初中奥数题及答案

三 解答题 1 已知 3x2 x 1 求 6x3 7x2 5x 2000 的值 答案 原式 2x 3x2 x 3 3x2 x 2x 2000 2x 1 3 1 2x 2000 2003 2 某商店出售的一种商品 每天卖出 100 件 每件可获利 4 元 现在他们采 用提高售价 减少进货量的办法增加利润 根据经验 这种商品每涨价 1 元 每天就少卖出 10 件 试问将每件商品提价多少元 才能获得最大利润 最大 利润是多少元 答案 原来每天可获利 4 100 元 若每件提价 x 元 则每件商品获利 4 x 元 但每天卖出为 100 10 x 件 如果设每天获利为 y 元 则 y 4 x 100 10 x 400 100 x 40 x 10 x2 10 x2 6x 9 90 400 10 x 3 2 490 所以当 x 3 时 y 最大 490 元 即每件提价 3 元 每天获利最大为 490 元 3 如图 1 96 所示 已知 CB AB CE 平分 BCD DE 平分 CDA 1 2 90 求证 DA AB 证明 CE 平分 BCD DE 平分 ADC 及 1 2 90 ADC BCD 180 AD BC 又 AB BC AB AD 8 a b c m 都是有理数 并且 a 2b 3c m a b 2c m 那么 b 与 c A 互为相反数 B 互为倒数 C 互为负倒数 D 相等 答案 A 解析 因为 a 2b 3c m a b 2c 所以 b c 0 即 b c 互为相反数 选 A 9 张梅写出了五个有理数 前三个有理数的平均值为 15 后两个有理数的平 均值是 10 那么张梅写出的五个有理数的平均值是 A 5 B 8 C 12 D 13 答案 D 解析 前三个数之和 15 3 后两个数之和 10 2 所以五个有理数的平均 数为 45 20 5 13 选 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 29 解析 前 12 个数 每四个一组 每组之和都是 0 所以总和为 14 15 29 3 小华写出四个有理数 其中每三数之和分别为 2 17 1 3 那么小华写 出的四个有理数的乘积等于 答案 1728 解析 设这四个有理数为 a b c d 则 abc 2 a b d 17 a c d 1 b c d 3 有 3 a b c d 15 即 a b c d 5 分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为 3 12 6 8 所以 这四个 有理数的乘积 3 12 6 8 1728 答案 5 甲乙两人同时从东西两站相向步行 相会时 甲比乙多行 24 千米 甲经过 9 小时到东站 乙经过 16 小时到西站 求两站距离 答案 设甲步行速度为 x 千米 小时 乙步行速度为 y 千米 小时 则所求距 离为 9x 16y 千米 依题意得 由 得 16y2 9x2 由 得 16y 24 9x 将之代入 得 即 24 9x 2 12x 2 解之得 于是 所以两站距离为 9 8 16 6 168 千米 一 填空题 1 四位数 3AA1 是 9 的倍数 那么 A 2 在 25 79 这个数的 内填 上一个数字 使这个数能被 11 整除 方格内应填 3 能同时被 2 3 5 整除的 最大三位数是 4 能同时被 2 5 7 整除的最大五位数是 5 1 至 100 以内 所有不能被 3 整除的数的和是 6 所有能被 3 整除的两位数的和是 7 已 知一个五位数 691 能被 55 整除 所有符合题意的五位数是 8 如果六位数 1992 能被 105 整除 那么它的最后两位数是 9 42 28 是 99 的倍数 这个 数除以 99 所得的商是 10 从左向右编号为 1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行 从左向右 1 至 11 报数 报数为 11 的同学原地不动 其余同学出列 然后留下的同学再从左向 右 1 至 11 报数 报数为 11 的留下 其余同学出列 留下的同学第三次从左向右 1 至 11 报数 报到 11 的同学留下 其余同学出列 那么最后留下的同学中 从左边数第一个人的最初编号是 号 11 173 是个四位数字 数学老师说 我在这个 中先后填入 3 个数字 所得到的 3 个四 位数 依次可被 9 11 6 整除 问 