平行线的判定及性质

1 授课主题授课主题平行线 教学目的教学目的 1 理解平行线的概念 掌握平行公理及其推论 2 掌握平行线的判定方法及性质 并能进行简单的推理 3 掌握命题的定义 知道一个命题是由 题设 和 结论 两部分组成 对于给定的命 题 能找出它的题设和结论 教学重点教学重点 平行线的判定及性质 教学内容教学内容 知识梳理知识梳理 要点一 平行线要点一 平行线 1 1 定义 定义 在同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线 如果直线 a 与 b 平行 记作 a b 要点诠释 要点诠释 1 平行线的定义有三个特征 一是在同一个平面内 二是两条直线 三是不相交 三者缺一不可 2 有时说两条射线平行或线段平行 实际是指它们所在的直线平行 两条线段不相交并不意味着它们就 平行 3 在同一平面内 两条直线的位置关系只有相交和平行两种 特别地 重合的直线视为一条直线 不属 于上述任何一种位置关系 2 2 平行公理 平行公理 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 3 3 推论 推论 如果两条直线都与第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 要点诠释 要点诠释 1 平行公理特别强调 经过直线外一点 而非直线上的点 要区别于垂线的第一性质 2 公理中 有 说明存在 只有 说明唯一 3 平行公理的推论 也叫平行线的传递性 要点二 直线平行的判定要点二 直线平行的判定 判定方法判定方法 1 1 同位角相等 两直线平行 如上图 几何语言 3 2 AB CD 同位角相等 两直线平行 判定方法判定方法 2 2 内错角相等 两直线平行 如上图 几何语言 1 2 AB CD 内错角相等 两直线平行 判定方法判定方法 3 3 同旁内角互补 两直线平行 如上图 几何语言 4 2 180 AB CD 同旁内角互补 两直线平行 要点诠释 要点诠释 平行线的判定是由角相等或互补 得出平行 即由数推形 要点三 平行线的性质要点三 平行线的性质 性质性质 1 1 两直线平行 同位角相等 性质性质 2 2 两直线平行 内错角相等 性质性质 3 3 两直线平行 同旁内角互补 2 要点诠释 要点诠释 1 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 都是平行线的性质的一部分内容 切不可忽视前提 两直线平行 2 从角的关系得到两直线平行 是平行线的判定 从平行线得到角相等或互补关系 是平行线的性质 要点四 两条平行线的距离要点四 两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线 并且夹在这两条平行线间的线段的长度 叫做这两条平行线 的距离 要点诠释 要点诠释 1 求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点 向另一条直线作垂线 垂线段的长度就是两 条平行线的距离 2 两条平行线的位置确定后 它们的距离就是个定值 不随垂线段的位置的改变而改变 即平行线间的 距离处处相等 要点五 命题 定理 证明要点五 命题 定理 证明 1 1 命题 命题 判断一件事情的语句 叫做命题 要点诠释 要点诠释 1 命题的结构 每个命题都由题设 结论两部分组成 题设是已知事项 结论是由已知事项推出的事 项 2 命题的表达形式 如果 那么 也可写成 若 则 3 真命题与假命题 真命题 题设成立结论一定成立的命题 叫做真命题 假命题 题设成立而不能保证结论一定成立的命题 叫做假命题 2 2 定理 定理 定理是从真命题 公理或其他已被证明的定理 出发 经过推理证实得到的另一个真命题 定理 也可以作为继续推理的依据 3 3 证明 证明 在很多情况下 一个命题的正确性需要经过推理 才能作出判断 这个推理过程叫做证明 要点诠释 要点诠释 1 证明中的每一步推理都要有根据 不能 想当然 这些根据可以是已知条件 学过的定义 基本事 实 定理等 2 判断一个命题是正确的 必须经过严格的证明 判断一个命题是假命题 只需列举一个反例即可 要点六 平移要点六 平移 1 1 定义 定义 在平面内 将一个图形沿某个方向移动一定的距离 图形的这种移动叫做平移 要点诠释 要点诠释 1 图形的平移的两要素 平移的方向与平移的距离 2 图形的平移不改变图形的形状与大小 只改变图形的位置 2 性质 性质 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离 平移不改变线段 角的大小 具体 来说 1 平移后 对应线段平行且相等 2 平移后 对应角相等 3 3 平移后 对应点所连线段平行且相等 4 平移后 