等差数列与等比数列.ppt

多媒体辅助教学课件 江油中学唐秋明制作 等差数列与等比数列 公式 小结 目的 例题 天马行空官方博客 等差数列与等比数列基本公式 等差数列an an 1 d 常数 an a1 n 1 da A b等差 则A 等比数列an an 1 q 常数 an a1qn 1a G b等比 则G2 abSn na1 q 1 Sn 天马行空官方博客 等差数列 an bn 的性质 m n k l 则am an ak al nk 等差 则 等差 kan b 等差 k1an k2bn 等差 a1 a2 an an 1 an 2 a2n a2n 1 a2n 2 a3n 等差 an 等差 Sn cn2 bn c 0 等比数列 an bn 的性质 m n k l m n k l N 则aman akal nk 等差 则 kan 等比 k1ank2bn 等比 a1 a2 an an 1 an 2 a2n a2n 1 a2n 2 a3n 等比 公比qn an 等比 Sn c qn 1 c 0 an 等比且an 0 则 lgan 等差 等比 例1 四个数 前三个成等比数列 它们的和是19 后三个成等差数列 和是12 求此四个数 解法1 如图 a1 a2 a3 a4 等比 a2 2 a1a3 等差2a3 a2 a4 已知 a1 a2 a3 19 已知 a2 a3 a4 12 a1 a2 a3 19 a2 2 a1a3a2 a3 a4 122a3 a2 a4 a1 9a2 6a3 4a4 2 a1 25a2 10a3 4a4 18 或 例1 四个数 前三个成等比数列 它们的和是19 后三个成等差数列 和是12 求此四个数 如图 a1 a2 a3 a4 解法2 a d a a d 等差 等比a1 a d a 已知和为12 a d a a d 12 已知三数和为19 或 四数为 9 6 4 2或25 10 4 18 19 为了便于解方程 应该充分分析条件的特征 尽量减少未知数的个数 用最少的未知数表达出数列的有关项的数量关系 促使复杂的问题转化为较简单的问题 获得最佳的解决方法 归纳 练习1 练习1 1 已知等比数列 an 中 an 0 且a2a4 2a3a5 a4a6 25 则a3 a5 A 5 B 10 C 15 D 20 2 数列 an 是等差数列 且S10 100 S100 10 则S110 A 90 B 90 C 110 D 110 3 ABC的三内角成等差数列 三边成等比数列 则三内角的公差为 A 0 B 150 C 300 D 450 A D A 1 已知等比数列 an 中 an 0 且a2a4 2a3a5 a4a6 25 则a3 a5 a2a4 a3 2 a4a6 a5 2 原式 a3 a5 2 25 a3 a5 5 an 0 提示 2 数列 an 是等差数列 且S10 100 S100 10 则S110 A 90 B 90 C 110 D 110 S10 S20 S10 S30 S20 S110 S100成等差数列 公差100d 解 S20 S10 S10 100d S110 S100 S10 11 1 100d 100 100 11 5 120S110 120 S100 110 10d 11 5 S110 S100 S10 11 1 100d 3 ABC的三内角成等差数列 三边成等比数列 则三内角的公差为 解 A B C 1800 2B A C b2 ac B 600 A C 1200 由正弦定理得 sin600 2 sinAsinC 故A B C 公差d 0 例2 已知数列 an 为等差数列 公差d 0 an 的部分项组成下列数列 恰好为等比数列 其中k1 1 k2 5 k3 17 求k1 k2 kn 即得出新数列的公比 q 3 再由 可解出kn 进而求出 根据数列 an 是等差数列 通项可写作 an a1 n 1 d 可表示出 a1 a5 a1 4d a17 a1 16d 再根据a1 a5 a17成等比数列 又可得 a5 2 a1a17 于是可解出d 1 2 a1 将解出的d代入a1 a5 a17 分析 例2 已知数列 an 为等差数列 公差d 0 an 的部分项组成下列数列 恰好为等比数列 其中k1 0 k2 5 k3 17 求k1 k2 kn 解 an 为等比数列 设其首项为a1 则an a1 n 1 d 故 a1 4d 2 a1 a1 16d a1 2 8a1d 16d2 a1 2 16a1d 例2 已知数列 an 为等差数列 公差d 0 an 的部分项组成下列数列 恰好为等比数列 其中k1 0 k2 5 k3 17 求k1 k2 kn 故 又q 3 d 1 2 a1 归纳 1 本题是一个综合型的等差 等比数列问题 在解题过程中 分清那一步是用等差数列条件 那一步是用等比数列条件是正确解题的前提 2 仔细观察 找到两个数列序号间的联系 是使问题得解的关键 练习2 练习2 1 如果a b c成等差数列 而a c b三数成等比数列 则a b c 2 若数列1 2cos 22cos2 23cos3 前100项之和为0 则 的值为 1 1 1或4 1 2 2k 2 3 k Z 1 如果a b c成等差数列 而a c b三数成等比数列 则a b c a b c等差 2b a c b a c 2 a c b等比 c2 ab 代 入 得 c2 a a c 2 解得 a c或a 2c 1 1 1或4 1 2 解 2 若数列1 2cos 22cos2 23cos3 前100项之和为0 则 的值为 解 经观察知 该数列是等比数列 首项为1 公比为2cos 它的前100项和 Cos 1 2 2k 2 3 k Z 例3 已知数列 an 中 a1 a2 若存在常数p 使得对任意自然数n均有Sn pnan成立 1 求p 2 证明 an 成等差数列 分析 本题已知Sn 需求p及an 所以必须根据公式求出a1 an 因为条件中有a1 a2 又可推测知 本题需同时求a1 a2 才可利用a1 a2排除增根 故第一问的解答从计算a1 a2开始 例3 已知数列 an 中 a1 a2 若存在常数p 使得对任意自然数n均有Sn pnan成立 1 求p 2 证明 an 成等差数列 1 令n 1 s1 pa1 因为S1 a1 故a1 pa1 a1 0或p 1 若p 1 则由n 2时 S2 2a2 即a2 a2 2a2 所以a1 a2 这与a1 a2矛盾 故p 1 所以a1 0 则由n 2 得a2 2pa2 因为a1 0 a2 0 p 1 2 解 例3 已知数列 an 中 a1 a2 若存在常数p 使得对任意自然数n均有Sn pnan成立 1 求p 2 证明 an 成等差数列 2 根据已求得的p 1 2 Sn 1 2 nan 由等差数列定义 满足an an 1 d 常数 的数列是等差数列 所以第一步求通项 第二步 作差 证明 n 2时 an Sn Sn 1 1 2 nan 1 2 n 1 an 1 解得 2 n an 1 n an 1 例3 已知数列 an 中 a1 a2 若存在常数p 使得对任意自然数n均有Sn pnan成立 1 求p 2 证明 an 成等差数列 由 1 可得a1 0 a2 a1 a2 练习3 练习3 1 数列则是该数列的第 项 2 数列 an 对任意自然数n都满足且a3 2 a7 4 则a15 11 16 教学目的 1 系统掌握等差 等比数列定义与性质 灵活应用等差 等比数列的定义与性质 2 通过对问题的讨论 提高分析解决问题的能力 小结 对等差等比综合问题1 要正确分清题目究竟是等差还是等比 不能混淆 2 掌握设元的技巧 3 要掌握分析数列问题的基本思想方法 抓两头 凑中间 习题分析 6 三数成等比数列 若将第三数减去32 则成等差数列 若再将等差数列的第二个数减去4 又成等比数列 原来三个是 习题分析 7 数列 an 各项均为正数 前n项和为An 数列