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2 3 1双曲线及其标准方程 1 椭圆的定义 2 引入问题 复习 MF1 MF2 2a 2a F1F2 如图 A MF1 MF2 2a 如图 B MF2 MF1 2a 由 可得 MF1 MF2 2a 差的绝对值 上面两条曲线合起来叫做双曲线 每一条叫做双曲线的一支 分析动点M满足的条件 两个定点F1 F2 双曲线的焦点 F1F2 2c 焦距 1 2a 2c 平面内与两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于 F1F2 的点的轨迹叫做双曲线 2 2a 0 双曲线定义 思考 1 若2a 2c 则轨迹是什么 2 若2a 2c 则轨迹是什么 说明 3 若2a 0 则轨迹是什么 MF1 MF2 2a 2c 1 两条射线 2 不表示任何轨迹 3 线段F1F2的垂直平分线 2 设点 设M x y 双曲线的焦距为2c c 0 F1 c 0 F2 c 0 常数 2a 双曲线方程的推导 建系 如图 以所在的直线为X轴 以线段的垂直平分线为Y轴 建立直角坐标系 4 化简 即 3 列式 双曲线的标准方程 方案一 问题 1 如何判断双曲线的焦点在哪个轴上 看前的系数 哪一个为正 则焦点在哪一个轴上 2 双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系 F c 0 F c 0 a 0 b 0 但a不一定大于b c2 a2 b2 a b 0 a2 b2 c2 双曲线与椭圆之间的区别与联系 MF1 MF2 2a MF1 MF2 2a F 0 c F 0 c 例 写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1 a 4 b 3 焦点在x轴上 2 焦点为 0 6 0 6 过点 2 5 3 a 4 过点 1 例 已知方程表示焦点在y轴上的双曲线 则m的取值范围是 变式2 已知方程表示椭圆 则m的取值范围是 变式1 已知方程表示双曲线 则m的取值范围是 析 依题意得 得 1 m 2且m 1 2 练一练才有收获 m 2 m2 且 F1 10 则 F2 4或16 变式 例4 一动圆与圆F1 x 5 2 y2 49及圆F2 x 5 2 y2 1相外切 求动圆圆心的轨迹方程 F2 F 2 M F 1 解 设动圆圆心为M x y 圆F1 圆F2的半径记为R r 则 MF1 MF2 R r 7 1 6 根据双曲线的定义 点M的轨迹为双曲线的右支 故设它的标准方程为 2a 6 2c 10 a 3 c 5 b2 c2 a2 52 32 42 故所求动圆圆心的轨迹方程为 即 3 以椭圆的短半轴长为值 长轴长为焦距且焦点在轴上的双曲线的方程是 练习 1 点
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