自主招生考试数学试卷

第 1 页 共 13 页 浙江省杭州市自主招生考试数学试卷浙江省杭州市自主招生考试数学试卷 一 选择题 每个题目只有一个正确答案 每题一 选择题 每个题目只有一个正确答案 每题 4 分 共分 共 32 分 分 1 4 分 2006 潍坊 计算 tan60 2sin45 2cos30 的结果是 A 2B C D 1 2 4 分 2006 潍坊 如图 边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30 到正方形 AB C D 图中阴影部分的面积为 A B C 1 D 1 3 4 分 2004 宁波 已 a b 为实数 ab 1 M N 则 M N 的大小关系是 A M NB M NC M ND 无法确定 4 4 分 2005 淮安 一名考生步行前往考场 10 分钟走了总路程的 估计步行不能 准时到达 于是他改乘出租车赶往考场 他的行程与时间关系如图所示 假定总路程为 1 则他到达考场所花的时间比一直步行提前了 A 20 分钟B 22 分钟C 24 分钟D 26 分钟 5 4 分 2012 大田县校级自主招生 二次函数 y 2x2 4x 1 的图象如何移动就得到 y 2x2的图象 A 向左移动 1 个单位 向上移动 3 个单位 B 向右移动 1 个单位 向上移动 3 个单位 C 向左移动 1 个单位 向下移动 3 个单位 D 向右移动 1 个单位 向下移动 3 个单位 第 2 页 共 13 页 6 4 分 2011 浙江校级自主招生 下列名人中 比尔盖茨 高斯 刘翔 诺贝尔 陈景润 陈省身 高尔基 爱因斯坦 其中是数学家的是 A B C D 7 4 分 2012 麻城市校级自主招生 张阿姨准备在某商场购买一件衣服 一双鞋和一 套化妆品 这三件物品的原价和优惠方式如下表所示 请帮张阿姨分析一下 选择一个最 省钱的购买方案 此时 张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为 欲购买的 商品 原价 元 优惠方式 一件衣服420每付现金 200 元 返购物券 200 元 且付款时可以使用购 物券 一双鞋280每付现金 200 元 返购物券 200 元 但付款时不可以使用 购物券 一套化妆品300付款时可以使用购物券 但不返购物券 A 500 元B 600 元C 700 元D 800 元 8 4 分 2012 麻城市校级自主招生 向高为 H 的水瓶中注水 注满为止 如果注水量 V 与水深 H 的函数关系的图象如上图所示 那么水瓶的形状是 A B C D 二 填空题 每题二 填空题 每题 6 分 共分 共 30 分 分 9 6 分 2013 福建校级自主招生 若关于 x 的分式方程在实数范围内无 解 则实数 a 10 6 分 2011 浙江校级自主招生 三角形的两边长为 4cm 和 7cm 则这个三角形面积 的最大值为 cm2 11 6 分 2014 南充自主招生 对正实数 a b 作定义 若 4 x 44 则 x 的值是 12 6 分 2011 萧山区校级自主招生 已知方程 x2 a 3 x 3 0 在实数范围内恒有解 并且恰有一个解大于 1 小于 2 a 的取值范围是 13 6 分 2011 萧山区校级自主招生 如果有 2007 名学生排成一列 按 1 2 3 4 5 4 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 1 的规律报数 那么第 2007 名学 生所报的数是 第 3 页 共 13 页 三 解答题 本题有三 解答题 本题有 4 个小题 共个小题 共 38 分 解答应写出文字说明 证明过程或推演步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或推演步骤 14 8 分 2011 萧山区校级自主招生 田忌赛马 齐王和他的大臣田忌均有上 中 下马各 匹 每场比赛三匹马各出场一次 共赛三次 以 胜的次数多者为赢 已知田忌的马较齐王的马略有逊色 即 田忌的上马不敌齐王的上马 但胜过齐王的中马 田忌的中马不敌齐王的中马 但胜过齐王的下马 田忌的下马不敌齐 王的下马 田忌在按图 1 的方法屡赛屡败后 接受了孙膑的建议 用图 2 的方法 结果田 忌两胜一负 赢了比赛 假如在不知道齐王出马顺序的情况下 1 请按如图的形式 列出所有其他可能的情况 2 田忌能赢得比赛的概率是 15 10 分 2011 浙江校级自主招生 把几个数用大括号围起来 中间用逗号断开 如 1 2 3 2 7 8 19 我们称之为集合 其中的数称其为集合的元素 如果一个集 合满足 当实数 a 是集合的元素时 实数 8 a 也必是这个集合的元素 这样的集合我们称 为好的集合 1 请你判断集合 1 2 1 4 7 是不是好的集合 2 请你写出满足条件的两个好的集合的例子 16 10 分 2011 萧山区校级自主招生 如图 在 ABC 中 AC BC CD 是 AB 边上 的高线 且有 2CD 3AB 又 E F 为 CD 的三等分点 求证 ACB AEB AFB 180 17 10 分 2011 萧山区校级自主招生 