高一数学《等比数列的性质及应用》教案.doc

高一数学等比数列的性质及应用教案 高一数学等比数列的性质及应用教案一、教学目标：1.知识与技能：理解并掌握等比数列的性质并且能够初步应用。2.过程与方法：通过观察、类比、猜测等推理方法，提高我们分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力。3.情感态度价值观：体会类比在研究新事物中的作用，了解知识间存在的共同规律。二、重点：等比数列的性质及其应用。 难点：等比数列的性质应用。三、教学过程。 同学们，我们已经学习了等差数列，又学习了等比数列的基础知识，今天我们继续学习等比数列的性质及应用。我给大家发了导学稿，让大家做了预习，现在找同学对照下面的表格说说等差数列和等比数列的差别。数列名称等差数列等比数列定义一个数列，若从第二项起 每一项减去前一项之差都是同一个常数，则这个数列是等差数列。一个数列，若从第二项起 每一项与前一项之比都是同一个非零常数，则这个数列是等比数列。定义表达式 an-an-1=d （n2） (q0)通项公式证明过程及方法 an-an-1=d； an-1-an-2=d，a2-a1=dan-an-1+ an-1-an-2+a2-a1=(n-1)d an=a1+(n-1)*d累加法 ; . an=a1q n-1累乘法通项公式an=a1+(n-1)*dan=a1q n-1多媒体投影（总结规律）数列名称等差数列 等比数列定 义等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”定 义 表达 式an-an-1=d （n2） 通项公式证明迭加法 迭乘法通 项 公 式 加-乘乘乘方通过观察，同学们发现： 等差数列中的 减法、加法、乘法，等比数列中升级为 除法、乘法、乘方. 四、探究活动。 探究活动1：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习1；等差数列的性质1；猜想等比数列的性质1；性质证明。练习1在等差数列an中，a2= -2,d=2，求a4=_.(用一个公式计算)解：a4= a2+（n-2）d=-2+（4-2）*2=2等差数列的性质1：在等差数列an中, a n=am+(n-m)d. 猜想等比数列的性质1若an是公比为q的等比数列，则an=am*qn-m 性质证明右边= am*qn-m= a1qm-1qn-m= a1qn-1=an=左边 应用在等比数列an中，a2= -2 ,q=2，求a4=_.解：a4= a2q4-2=-2*22=-8 探究活动2：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习2；等差数列的性质2；猜想等比数列的性质2；性质证明。练习2在等差数列an中，a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为 .解：a3+a4+a5+a6+a7=（a3+ a7）+（a4+ a6）+ a5= 2a5+2a5+a5=5 a5=450 a5=90 a2+a8=290=180等差数列的性质2：在等差数列an中, 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq特别的，当m=n时，2 an=ap+aq猜想等比数列的性质2在等比数列an 中，若m+n=s+t则am*an=as*at特别的，当m=n时，an2=ap*aq性质证明右边=am*an= a1qm-1 a1qn-1= a12qm+n-1= a12qs+t-1=a1qs-1 a1qt-1= as*at=左边证明的方向:一般来说，由繁到简应用在等比数列an若an 0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,则a3+a5=_.解：a2a4+2a3a5+a4a6= a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=36由于an 0，a3+a5 0,a3+a5=6 探究活动3：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习3；等差数列的性质3；猜想等比数列的性质3；性质证明。练习3在等差数列an中，a30=10,a45=90,a60=_.解：a60=2* a45- a30=290-10=170等差数列的性质3：若an-k,an,an+k是等差数列an中的三项， 则这些项构成新的等差数列，且2an=an-k+an+kan即时an-k,an,an+k的等差中项猜想等比数列的性质3若an-k,an,an+k是等比数列an中的三项，则这些项构成新的等比数列，且an2=an-k*an+kan即时an-k,an,an+k的等比中项性质证明右边=an-k*an+k= a1qn-k-1 a1qn+k-1= a12qn-k-1+n+k-1= a12q2n-2=(a1qn-1) 2t=an2左边证明的方向:由繁到简应用在等比数列 an中a30=10,a45=90,a60=_.解：a60= = =810应用等比数列an中，a15=10, a45=90,a60=_.解：a30= = = 30A60= 探究活动4：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习4；等差数列的性质4；猜想等比数列的性质4；性质证明。练习4设数列an 、 bn 都是等差数列，若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=_.解：a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2*21-7=35等差数列的性质4：设数列an 、 bn 是公差分别为d1、d2的等差数列,则数列an+bn是公差d1+d2的等差数列两个项数相同的等差数列的和任然是等差数列猜想等比数列的性质4设数列an 、 bn 是公比分别为q1、q2的等比数列,则数列an*bn是公比为q1q2的等比数列两个项数相同的等比数列的和比一定是等比数列，两个项数相同的等比数列的积任然是等比数列。性质证明证明：设数列an的首项是a1，公比为q1; bn的首项为b1，公比为q2，设cn=an bn那么数列an bn 的第n项与第n+1项分别为： 应用设数列an 、 bn 都是等比数列，若a1b1=7,a3b3=21,则a5b5=_.解：由题意可知an bn是等比数列，a3b3是a1b1；a5b5的等比中项。由（a3b3）2= a1b1* a5b5 212= 7* a5b5 a5b5=63（四个探究活动的设计充分尊重学生的主体地位，以学生的自主学习，自主探究为主题，以教师的指导为辅，开展教学活动）五、等比数列具有的单调性（1）q 0,等比数列为 摆动 数列， 不具有 单调性 （2）q 0（举例探讨并填表）a1a1 0a1 0q的范围0q=1q 10q=1q 1an的单调性单调递减不具有单调性单调递增单调递增不具有单调性单调递减让学生举例说明，并查验有多少学生填对。（真确评价）六、课堂练习：1、已知各项均为正数的等比数列an中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于( ).A. B. 7 C. 6 D. 解析:由已知得a32 =5, a82=10,a4a5a6=a53 = = =5 .答案:A2、已知数列1,a1,a2,4是等比数列,则a1a2= .答案:43、 +1与 -1两数的等比中项是( ).A.1 B. -1 C. D.1 解析：根据等比中项的定义式去求。答案:选D4、已知等比数列an的公比为正数,且a3a9=2 ,a2=1,则a1等于( ).A.2 B. C. D. 解析:a3a9= =2 , =q2=2,q 0,q= .故a1= = = .答案:C5练习题：三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数。分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得，若三个数成等比数列，则设这三个数 为： 根据题意 再由方程组可得：q=2 或 既这三个数为2，4，8或8，4，2。七、小结 本节课通过观察、类比、猜测等推理方法，研究等比数列的性质及其应用，从而培养和提高我们综合运用分析、综合、抽象、概括，逻辑思维解决问题的能力。八、3.1.2等比数列的性质及应用性质一：若an是公比为q的等比数列，则an=am*qn-m性质二：在等比数列an 中，若m+