自动控制原理（第2版） 第5章频率响应法(4)

自动控制原理 大连民族学院机电信息工程学院 五章 频率响应法 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 乃奎斯特稳定判据 (乃奎斯特稳定判据可以根据开环频率特性图判断闭环系统的稳定性。开环频率响应曲线可以由解析或实验的方法得到的。因为在控制系统设计中，一些元件的数学表达式往往是未知的，仅仅知道它们的频率响应数据，所以采用这种稳定性分析方法比较方便。对于不稳定的系统，这种判据还能提示人们改善系统稳定性的方法。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 角原理 (of 设复变函数 )()()()()(21211式中 ；由复变函数的理论知道， 除了在 总是解析的，即为单值、连续的正则函数。因而对于 平面上必有唯一的一个映射点与之相对应。同理，对 极点和零点的闭合曲线 ，在 平面上必有唯一的一条闭合曲线 与之相对应。 )(sF 可简称正则函数。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 若 按顺时针方向运动，则其在 平面上的映射曲线 的运动方向可能是顺时针，也可能是逆时针，它完全取决于复变函数 本身的特性。我们关心它是否包围 平面的 坐标原点 以及围绕原点的 方向和周数 ，因为后者与系统的稳定性有着密切的关系。 自动控制原理 相角为 a r g ()a r g ()(a r g1. 假设 以顺时针方向围绕 的一个零点 ， 的其余零点和极点均位于闭合曲线 之外。当点 走了一周时，向量 的相角变化了 ，其余各向量的相角变化都为 0 。这表示在平面 上的映射曲线按 顺时针 方向围绕着原点旋转一周，如下页图所示。由此推论，若 以顺时针方向包围 的 个零点，则在 平面上的映射曲线 将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转 周。 )()(1)()()()(21211大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 2. 如果 按顺时针方向围绕着 的一个极点 旋转一周，其余为零，则向量 的相角变化了 。由表达式可知， 的相角变化了 。这表示平面 上的映射曲线 按 逆时针 方向围绕其坐标原点一周。由此推广到一般，若 以顺时针方向围绕着 的 个极点旋转一周，则其在 平面上的映射曲线 将按逆时针方向围绕坐标原点（净）旋转 周。 综上所述，得出下述的幅角原理。 幅角原理 如果特征方程在乃氏曲线 中有 个零点和 个极点，那么 走一圈，特征方程映射曲线将以 顺时针方向 围绕着复平面的坐标原点旋转 周，其中 。 p)( 1 2 )( )( )(大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 乃奎斯特稳定判据 已知一个反馈控制系统 闭环特征方程式 为 0)()(1)( )()()()()()(2121式中， 是 的零点，也是 闭环特征方程式的根 ； 是 的极点，也是开环传递函数的极点。 12 ns z z z L， ， ， )( 12 ns p p p L， ， ， )()()()()()()()()()()(2121212121大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 乃奎斯特途径，它是由 轴表示的 部分和半径为无穷大的半圆 部分组成。即 由 变化到 ，然后沿着半径为无穷大 的半圆 由 变 化到 。 如果闭环系统是 稳定 的，则其特征方程式的根，即 所有的 零点均位于 为了判别系统的稳定性，即检验 是否有零点在 此在 应包含 图所示。这样如果 有零点或极点在 它们必被此曲线包围。这一闭合曲线称为 )(jj)( R 2C j 2j 2大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 基于 中的 ，当 变化时，则有 这意味着当 数 始终为一常数。由此可知， 平面上的映射曲线 是否包围坐标原点，取决于乃氏图上 部分的映射，即由 轴的映射曲线来表征。假设 在 轴上不存在 的极点和零点，则当 轴由 变化到 时，在平面 上的映射曲线为 )()( 2C 常数 )()(1(Cjj )(sF jj j ( j )F ( j ) 1 ( j ) ( j )F G H 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 设闭合曲线 以顺时针方向包围了 的 个零点和 个极点，由辐角原理可知，在 平面上的映射曲线 将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转 周，其中 由于 (P( j )F ( j ) ( j ) 1 ( j ) ( j ) 1G H G H 因而映射曲线 对其坐标原点的围绕等价于开环频率特性曲线 对 平面上的 点的围绕。 ( j )F ( j ) ( j ) 1, 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 于是，闭环系统的稳定性可通过其开环频率响应 曲线对 (-1,的包围与否来判别 ,这就是下述的乃奎斯特稳定判据。 ( j ) ( j )大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 1）如果开环系统是稳定的，即 P=0，则其闭环系统稳定的充要条件是 G(线不包括 (-1,。 2）如果开环系统不稳定，且已知有 的右平面，则其闭环系统稳定的充要条件是 G(线 按逆时针方向 围绕 (-1,旋转 乃奎斯特稳定判据 ： 反馈控制系统是稳定的，当且仅当乃氏轨迹围绕 (-1,逆时针方向旋转的周数，等于特征方程右半平面的极点数 (称为开环不稳定的极点 )。 用乃氏判据判别闭环系统的稳定性时 首先 要确定开环系统是否稳定，即知道 其次 要做出乃氏曲线以回答 然后 ，根据幅角原理就可确定 零则闭环系统稳定；反之，闭环系统不稳定。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 解： 的轨迹如图所示。 例 5系统的开环传递函数为 1212( ) ( )( 1 ) ( 1 )KG s H s T TT s T s，试用乃氏判据判别闭环系统的稳定性。 ( j ) ( j )00 自动控制原理 例 5已知一单位反馈系统的开环传递函数为 试用乃氏判据确定该闭环系统稳定的 解： 开环系统幅频和相频特性的表达式分别为 1)()( j )1( ) 1 8 0 a r c t a 1 1自动控制原理 例 5一单位反馈控制系统的开环传递函数为 式中， 均为正值。为使系统稳定，开环增益 与时间常数 之间应满足什么关系？ 