新图形与原图形是一对全等图形 典型例题典型例题 类型一 平行线类型一 平行线 例 1 下列说法正确的是 A 不相交的两条线段是平行线 B 不相交的两条直线是平行线 C 不相交的两条射线是平行线 D 在同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线 答案 D 例 2 在同一平面内 下列说法 1 过两点有且只有一条直线 2 两条直线有且只有一个公共点 3 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 其中正 确的个数为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 B 解析 正确的是 1 3 变式 1 下列说法正确的个数是 1 直线 a b c d 如果 a b c b c d 则 a d 2 两条直线被第三条直线所截 同旁内角的平分线互相垂直 3 两条直线被第三条直线所截 同位角相等 4 在同一平面内 如果两直线都垂直于同一条直线 那么这两直线平行 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 B 类型二 两直线平行的判定类型二 两直线平行的判定 例 3 如图 给出下列四个条件 1 AC BD 2 DAC BCA 3 ABD CDB 4 ADB CBD 其中能使 AD BC 的条件有 A 1 2 B 3 4 C 2 4 D 1 3 4 答案 C 变式 2 一个学员在广场上驾驶汽车 两次拐弯后 行驶的方向与原来的方向相同 这两次拐弯的角度 可能是 A 第一次向左拐 30 第二次向右拐 30 B 第一次向右拐 50 第二次向左拐 130 C 第一次向右拐 50 第二次向右拐 130 D 第一次向左拐 50 第二次向左拐 130 例 4 如图所示 已知 B 25 BCD 45 CDE 30 E 10 试说明 AB EF 的理由 解法解法 1 1 如图所示 在 BCD 的内部作 BCM 25 在 CDE 的内部作 EDN 10 4 B 25 E 10 已知 B BCM E EDN 等量代换 AB CM EF DN 内错角相等 两直线平行 又 BCD 45 CDE 30 已知 DCM 20 CDN 20 等式性质 DCM CDN 等量代换 CM DN 内错角相等 两直线平行 AB CM EF DN 已证 AB EF 平行线的传递性 解法解法 2 2 如图所示 分别向两方延长线段 CD 交 EF 于 M 点 交 AB 于 N 点 BCD 45 NCB 135 B 25 CNB 180 NCB B 20 三角形的内角和等于 180 又 CDE 30 EDM 150 又 E 10 EMD 180 EDM E 20 三角形的内角和等于 180 CNB EMD 等量代换 所以 AB EF 内错角相等 两直线平行 变式 3 已知 如图 BE 平分 ABD DE 平分 CDB 且 1 与 2 互余 试判断直线 AB CD 的位置关 系 请说明理由 解 AB CD 理由如下 BE 平分 ABD DE 平分 CDB ABD 2 1 CDB 2 2 又 1 2 90 ABD CDB 180 AB CD 同旁内角互补 两直线平行 变式 4 已知 如图 AB BD 于 B CD BD 于 D 1 2 180 求证 CD EF 答案 证明 AB BD 于 B CD BD 于 D AB CD 又 1 2 180 AB EF CD EF 5 类型三 平行线的性质类型三 平行线的性质 例例 5 如图所示 如果 AB DF DE BC 且 1 65 那么你能说出 2 3 4 的度数吗 为什 么 解 DE BC 4 1 65 两直线平行 内错角相等 2 1 180 两直线平行 同旁内角互补 2 180 1 180 65 115 又 DF AB 已知 3 2 两直线平行 同位角相等 3 115 等量代换 变式 5 如图 已知 且 1 48 则 2 3 4 1234 llll 答案 48 132 48 变式 6 如图所示 直线 l1 l2 点 A B 在直线 l2上 点 C D 在直线 l1上 若 ABC 的面积为 S1 ABD 的面积为 S2 则 A S1 S2 B S1 S2 C S1 S2 D 不确定 答案 B 类型四 命题类型四 命题 例例 6 判断下列语句是不是命题 如果是命题 是正确的 还是错误的 画直线 AB 两条直线相交 有几个交点 若 a b b c 则 a c 直角都相等 相等的角都是直角 如果两个角不相等 那么这两个角不是对顶角 答案 不是命题 是命题 是正确的命题 是错误的命题 变式变式 8 把下列命题改写成 如果 那么 的形式 1 两直线平行 同位角相等 2 对顶角相等 3 同角的余角相等 答案 解 1 如果两直线平行 