已知点 M N 的坐标分别为 0 1 0 1 点 P 是抛物线 y x2上的一个动点 1 求证 以点 P 为圆心 PM 为半径的圆与直线 y 1 的相切 2 设直线 PM 与抛物线 y x2的另一个交点为点 Q 连接 NP NQ 求证 PNM QNM 第 4 页 共 13 页 四 附加题 本题满分为四 附加题 本题满分为 3 分 但即使记入总分也不能使本次考试超出分 但即使记入总分也不能使本次考试超出 100 分 分 18 2011 城关区校级自主招生 有人认为数学没有多少使用价值 我们只要能数得清钞 票 到菜场算得出价钱这点数学知识就够了 根据你学习数学的体会 谈谈你对数学这门 学科的看法 第 5 页 共 13 页 2011 年浙江省杭州市萧山中学自主招生考试数学试卷年浙江省杭州市萧山中学自主招生考试数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 每个题目只有一个正确答案 每题一 选择题 每个题目只有一个正确答案 每题 4 分 共分 共 32 分 分 1 4 分 2006 潍坊 计算 tan60 2sin45 2cos30 的结果是 A 2B C D 1 解答 解 原式 故选 C 2 4 分 2006 潍坊 如图 边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30 到正方形 AB C D 图中阴影部分的面积为 A B C 1 D 1 解答 解 如图 设 B C 与 CD 的交点为 E 连接 AE 在 Rt AB E 和 Rt ADE 中 Rt AB E Rt ADE HL DAE B AE 旋转角为 30 DAB 60 DAE 60 30 DE 1 阴影部分的面积 1 1 2 1 1 故选 C 第 6 页 共 13 页 3 4 分 2004 宁波 已 a b 为实数 ab 1 M N 则 M N 的大小关系是 A M NB M NC M ND 无法确定 解答 解 M ab 1 1 N ab 1 1 M N 故选 B 4 4 分 2005 淮安 一名考生步行前往考场 10 分钟走了总路程的 估计步行不能 准时到达 于是他改乘出租车赶往考场 他的行程与时间关系如图所示 假定总路程为 1 则他到达考场所花的时间比一直步行提前了 A 20 分钟B 22 分钟C 24 分钟D 26 分钟 解答 解 他改乘出租车赶往考场的速度是 2 所以到考场的时间是 10 16 分 钟 10 分钟走了总路程的 步行的速度 10 步行到达考场的时间是 1 40 则他到达考场所花的时间比一直步行提前了 40 16 24 分钟 故选 C 5 4 分 2012 大田县校级自主招生 二次函数 y 2x2 4x 1 的图象如何移动就得到 y 2x2的图象 A 向左移动 1 个单位 向上移动 3 个单位 第 7 页 共 13 页 B 向右移动 1 个单位 向上移动 3 个单位 C 向左移动 1 个单位 向下移动 3 个单位 D 向右移动 1 个单位 向下移动 3 个单位 解答 解 二次函数 y 2x2 4x 1 的顶点坐标为 1 3 y 2x2的顶点坐标为 0 0 向左移动 1 个单位 向下移动 3 个单位 故选 C 6 4 分 2011 浙江校级自主招生 下列名人中 比尔盖茨 高斯 刘翔 诺贝尔 陈景润 陈省身 高尔基 爱因斯坦 其中是数学家的是 A B C D 解答 解 高斯 陈景润 陈省身是数学家 故选 D 7 4 分 2012 麻城市校级自主招生 张阿姨准备在某商场购买一件衣服 一双鞋和一 套化妆品 这三件物品的原价和优惠方式如下表所示 请帮张阿姨分析一下 选择一个最 省钱的购买方案 此时 张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为 欲购买的 商品 原价 元 优惠方式 一件衣服420每付现金 200 元 返购物券 200 元 且付款时可以使用购 物券 一双鞋280每付现金 200 元 返购物券 200 元 但付款时不可以使用 购物券 一套化妆品300付款时可以使用购物券 但不返购物券 A 500 元B 600 元C 700 元D 800 元 解答 解 买化妆品不返购物券 先购买衣服和鞋 利用所得购物券再买化妆品 付现金 220 元就可买一件衣服 因为付现金 220 元可得购物券 200 元 所以 200 220 420 元正好可购买一件衣服 付现金 280 元可买一双鞋 同时返购物券 200 元 再付现金 100 元加上买鞋时返的购物券 200 就可购买一套化妆品 张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为 220 280 100 600 元 故选 B 8 4 分 2012 麻城市校级自主招生 向高为 H 的水瓶中注水 注满为止 如果注水量 V 与水深 H 的函数关系的图象如上图所示 那么水瓶的形状是 第 8 页 共 13 页 A B C D 解答 解 因为高度不是均匀上升的 应排除 D 图象中没有出现对称情况 应排除 C 随着 V 的不断增加 H 的改变越来越快 图象应是越来越窄 故选 B 