 a 1 1 2 a 1 a 1 1 a 1 0 解得a 1 1 2 当n 2时 x 2 a 2x a2 0 有一根为S 2 1 a2 1 2 于是 a 2 1 2 2 a 2 a 2 1 2 a 2 0 解得a 2 1 6 由已知得 S n 1 2 a n S n 1 a n 0 即S 2 n 2 Sn 1 annSn 0 当n 2时 a n Sn Sn 1 代入上式得 S n 1Sn 2 Sn 1 0 推得S n 1Sn 2 Sn 1 0 后 对该式子进行变形得 S n 1 S n 1 1 S n 1 1 S n 1 0 两边同除以 S n 1 S n 1 1 得 1 S n 1 1 S n 1 1 1 数列 1 S n 1 是一个以 2为首项 1为公差的等差 数列 1 S n 1 2 n 1 1 n 1 S n n n 1 从而a n n n 1 说明 从数学的角度看 解法二比解法一明显优美 更具数学创造性 整个解题过程建立在对符号意义的理 解与运用上 即符号感 符号感强的考生 可以简化运算过程 减少书写 量 赢得更多时间 高考数学近些年来就是通过命制这 样的问题选拔更具数学潜能的考生 同时 也是通过这 种问题 考查考生的创新意识与创造能力 关注做事态度与能力差异 应该是基础教育考试对 教学比较好的一种导向 是处理好主客观因素比较好的 做法 也是以人为本 建立和谐社会的时代需要 当我们的教育学回忆最近一百年教育发展历程的 时候 发现有一个很