人教A版选修45 第二讲证明不等式的基本方法复习 教案.docx

第二讲证明不等式的基本方法复习一、复习目标掌握不等式证明的基本方法直接法和间接法二、课时安排1课时三、复习重难点不等式证明的基本方法直接法和间接法四、教学过程（一）知识梳理作差法综合法执果索因放缩法间接证明（二）题型、方法归纳比较法证明不等式综合法、分析法证明不等式反证法证明不等式（三）典例精讲题型一、比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数大小与运算的关系其主要步骤是：作差恒等变形判断差值的符号结论其中，变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号例1设ab0，求证：3a32b33a2b2ab2.【规范解答】3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(ab)(3a22b2)ab0，ab0,3a22b22a22b20，从而(3a22b2)(ab)0，故3a32b33a2b2ab2成立再练一题1若a，b，c，则()aabcbcbaccabd.bac【解析】a与b比较：a，b.98，ba，b与c比较：b，c.3553，bc，a与c比较：a，c.3225，ac，bac，故选c.【答案】c题型二、综合法、分析法证明不等式分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用例2已知实数x，y，z不全为零，求证：(xyz)【规范解答】因为 x，同理可证：y，z.由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：(xyz)，所以有(xyz)再练一题2设a，b，c均为大于1的正数，且ab10.求证：logaclogbc4lg c.【证明】由于a1，b1，故要证明logaclogbc4lg c，只要证明4lg c.又c1，故lg c0，所以只要证4，即4.因ab10，故lg alg b1，只要证明4.(*)由a1，b1，故lg a0，lg b0，所以0lg alg b，即(*)式成立所以，原不等式logaclogbc4lg c得证.题型三、反证法证明不等式若直接证明难以入手时，“正难则反”，可利用反证法加以证明；若要证明不等式两边差异较大时，可考虑用放缩法进行过渡从而达到证明目的例3若a，b，c，x，y，z均为实数，且ax22y，by22z，cz22x，求证：a，b，c中至少有一个大于0.【规范解答】设a，b，c都不大于0，则a0，b0，c0，abc0，由题设知，abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23，abc0，这与abc0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.再练一题3如图，已知在abc中，cab90，d是bc的中点，求证：adbc.【证明】假设adbc.(1)若adbc，由平面几何定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这条边所对的角为直角”，知a90，与题设矛盾，所以adbc.(2)若adbc，因为bddcbc，所以在abd中，adbd，从而bbad.同理ccad.所以bcbadcad，即bca.因为bc180a，所以180aa，即a90，与已知矛盾，故adbc不成立由(1)(2)知adbc成立.（四）归纳小结比较法证明不等式综合法、分析法证明不等式反证法证明不等式（五）随堂检测1若实数a，b满足，则ab的最小值为()a.b2c2d.4【解析】由知a0，b0，所以2，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所以ab的最小值为2.【答案】c2设a，b0，ab5，则的最大值为_【解析】令t，则t2a1b32929a1b313ab13518，当且仅当a1b3时取等号，此时a，b.tmax3.【答案】33.已知|x|，|y|，|z|，求证：|x2y3z|.【证明】|x|，|y|，|z|，|x2y3z|12