二 填空题 每题二 填空题 每题 6 分 共分 共 30 分 分 9 6 分 2013 福建校级自主招生 若关于 x 的分式方程在实数范围内无 解 则实数 a 1 解答 解 原方程化为整式方程得 1 x 3 a 整理得 x 2 a 因为无解 所以 x 3 0 即 x 3 所以 a 2 3 1 10 6 分 2011 浙江校级自主招生 三角形的两边长为 4cm 和 7cm 则这个三角形面积 的最大值为 14 cm2 解答 解 设两边的夹角为 A 则三角形面积 4 7 sinA 14sinA 当 A 90 时 面积的最大值 14 11 6 分 2014 南充自主招生 对正实数 a b 作定义 若 4 x 44 则 x 的值是 36 解答 解 原方程变形为 4 x 44 整理得 x 2 48 0 设 a 则 a2 2a 48 0 解得 a 6 或 8 0 第 9 页 共 13 页 a 6 x 36 故答案为 36 12 6 分 2011 萧山区校级自主招生 已知方程 x2 a 3 x 3 0 在实数范围内恒有解 并且恰有一个解大于 1 小于 2 a 的取值范围是 1 a 2 3 解答 解 设 f x x2 a 3 x 3 问题等价于 f x 有一个零点在 1 2 内 根据二次方程根的分布 这等价于 f 1 f 2 0 或 f 1 f 2 0 即 1 a 3 3 4 a 3 2 3 0 或 1 a 3 3 4 a 3 2 3 0 也即 a 1 2a 1 0 或 a 1 2a 1 0 解得 1 a 或 a 1 或 当 0 时 即 b2 4ac 0 a 3 2 12 0 a 2 3 或 a 2 3 则 a 的范围是 1 a 2 3 故答案为 1 a 2 3 13 6 分 2011 萧山区校级自主招生 如果有 2007 名学生排成一列 按 1 2 3 4 5 4 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 1 的规律报数 那么第 2007 名学 生所报的数是 3 解答 解 观察发现 以 1 2 3 4 5 4 3 2 为一个循环组 依次进行循环 2007 8 250 7 第 2007 名学生所报的数是第 251 组的第 7 个数 是 3 故答案为 3 三 解答题 本题有三 解答题 本题有 4 个小题 共个小题 共 38 分 解答应写出文字说明 证明过程或推演步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或推演步骤 14 8 分 2011 萧山区校级自主招生 田忌赛马 齐王和他的大臣田忌均有上 中 下马各 匹 每场比赛三匹马各出场一次 共赛三次 以 胜的次数多者为赢 已知田忌的马较齐王的马略有逊色 即 田忌的上马不敌齐王的上马 但胜过齐王的中马 田忌的中马不敌齐王的中马 但胜过齐王的下马 田忌的下马不敌齐 王的下马 田忌在按图 1 的方法屡赛屡败后 接受了孙膑的建议 用图 2 的方法 结果田 忌两胜一负 赢了比赛 假如在不知道齐王出马顺序的情况下 第 10 页 共 13 页 1 请按如图的形式 列出所有其他可能的情况 2 田忌能赢得比赛的概率是 解答 解 1 当田忌的马随机出阵时 双方马的对阵情况如下 田忌的马上中下 上中下 上中下 上中下 齐王的马上下中中上下下上中下中上 2 根据对对阵形式的分析可以知道 田忌赢得比赛的概率为 15 10 分 2011 浙江校级自主招生 把几个数用大括号围起来 中间用逗号断开 如 1 2 3 2 7 8 19 我们称之为集合 其中的数称其为集合的元素 如果一个集 合满足 当实数 a 是集合的元素时 实数 8 a 也必是这个集合的元素 这样的集合我们称 为好的集合 1 请你判断集合 1 2 1 4 7 是不是好的集合 2 请你写出满足条件的两个好的集合的例子 解答 解 1 集合 1 2 不是好的集合 这是因为 8 1 7 而 7 不是 1 2 中的数 所以 1 2 不是好的集合 1 4 7 是好的集合 这是因为 8 1 7 7 是 1 4 7 中的数 8 4 4 4 也是 1 4 7 中的数 8 7 1 1 又是 1 4 7 中的数 所以 1 4 7 是好的集合 2 答案不唯一 集合 4 3 4 5 2 6 1 2 4 6 7 0 8 等都是好的 集合 16 10 分 2011 萧山区校级自主招生 如图 在 ABC 中 AC BC CD 是 AB 边上 的高线 且有 2CD 3AB 又 E F 为 CD 的三等分点 求证 ACB AEB AFB 180 第 11 页 共 13 页 解答 证明 2CD 3AB E F 为 CD 三等分点 D 为 AB 中点 AD DF AFD 45 由勾股定理得 AF2 AD2 DF2 2DF2 2DF2 EF EF CE FE FC AF2 FE FC AFE CFA AEF CFA CAF AEF 即 ACD AED AFD 45 ACD AED AFD 90 ACB AEB AFB 180 17 10 分 2011 萧山区校级自主招生 已知点 M N 的坐标分别为 0 1 0 1 点 P 是抛物线 y x2上的一个动点 1 求证 以点 P 为圆心