数学北师大版八年级下册等腰三角形第一课时.docx

第一章 三角形的证明第课时1.了解作为证明基础的几条公理的内容.2.使学生经历“探索 发现猜想证明”的过程,学会用综合法证明等腰三角形的有关性质定理.让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.经历作辅助线的证明过程,进一步发展学生的合情推理意识,培养主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.【重点】等腰三角形的性质及推论.【难点】命题的书写格式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习三角形全等的判定方法.导入一:请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条:1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS).在此基础上回忆三角形全等的另一个判别条件:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS),并要求学生利用前面所提到的公理进行证明.已知:如图所示,在ABC和DEF中,有A=D,B=E,BC=EF.求证ABCDEF.证明:A=D,B=E(已知),又A+B+C=180,D+E+F=180(三角形内角和等于180),C=180-(A+B),F=180-(D+E),C=F(等量代换).又BC=EF(已知),ABCDEF(ASA).设计意图经过一个假期,学生对上学期所学知识难免有所遗忘,因此,在第一课时,回顾有关内容,既是对前面学习内容的一个简单梳理,也为后续有关证明做足了知识准备.导入二:我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已经证明的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论.我们已学过的部分基本事实:1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS);4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA);5.三边对应相等的两个三角形全等 (SSS).通过上面的这些结论,我们能否证明等腰三角形的底角相等呢?设计意图帮助学生理解公理在证明定理过程中的作用,同时通过设问引入本课时的学习内容.一、等腰三角形的两底角相等过渡语 等腰三角形有哪些性质?以前是如何探索这些性质的,你能再次通过折纸活动验证这些性质吗?并根据折纸过程,得到这些性质的证明吗?让学生按图示的方法先独自折纸观察,再探索并写出等腰三角形的性质.定理:等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为:等边对等角.已知:如图所示,在ABC中,AB=AC.求证B=C.解析我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们,可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等.证明:取BC的中点D,连接AD.(如图所示)AB=AC,BD=CD,AD=AD,ABDACD(SSS).B=C (全等三角形的对应角相等).设计意图通过折纸活动,获得有关命题的证明思路,并通过进一步的整理,再次感受证明是探索的自然延伸,熟悉证明的基本步骤和书写格式.二、三线合一过渡语 在上图中,线段AD还具有怎样的性质?为什么?由此你能得到什么结论?让学生回顾前面的证明过程,思考线段AD具有的性质,讨论图中存在哪些相等的线段和相等的角,发现等腰三角形性质定理的推论,这一结论通常简述为“三线合一”.推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.证明:过顶点A作BAC的平分线AD,交BC于点D,AD是ABC中的角平分线,BAD=CAD.在ABD和ACD中,AD=AD(公共边),BAD=CAD,AB=AC(已知),ABDACD(SAS),BD=CD(全等三角形的对应边相等),ADB=ADC(全等三角形的对应角相等).AD是BC边上的中线,BDA=90,AD是BC边上的高,等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.设计意图教师和学生一起完成证明,可以让学生经历自主命题的证明过程.同时,对学生书写格式的规范起到引领作用.知识拓展“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”的定理是将“等腰三角形”作为一个前提条件得到的三个真命题,在学习等腰三角形的性质定理后,可将该定理作如下的延伸.如图所示,已知ABC,AB=AC,1=2,ADBC,BD=DC中,若其中任意两组成立,可推出其余两组成立.已知:;求证:;证明:.例如:已知1=2,BD=DC,求证AB=AC,ADBC.根据等腰三角形的“三线合一”定理即可得证.证明:延长AD至E,使DE=AD,连接CE.(如图所示)在ABD和ECD中,AD=ED,3=4,BD=CD,ABDECD(SAS).AB=EC,1=E.1=2,E=2,CE=AC,AC=AB.ADBC.1.定理:等腰三角形的两底角相等.2.推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.1.一个等腰非等边三角形中,它的角平分线、中线及高线的条数共为(重合的算一条) ()A.9B.7C.6D.5解析:等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的平分线是一条.故选B.2.在ABC中,如果AB=AC,那么在这个三角形中,重合的线段是 ()A.A的平分线,AB边上的中线,AB边上的高线B.A的平分线,BC边上的中线,BC边上的高线C.B的平分线,AC边上的中线,AC边上的高线D.C的平分线,AB边上的中线,AB边上的高线解析:本题主要考查等腰三角形三线合一的性质.