分类讨论思想方法在解答高考试题中的应用.doc

分类讨论思想广东 王远征考点透视：分类讨论思想是中学数学重要的思想方法之一，也是高考必考的热点多年来的高考试题都涉及由含有参数的变化及变化过程需要一些条件限制而引起的分类讨论试题能很好地考查考生思维的深刻性和灵活性，对学生解决问题的条理性、完整性及科学性等数学能力能够较好地考查试题类型包含有选择题、填空题和解答题，分值为412分解题时要求考生科学地思考、分析问题，避免发生“重复”和“遗漏”的错误，因此，运用分类讨论思想来指导解题是制胜法宝高考的热点表现在如下几个方面：1含有参数的函数问题；2数列问题；3几何（立体几何和解析几何）问题； 4排列组合问题等考题精讲：分类讨论思想是指把所要研究的数学对象划分为若干个不同的情形，然后再分类进行研究和求解的一种数学思想因为很多数学问题不仅在涉及的范围上带有综合性，而且，问题本身，受多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上着手解决，所以，只能化整为零，各个击破，最后到达整体的解决例1（08年高考广东卷）设，函数，试讨论函数的单调性分析：函数的单调性既与函数的定义域有关，还与字母的取值情况有关，因为，则对分为两种情况：和进行讨论，并结合函数的定义域对的符号进行分类讨论解： ，对于，当，时，函数在上是增函数；当，时，函数在上是减函数，在上，函数是增函数；对于，当时，函数在上是减函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数。点评：解题时兼顾定义域和字母的取值情况进行讨论例2（07年广东）已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围分析：因为字母的取值决定函数是一次函数还是二次函数，所以解答时，要分和进行讨论当时，对应是二次函数，与横轴在区间是否有交点，则要分有唯一一个交点和两个交点来讨论，即分和两种情况讨论针对，又要分和，并结合函数图象的直观性进行讨论解：若，则，当时，解得，所以当时，若，即抛物线与轴有唯一的一个公共点，此时：解得，则当抛物线与轴在-1,1上有唯一的一个公共点，此时：，即，解得：因为当时，抛物线与轴有两个不同的交点，所以，符合要求当抛物线与轴在-1,1上有2个公共点，此时：或，解得：，解得：综上所述的取值范围是点评：题目叙述虽然简短，但是对考生的思维深刻和严谨性要求很高既考查分类讨论的思想方法，还考查学生数形结合思想方法的运用，利用图形的直观性是指导分类的依据函数问题历来是高考数学试卷中的“重头戏”，常常以此为问题情境考查分类讨论的思想方法和数形结合思想方法，所以，同学们应该加强这方面解题训练例3（南昌市08年高三年级调研测试卷第22题）：（1）已知函数（1）求函数的值域；（2）设，记的最大值为，求的表达式；（3）在（2）的条件下，试求满足不等式的实数的取值范围.分析：对于二次函数，当函数的定义域确定时，而对称轴的位置随字母参数的变化而变化时，要分三种情况讨论解：（1）函数的定义域为，对原解析式平方可得：，结合二次函数在闭区间上的图像可知，最值分别为，函数的值域为（2）令（），则，当时，；当时，抛物线的开口向上，且对称轴在区间的左侧，故；当时，抛物线的开口向下，且对称轴与区间的位置不定，需要再次分类讨论：若（即），则；若（即），则；若（即），则；综上可知，.（3）由（2）知，当时，为减函数，为增函数，恒成立；当时，为减函数，为增函数，不成立；当时，不成立.故实数的取值范围是.考题解读：下面以近几年全国高考试题为例进行评析, 希望同学们了解高考对分类讨论的思想方法的考查动态及考法变化 分类讨论的思想方法在继承与核心知识(函数、方程、数列、立体（解析）几何) 广泛地“联姻”的传统的基础上，随着课程改革的不断深入，发展到今天，她还与新增添的数学知识，如概率、数学期望、导数等“联手”合作，导致新题辈出，试题小而活，且能很好地考查考生思维的深刻性、灵活性例4（07年四川）已知一组抛物线，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是（ ）（A）（B）（C）（D）分析：先确定符合题意的抛物线的总条数，然后，计算出从这些抛物线中任意抽取两条的可能的种数它们在与直线x=1交点处的切线相互平行，即在交点处斜率相等，因此，按在交点处斜率的可能取值的情况进行分类讨论解：符合题意的抛物线的总条数=44=16条，从这些抛物线中任意抽取两条的可能的种数=种因为，在x=1交点处的切线的斜率，当时，只有0对；当时，有对；当时，有对；当时，有对；当时，有对；当时，有对；总符合要求的有0+1+3+6+3+1=14对则符合题意概率是点评：解题时，要求做到思考周密，按在交点处斜率的可能取值的情况进行分类讨论作到不重复不遗漏例5（07年山东理）设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）（）求方程有实根的概率；（）求的分布列和数学期望；（）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率分析：方程有实根，意味着方程的判别式为非负数，由此确定和的大小关系，在此前提下对依次取正整数1，2，3，4，5，6进行分类讨论，求出符合题意概率解:（I）基本事件总数为，若使方程有实根，则，即当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，,目标事件个数为因此方程 有实根的概率为(II)由题意知，则，故的分布列为012P的数学期望(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方