高三数学专题复习-三角函数图像及其性质

第 1 页 三角函数及其图像性质精讲精练 三角函数及其图像性质精讲精练 2 知识点回顾 考向一考向一 三角函数的定义域三角函数的定义域 例例 1 函数的定义域是 3sin2lg cos21 xxy 精练精练 1 函数 y tan的定义域为 4 x A Error B Error C Error D Error 解析 x k x k 又 k Z A 正确 4 2 4 答案 A 考向二考向二 三角函数的单调性三角函数的单调性 思路点拨 y Asin x B 解析式的确定与性质的研究 借助图象或文字叙述 先求 A B 的值后 再依据解析式研究三角函数的单调性 值域 最值 及周期性 奇偶性等性质是高考的常见题型 例例 1 2012 湖南文 18 已知函数 的部分图像如图 5 所示 2 0 0 sin RxxAxf 求函数的解析式 xf 求函数的单调递增区间 1212 xfxfxg 精练 1 3 2013 佛山模拟 函数 y 2sinx 0 为增函数的区间为 6 2x A B C D 0 3 12 7 12 3 5 6 5 6 解析 因为 y 2sin 由 2k 2x 2k k Z 得 k x k k Z 即函 2x 6 2 6 3 2 3 5 6 数在 R 上的增区间为k Z 当 k 0 时增区间为 故选 C 3 k 5 6 k 3 5 6 答案 C 精练精练 1 2012 全国新课标 9 已知 函数在上单调递减 则0 sin 4 f xx 2 的取值范围是 第 2 页 A 1 5 2 4 B 1 3 2 4 C 1 0 2 D 0 2 精练精练 2 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 理 试题 纯 WORD 版 已知函数 4cossin 0 4 f xxx 的最小正周期为 求 的值 讨论 f x在区间 0 2上的单调性 考向三考向三 三角函数的值域或最值 二次型需关注 三角函数的值域或最值 二次型需关注 例例 1 函数 y cos 在 x 上的值域为 x 3 0 3 解析 由 0 x x 0 3 3 3 而函数在上单调递增 3 0 即 cos cos cos 0 3 x 3 故 cos 1 1 2 x 3 答案 1 2 1 例 2 文 已知函数 f x 2asin 2x b 的定义域为 函数的最大值为 1 最小值为 5 求 3 0 2 a 和 b 的值 解 0 x 2x 2 3 3 2 3 sin 2x 1 3 2 3 若 a 0 则Error 解得Error 若 a 0 则Error 解得Error 综上可知 a 12 6 b 23 12或 a 12 6 b 19 12 3333 试一试 2012 湖南高考 函数 f x sinx cos的值域为 x 6 解析 f x sinx cos x 6 sin x cos x sin x sin 3 2 1 23 x 6 第 3 页 sin 1 1 f x 值域为 x 6 33 答案 33 试一试 求函数 y cos2x sin x的最大值与最小值 x 4 精练 1 文 已知向量 1 cos 3sin cos2 2 xxx x abR 设函数 f x a b 求 f x 的最小正周期 求 f x 在0 2 上的最大值和最小值 精练 2 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学试题 含答案 已知函数 2 2sin 26sin cos2cos 4 1 f xxxxxx R 求 f x 的最小正周期 求 f x 在区间0 2 上的最大值和最小值 比较 2012 天津高考 已知函数 f x sin sin 2cos2x 1 x R 2x 3 2x 3 1 求函数 f x 的最小正周期 2 求函数 f x 在区间上的最大值和最小值 4 4 精练 3 设向量 3sin sin cos sinx 0 2 axxbxx I 若 abx 求的值 II 设函数 f xa bf x A 求的最大值 精练 4 2012 山东卷 已知向量 函数 1 sin xm 02cos 2 cos3 Ax A xAn 的最大值为 6 求 A nmxf 将函数的图象像左平移个单位 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍 xfy 12 1 2 纵坐标不变 得到函数的图象 求g x 在上的值域 xgy xg 24 5 0 精练 5 已知向量 设函数 sinsin cosxxxa cos32sincos xxxb 第 4 页 的图像关于直线对称 其中为常数 且 Rxbaxf x 1 2 1 1 求函数 f x的最小正周期 2 若 f x的图像经过点求函数 f x在区间上的取值范围 0 4 5 3 0 精练 6 2013 年高考湖南卷 理 已知函数 2 sin cos 2sin 632 x f xxxg x I 若 是第一象限角 且 3 3 5 f 求 g 的值 II 求使 f xg x 成立的 x 的取值集合 考向四考向四 三角函数的奇偶性和周期性 求解析式要四看 振幅 周期描述三角函数的奇偶性和周期性 求解析式要四看 振幅 周期描述 对称中心 高点相邻距对称中心 高点相邻距 离 初相 平衡位置 离 初相 