故选B.3.若等腰三角形中有一个角为110,则其余两角分别为.解析:因为110的角只能是顶角,所以其余两角均为35.故填35,35.4.如果等腰三角形的一边长为6 cm,周长为14 cm,那么另外两边的长分别为.解析:边长为6 cm的边有可能是腰也有可能是底.答案:6 cm,2 cm或4 cm,4 cm5.如图所示,在ABC中,AB=AC,D是AC上一点,且AD=BD=BC.求A的度数.解:设A=x,AD=BD,1=A.2=1+A=2x.BD=BC,C=2=2x.AB=AC,ABC=C=2x.由三角形内角和定理可知A+ABC+C=180,即5x=180, 解得x=36.A的度数为36.6.(2015佛山中考)如图所示,ABC是等腰三角形,AB=AC.请你用尺规作图将ABC分成两个全等三角形,并说明这两个三角形全等的理由.(保留作图痕迹,不写作法)解:由作图可知BAD=CAD,又AB=AC,AD=AD,则ABDACD(SAS).第1课时一、等腰三角形的两底角相等二、三线合一一、教材作业【必做题】教材第3页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.在ABC中,若AB=AC,A=44,则B=度.2.已知等腰三角形两条边的长分别是3和6,则它的周长等于.3.在ABC中,AB=AC,BAC=120,延长BC到D,使CD=AC,则CDA=度.4.如图所示,已知AB=AC,FDBC于D,DEAB于E,若AFD=145,则EDF=度.5.等腰直角三角形中,若斜边长为16,则直角边的长为.【能力提升】6.一个等边三角形的边长为a,它的高是()A.3aB.32aC.12aD.34a7.至少有两边相等的三角形是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.锐角三角形8.如图所示,ABC中,AC=BC,直线l经过点C,则()A.l垂直ABB.l平分ABC.l垂直平分ABD.l与AB的位置关系不能确定9.(2015宜昌中考)如图所示,在方格纸中,以AB为一边作ABP,使之与ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有()A.1个B.2个C.3个D.4个10.若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45,则这个三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【拓展探究】11.如图所示,点D是ABC内一点,AB=AC,1=2.求证AD平分BAC.12.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15 cm和11 cm两部分,求此三角形的底边长.【答案与解析】1.68(提示:等腰三角形的两底角相等.)2.15(解析:腰长是6,底边长是3,故周长为6+6+3=15.)3.154.55(解析:易求出CFD=35,因为AB=AC,所以B=C=55,从而求出A=70,再根据四边形内角和是360可求出EDF=55.)5.82(解析:由勾股定理可求.)6.B7.B8.D9.C(解析:要使ABP与ABC全等,点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离,故点P1,P3,P4均符合条件,共3个.故选C.)10.D(解析:有一个底角为45的等腰三角形是等腰直角三角形.)11.证明:1=2,BD=DC.AB=AC,AD=AD,ADBADC.BAD=CAD.即AD平分BAC.12.提示:分两种情况,底边长为6 cm或343 cm.本节通过学生对已学知识的回顾,经历了 “探索发现猜想证明”的活动过程,关注了学生自主探究过程,学生发挥了主体作用,取得了较好的教学效果.注重在学期初对以往知识的整合和串联,从整册教材的角度构想本课时的教学.在具体活动中,如何在学生活动与结论总结之间建立一个恰当的衔接,各部分时间比例的分配需要根据班级学生具体状况进行适度地调整.在等腰三角形的性质定理的运用上,让学生猜想、实践、探索、反思,提出自己的见解,在教学中鼓励学生积极合作,充分交流,感受学生在学习活动中获得成功的喜悦,促使学生学习方式的改变.随堂练习(教材第3页)1.提示:(1)70.(2)36.2.(1)证明:BC=CD,AC=AC,ACB=ACD=90,ACBACD(SAS),AB=AD,即ABD是等腰三角形.(2)提示:90.习题1.1(教材第4页)1.已知已知公共边SSS全等三角形对应角相等2.证明:BE=CF,BC=EF,在ABC和DEF中,AB=DE,AC=DF,BC=EF,ABCDEF.A=D.3.解:AB=AC,ADBC,BAD=CAD.BAC=108,BAD=12108=54.4.解:BAD=CAD,BEA=CEA,ABE=ACE, BED=CED, EBD=ECD, BDE=CDE, ABC=ACB.由图中易得ABDACD, ABEACE, BEDCED,继而得到以上各组相等的角.5.已知:如图所示,在等腰三角形ABC和等腰三角形DEF中,A=D,BC=EF.求证ABCDEF.证明:ABC和DEF都是等腰三角形,A=D,B=E,C=F,BC=EF,ABCDEF(AAS或ASA).6.解:BD=CE,证明如下:如图所示,过点A作AFBC于点F,AB=AC,BF=CF,AD=AE,DF=EF,BD=CE.在“八年级上册第七章平行线的证明”中,学生已经感受了证明的必要性,并通过平行线有关命题的证明过程,得出了一些基本的证明方法并积累了一定的证明经验;在七年级下册的学习中,学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题,这些都为证明本节有关命题做了铺垫.本节回顾了判定三角形全等的有关定理,并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的性质定理.由于具备了上面所说的活