解： )1)(1()(32221 , , 2 3j ( )2 2 2 2 2 21 2 2 3( j ) ( j ) j 1 ( j 1 )e(1 ) 1 T T T 22123 1a r c t a na r c t a n)( 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 0 ( j ) 0)0( )( 31 2 3( j ) ( j )G K T T T ，( ) 3 2 ，( j ) 0G 21 2 2 3j ( )2 2 2 2 2 21 2 2 3( j ) ( j ) j 1 ( j 1 )e(1 ) 1 T T T 22123 1a r c t a na r c t a n)( )( ( j ) 1G 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 321 2 3 1 2 2 3 2 3222 1 3 2 3 1 2 322 1 32 2 2 2 22 1 3 2 3 1 2 322 3 1 2 32 2 2 22 1 3 2 3 1 2 3( j )( j ) ( ) ( j ) ( ) j 11 ( ) j ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) j1 ( ) ( ) T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T 20)( 232132 ，321321 3 2 313( j )( ) ( )1 T 1)(313231大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 为了研究在这种情况下系统的稳定性，就需要对图 5氏途径 略作修改，使其沿着半径为 的半圆绕过虚轴上的极点。假设开环系统在坐标原点处有极点，则对应的乃氏途径要修改为如图所示。显然，图中多了一个 半径为无穷小的半圆 。因此，只需要研究图中的 部分在 平面上的映射。 如果 在 虚轴上有极点 ，那么就不能应用图 5为辐角原理只适用于乃氏途径 不通过 的奇点时。 )()( (2C 自动控制原理 在 部分上，令 (其中 )，代入上式得 ，11)1()1()()(2C 0 e )l i m l i m 1 e ) 当 2由点 上式求得其在 设系统的开环传递函数 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 ( a ) 型系统 ( b ) 型系统 对于 v=1的 型系统， 圆 ，对于v=2的 型系统， 。 把上述 在 和 处相连接，就组成了一条封闭曲线。这样，乃奎斯特稳定判据又可以应用了。 ( j ) ( j ) 0 0大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 例 5一反馈控制系统的开环传递函数为 )1()()(其中， ， 。试判别该系统的稳定性。 0K 0该图的 与乃氏曲线 相连接后的围线如所示。 ( j ) ( j )0N 0大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 例 5已知一系统的开环传递函数为 00)1()()( 2 ，试用乃氏稳定判据判别该系统的稳定性。 2 2 2( j )1( ) 1 8 0 a r c t a 2N 0大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 例 5已知系统的开环传递函数为 221( 1 )( j ) ( j )( 1 )K T s 试分析时间常数 和 的相对大小对系统的稳定性的影响，并画出它们所对应的乃氏图。 1T 2T 1221222 a r c t a na r c t a )(1)(1)()( ( a ) T 1 T 2 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 对数频率稳定判据 对数频率稳定判据是一种利用开环系统的伯德图来判别系统稳定性的方法 。 奈 氏图和伯德图之间存在如下对应关系 : 1)()( 的 0分贝线 ， 即 奈氏图 的单位圆 0)( 伯德图上 线 伯德图上 ,()从 180 线以下增加到 180 线以上 , 称为 ()对 180 线的正穿越 ; 反之 , 称为负穿越 。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 对数频率稳定判据可表述如下 : 闭环系统稳定的充要条件是，当 由 0变到 时 , 在开环对数幅频特性 L()0的频段内 , 相频特性 ()穿越 180 线的次数 (正穿越与负穿越次数之差 )为 P/2。 其中 ， P为 注意 ：奈氏判据中 , 是由 变到 ， 所以伯德图中 由 0变到 时 , 穿越次数为 P/2, 而不是 P。 对于开环稳定的系统 , 此时 ， P=0， 若在 L()0的频段内 ， 相频特性 ()穿越 线的次数 (正穿越与负穿越之差 )为 0， 则闭环系统稳定 ; 否则闭环系统不稳定 。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 例 系统开环传递函数为 )1()()( L ( ) / d B 2 0 d B / d e l g K 1/ T 4 0 d B / d e c 0 ( ) / ( )0 90 1 8 0此系统的开环传递函数在 即 P=0, 而在 L()0的频段内 , 相频特性 ()不穿越 180 线 , 故闭环系统必然稳定 。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 乃氏判据应用于滞后系统 由于滞后系统的开环传递函数中有着 的因子，其闭环特征方程为一超越方程，因而劳斯判据就不能适用。但是，乃氏稳定判据却能较方便地用于对这类系统稳定性的判别。 e s解： 系统的开环传递函数为 1e( ) ( ) e( 1 )s G 例 5设一滞后控制系统如图所示。已知图中的 ，试分析滞后时间 对系统稳定性的影响。 )1(/1)(1 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 图示出了在不同 值时的乃氏曲线。由图可见，式中 的作用是将 曲线上的每一点以顺时针方向旋转了 角度。当滞后时间 大到某一值后，系统就从稳定变为不稳定了。 e s 1 ( j )G 11 ( ) e 01 e( 1 )j ) j 1 )G 1 ( j ) 1G 系统出现等幅的持续振荡。 在没有滞后因子时系统产生等幅持续振荡的条件是 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 具有滞后因子的系统，其临界稳定状态不是一个点，而是一条临界轨线 。把 和 的乃氏图同时画在图中，设这两条曲线交于 据 的条件，求出 曲线上对应的角频率 ，而在 曲线上对应的 。因为点 曲线上，又在 曲线上，所以它们应有相同的角频率，即有 于是求得