平衡位置 例 1 函数 y 2cos2 1 是 x 4 A 最小正周期为 的奇函数 B 最小正周期为 的偶函数 C 最小正周期为 的奇函数 D 最小正周期为 的偶函数 2 2 例 2 设函数 f x sin x cos x 的最小正周期为 且 f x f x 则 0 2 归纳提升 1 求解三角函数的奇偶性和周期性时 一般先要进行三角恒等变换 把三角函数式化为一 个角的一种三角函数 再根据函数奇偶性的概念 三角函数奇偶性规律 三角函数的周期公式求解 例 3 2013 西安模拟 已知函数 f x Asin x x R 其中 A 0 0 0 的图象与 x 轴 2 的交点中 相邻两个交点之间的距离为 且图象上的一个最低点为 M 2 2 3 2 1 求 f x 的解析式 2 当 x 时 求 f x 的值域 12 2 精练 1 2013 年高考四川卷 理 函数 2sin 0 22 f xx 的部分图象 如图所示 则 的值分别是 第 5 页 A 2 3 B 2 6 C 4 6 D 4 3 答案 A 精练 2 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 数学 已校对纯 WORD 版含附加题 函数 4 2sin 3 xy的最小正周期为 答案 精练 3 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 理 WORD 版含答案 已校对 已知函数 cos sin2f xxx 下列结论中错误的是 A yf x 的图像关于 0 中心对称 B yf x 的图像关于直线 2 x 对称 C f x的最大值为 3 2 D f x既奇函数 又是周期函数 答案 C 精练 4 2013 年上海市春季高考数学试卷 含答案 既是偶函数又在区间 0 上单调递减的函数 是 A sin yx B cos yx C sin 2yx D cos 2yx 答案 B 精练 5 2012 四川文 18 已知函数 2 1 cossincos 2222 xxx f x 求函数 f x的最小正周期和值域 若 3 2 10 f 求sin2 的值 考向五考向五 三角函数图像变换与应用三角函数图像变换与应用 知识点扫描 振幅 初 相位 频率 周期 五点作图法 图像伸缩 平移变换 例 1 设函数 f x sin x cos x 0 的周期为 3 1 求它的振幅 初相 2 用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象 第 6 页 3 说明函数 f x 的图象可由 y sin x 的图象经过怎样的变换而得到 归纳提升 1 五点法 作图的关键是正确确定五个点 通常令 x 分别等于 0 2 求出对应的 x y 即可得到所画图象上关键点的坐标 而后列表 描点 连线即 2 3 2 可 2 变换法作图象的关键看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移 对于后者可利用 x 来确定平移单位 x 精练 1 12 2013 年高考湖北卷 理 将函数 3cossinyxx xR 的图像向左平移 0m m 个长度单位后 所得到的图像关于y轴对称 则m的最小值是 A 12 B 6 C 3 D 5 6 答案 B 精练 2 1 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学 理 试题 含答案 将函数 sin 2 yx 的图象沿x轴向左平移8 个单位后 得到一个偶函数的图象 则 的一个可能取值为 A 3 4 B 4 C 0 D 4 答案 B 精练 2 2009 全国卷 理 如果函数的图像关于点中心对称 那么 cos 2yx 3 4 3 0 的最小值为 A B C D 6 4 3 2 精练 3 2012 陕西理科 16 函数 的最大值为 3 其图 sin 1 6 f xAx 0 0A 像相邻两条对称轴之间的距离为 2 求函数的解析式 f x 设 则 求的值 0 2 2 2 f 例 2 如图所示为一个观览车示意图 该观览车半径为 4 8 m 圆上最低点与地面距离为 0 8 m 60 秒转动一圈 图中 OA 与地面垂直 以 OA 为始边 逆时针转动 角到 OB 设 B 点与地面距离为 h 第 7 页 1 求 h 与 间关系的函数解析式 2 设从 OA 开始转动 经过 t 秒到达 OB 求 h 与 t 间关系的函数解析式 精练 2013 河北衡水中等高三调考 如图所示 某市政府决定在以政府大楼 O 为中心 正北方向 和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆 为了充分利用这块土地 并考虑与周边环境 协调 设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都在边界上 图书馆的正面要朝市政府大楼 设扇形的 半径 OM R MOP 45 OB 与 OM 之间的夹角为 1 将图书馆底面矩形 ABCD 的面积 S 表示成 的函数 2 若 R 3m 求当 为何值时 矩形 ABCD 的面积 S 有最大值 其最大值是多少 解 1 由题意可知 点 M 为的中点 所以 OM AD 设 OM 与 BC 的交点为 F 则 PQ BC 2Rsin OF Rco