那么同位角相等 2 如果两个角是对顶角 那么这两个角相等 3 如果有两个角是同一个角的余角 那么它们相等 类型四 平移类型四 平移 例例 7 湖南益阳 如图所示 将 ABC 沿直线 AB 向右平移后到达 BDE 的 位置 若 CAB 50 ABC 100 则 CBE 的度数为 答案 30 6 变式 9 上海静安区一模 如图所示 三角形 FDE 经过怎样的平移可以得到三角形 ABC A 沿 EC 的方向移动 DB 长 B 沿 BD 的方向移动 BD 长 C 沿 EC 的方向移动 CD 长 D 沿 BD 的方向移动 DC 长 答案 A 类型五 平行的性质与判定综合应用类型五 平行的性质与判定综合应用 例例 8 如图所示 AB EF 那么 BAC ACE CEF A 180 B 270 C 360 D 540 答案 C 解析 过点 C 作 CD AB CD AB BAC ACD 180 两直线平行 同旁内角互补 又 EF AB EF CD DCE CEF 180 两直线平行 同旁内角互补 又 ACE ACD DCE BAC ACE CEF BAC ACD DCE CEF 180 180 360 课后作业课后作业 一 选择题一 选择题 1 下列说法中正确的有 一条直线的平行线只有一条 过一点与已知直线平行的直线只有一条 因为 a b c d 所以 a d 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 如果两个角的一边在同一直线上 另一边互相平行 则这两个角 A 相等 B 互补 C 互余 D 相等或互补 3 如图 能够判定 DE BC 的条件是 7 A DCE DEC 180 B EDC DCB C BGF DCB D CD AB GF AB 4 一辆汽车在广阔的草原上行驶 两次拐弯后 行驶的方向与原来的方向相同 那么这两次拐弯的角度 可能是 A 第一次向右拐 40 第二次向右拐 140 B 第一次向右拐 40 第二次向左拐 40 C 第一次向左拐 40 第二次向右拐 140 D 第一次向右拐 140 第二次向左拐 40 5 如图所示 下列条件中 不能推出 AB CE 成立的条件是 A A ACE B B ACE C B ECD D B BCE 180 6 绍兴 学习了平行线后 小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法 她是通过折一 张半透明的纸得到的 如图 1 4 从图中可知 小敏画平行线的依据有 两直线平行 同位角相等 两直线平行 内错角相等 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 A B C D 二 填空题二 填空题 7 在同一平面内的三条直线 它们的交点个数可能是 8 如图 DF 平分 CDE CDF 55 C 70 则 9 规律探究 同一平面内有直线 a1 a2 a3 a100 若 a1 a2 a2 a3 a3 a4 按此规律 a1和 a100 的位置是 8 10 已知两个角的两边分别平行 其中一个角为 40 则另一个角的度数是 11 直线 同侧有三点 A B C 如果 A B 两点确定的直线 与 B C 两点确定的直线都与 平行 l l l l 则 A B C 三点 其依据是 12 如图 AB EF 于点 G CD EF 于点 H GP 平分 EGB HQ 平分 CHF 则图中互相平行的直线 有 三 解答题三 解答题 13 如图 1 60 2 60 3 100 要使 AB EF 4 应为多少度 说明理由 14 小敏有一块小画板 如图所示 她想知道它的上下边缘是否平行 而小敏身边只有一个量角器 你能 帮助她解决这一问题吗 15 如图 把一张长芳形纸条 ABCD 沿 AF 折叠 已知 ADB 20 那么 BAF 为多少度时 才能使 AB BD 16 如图所示 由 1 2 BD 平分 ABC 可推出哪两条线段平行 写出推理过程 如果推出另两条 线段平行 则应将以上两条件之一作如何改变 答案与解析答案与解析 一 选择题一 选择题 1 答案 A 解析 只有 正确 其它均错 2 答案 D 9 3 答案 B 解析 内错角相等 两直线平行 4 答案 B 5 答案 B 解析 B 和 ACE 不是两条直线被第三条直线所截所得到的角 6 答案 C 解析 解决本题关键是理解折叠的过程 图中的虚线与已知的直线垂直 过点 P 的折痕与虚线垂 直 二 填空题二 填空题 7 答案 0 或 1 或 2 或 3 个 8 答案 BC DE 解析 CFD 180 70 55 55 而 FDE CDF 55 所以 CFD FDE 9 答案 a1 a100 解析 为了方便 我们可以记为 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a97