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曲边梯形面积与定积分 高二数学组 曲边梯形 在直角坐标系中 由连续曲线y f x 直线x a x b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形 O x y y f x 一 求曲边梯形的面积 x a x b 用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A 得 y f x 用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A 得 A A1 A2 A3 A4 用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A 得 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1 A2 An 构造思想 以直代曲 无限逼近 例1 求抛物线y x2 直线x 1和x轴所围成的曲边梯形的面积 解 把底边 0 1 分成n等份 然后在每个分点作底边的垂线 这样曲边三角形被分成n个窄条 用矩形来近似代替 然后把这些小矩形的面积加起来 得到一个近似值 因此 我们有理由相信 这个曲边三角形的面积为 小结 求由连续曲线y f x 对应的曲边梯形面积的方法 有理由相信 分点越来越密时 即分割越来越细时 矩形面积和的极限即为曲边形的面积 1 分割 2 近似代替 4 取极限 3 求和 3 求由连续曲线y f x 对应的曲边梯形面积的方法 2 以直代曲 任取xi xi 1 xi 第i个小曲边梯形的面积用高为f xi 宽为Dx的小矩形面积f xi Dx近似地去代替 4 逼近 所求曲边梯形的面积S为 3 作和 取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值 xi 1 xi xi 1 分割 在区间 a b 上等间隔地插入n 1个点 将它等分成n个小区间 每个小区间宽度 x 如果当n 时 Sn就无限接近于某个常数 这个常数为函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 从求曲边梯形面积S的过程中可以看出 通过 四个步骤 分割 以直代曲 求和 逼近 二 定积分的定义 积分下限 积分上限 定积分的相关名称 叫做积分号 f x dx 叫做被积表达式 f x 叫做被积函数 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b 叫做积分区间 积分下限 积分上限 按定积分的定义 有由连续曲线y f x f x 0 直线x a x b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 1 说明 1 定积分是一个数值 它只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即 三 定积分的几何意义 x a x b与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f x 0时 由y f x x a x b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 S 上述曲边梯形面积的相反数 定积分的几何意义 S 定积分的几何意义 在区间 a b 上曲线与x轴所围成图形面积的代数和 x轴上方的面积为正 x轴下方的面积为负 例1 计算下列定积分 第 1 5 小题可用定积分的几何意义求解 第 6 小题现在只能用定积分的定义求 很繁 等下节学了牛顿 莱布尼兹公式再做 四 定积分的基本性质 性质1 性质
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