高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法(五)——在立体几何中综合应用.ppt

空间向量在立体几何中的应用5 前段时间我们研究了用空间向量求角 包括线线角 线面角和面面角 求距离 包括线线距离 点面距离 线面距离和面面距离 今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明及计算问题 一 用空间向量处理 平行 问题 R 例1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 P Q分别是A1B1和BC上的动点 且A1P BQ M是AB1的中点 N是PQ的中点 求证 MN 平面AC 法 作PP1 AB于P1 作MM1 AB于M1 连结QP1 作NN1 QP1于N1 连结M1N1 N1 M1 P1 NN1 PP1MM1 AA1 z y x o 证明 建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 设正方形边长为2 又A1P BQ 2x 则P 2 2x 2 Q 2 2x 2 0 故N 2 x 1 x 1 而M 2 1 1 例2 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求证 平面A1BD 平面CB1D1 于是平面A1BD 平面CB1D1 o z y x 2 证明 建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 同理可得平面CB1D1的法向量为 则显然有 o z y x 例3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F G H分别是A1B1 B1C1 C1D1 D1A1的中点 求证 平面AEH 平面BDGF 故得平面AEH 平面BDGF o z y x 略证 建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 则求得平面AEF的法向量为 求得平面BDGH的法向量为 显然有 故平面AEH 平面BDGF 二 用空间向量处理 垂直 问题 二 用空间向量处理 垂直 问题 F E X Y Z 例4 练习1 证明 分别以为坐标向量建立空间直角坐标系 例6 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 AB AA1 3 a E F分别是BB1 CC1上的点 且BE a CF 2a 求证 面AEF 面ACF A F E C1 B1 A1 C B x z y 不防设a 2 则A 0 0 0 B 3 1 0 C 0 2 0 E 3 1 2 F 0 2 4 AE 3 1 2 AF 0 2 4 因为 x轴 面ACF所以可取面ACF的法向量为m 1 0 0 设n x y z 是面AEF的法向量 则 A F E C1 B1 A1 C B z y x nAE 3x y 2z 0 nAF 2y 4z 0 x 0 y 2z 令z 1得 n 0 2 1 显然有mn 0 即 m n 面AEF 面ACF 证明 如图 建立空间直角坐标系A xyz 求证 平面MNC 平面PBC 已知ABCD是矩形 PD 平面ABCD PD DC a AD M N分别是AD PB的中点 练习2 小结 利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题 是近年来很 热 的话题 其原因是它把有关的 证明 转化为 程序化的计算 本课时讲的内容是立体几何中的证明 线面平行 垂直 的一些例子 结合我们以前讲述立体几何的其他问题 如 求角 求距离等 大家从中可以进一步看出基中一些解题的 套路 利用向量解题的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标 用代数的方