数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少 12 在 1992 后面补上三个数字 组成一个七位数 使它们分别能被 2 3 5 11 整除 这个七位数最小值是多少 13 张强用 270 元买了一件外衣 一顶帽子和一双鞋子 外 衣比鞋贵 140 元 买外衣和鞋比帽子多花 210 元 张强买这双鞋花多少钱 14 有大 小两 个水池 大水池里已有水 300 立方米 小水池里已有水 70 立方米 现在往两个水池里注入同 样多的水后 大水池水量是小水池水量的 3 倍 问 每个水池注入了多少立方米的水 答 案 1 7 已知四位数 3AA1 正好是 9 的倍数 则其各位数字之和 3 A A 1 一定是 9 的倍数 可能是 9 的 1 倍或 2 倍 可用试验法试之 设 3 A A 1 9 则 A 2 5 不合题意 再设 3 A A 1 18 则 A 7 符合题意 事实上 3771 9 419 11 173 是个四位数字 数学老师说 我在这个 中先后填入 3 个数字 所得到的 3 个四位数 依次可被 9 11 6 整除 问 数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少 12 在 1992 后面补上三个数字 组成 一个七位数 使它们分别能被 2 3 5 11 整除 这个七位数最小值是多少 13 张 强用 270 元买了一件外衣 一顶帽子和一双鞋子 外衣比鞋贵 140 元 买外衣和鞋比帽子多 花 210 元 张强买这双鞋花多少钱 14 有大 小两个水池 大水池里已有水 300 立方米 小 水池里已有水 70 立方米 现在往两个水池里注入同样多的水后 大水池水量是小水池水量的 3 倍 问 每个水池注入了多少立方米的水 答 案 1 7 已知四位数 3AA1 正好是 9 的 倍数 则其各位数字之和 3 A A 1 一定是 9 的倍数 可能是 9 的 1 倍或 2 倍 可用试验法试 之 设 3 A A 1 9 则 A 2 5 不合题意 再设 3 A A 1 18 则 A 7 符合题意 事实上 3771 9 419 6 1665 能被 3 整除的二位数中最小的是 12 最大的是 99 所有能被 3 整除的二位数如 下 12 15 18 21 96 99 这一列数共 30 个数 其和为 12 15 18 96 99 12 99 30 2 1665 7 96910 或 46915 五位数 BA691 能被 55 整除 即 此五位数既能被 5 整除 又能被 11 整除 所以 B 0 或 5 当 B 0 时 6910A 能被 11 整除 所以 A 9 0 6 1 A 2 能被 11 整除 因此 A 9 当 B 5 时 同样可求出 A 4 所以 所求的五位 数是 96910 或 46915 8 90 因为 105 3 5 7 根据数的整除性质 可知这个六位数能 同时被 3 5 和 7 整除 根据能被 5 整除的数的特征 可知这个六位数的个位数只能是 0 或 5 两种 再根据能被 3 整除的数的特征 可知这个六位数有如下七个可能 199200 199230 199260 199290 199215 199245 199275 最后用 7 去试除知 199290 能被 7 整除 所以 199290 能被 105 整除 它的最后两位数是 90 注 此题也可以 这样思考 先把后面两个方框中填上 0 后的 199200 除以 105 根据余数的大小来决定最后两 个方框内应填什么 199200 105 1897 15 105 15 90 如果 199200 再加 上 90 199290 便可被 105 整除 故最后两位数是 90 9 4316 因为 99 9 11 所以 42 28 既是 9 的倍数 又是 11 的倍数 根据是 9 的倍数的特点 这个数各位上数字的和是 9 的倍数 42 28 这个六位数中已知的四个数的和是 4 2 2 8 16 因此空格中两个数字的 和是 2 或 11 我们把右起第一 三 五位看做奇位 那么奇位上已知两个数字的和是 2 2 4 而偶位上已知两个数字的和是 4 8 12 再根据是 11 的倍数的特点 奇位上数字 的和与偶位上数的和之差是 0 或 11 的倍数 所以填入空格的两个数应该相差 3 或相差 8 从以上分析可知填入的两个数字的和不可能是 2 应该是 11 显然它们的差不可能是 8 应该 是 3 符合这两个条件的数字只有 7 和 4 填入空格时要注意 7 填在偶位上 4