九年级数学第28章锐角三角函数导学案

1 2 C B A C B A C B A 28 11 锐角三角函数锐角三角函数 正弦正弦 学习目标 经历当直角三角形的锐角固定时 它的对边与斜边的比值都固定 即正弦值不变 这一事实 能根据正弦概念正确进行计算 学习重点 理解正弦 sinA 概念 知道当直角三角形的锐角固定时 它的对边与斜边的比值是固定值这一事实 学习难点 当直角三角形的锐角固定时 它的对边与斜边的比值是固定值的事实 导学过程 一 自学提纲 一 自学提纲 1 如图在 Rt ABC 中 C 90 A 30 BC 10m 求 AB 2 如图在 Rt ABC 中 C 90 A 30 AB 20m 求 BC 二 合作交流 二 合作交流 问题 问题 为了绿化荒山 某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管 在山坡上修建一座扬水站 对坡面的绿地进行喷灌 现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30 为使出水口的高度为 35m 那么需 要准备多长的水管 思考思考 1 如果使出水口的高度为 50m 那么需要准备多长的水管 如果使出水口的高度为 a m 那么需要准备多长的水管 结论 直角三角形中 结论 直角三角形中 30 角的对边与斜边的比值角的对边与斜边的比值 思考思考 2 在 Rt ABC 中 C 90 A 45 A 对边与斜边的比值是一个定值吗 如果是 是多 少 结论 直角三角形中 结论 直角三角形中 45 角的对边与斜边的比值角的对边与斜边的比值 三 教师点拨 三 教师点拨 从上面这两个问题的结论中可知 在一个 Rt ABC 中 C 90 当 A 30 时 A 的对边与 斜边的比都等于 1 2 是一个固定值 当 A 45 时 A 的对边与斜边的比都等于 2 2 也是一个固 定值 这就引发我们产生这样一个疑问 当 A 取其他一定度数的锐角时 它的对边与斜边的比是否也 是一个固定值 探究 任意画探究 任意画 Rt ABC 和和 Rt A B C 使得 使得 C C 90 A A a 那么 那么 BCB C ABA B 与有什么关系 你能解释一下吗 有什么关系 你能解释一下吗 结论 这就是说 在直角三角形中 当锐角结论 这就是说 在直角三角形中 当锐角 A 的的 度数一定时 不管三角形的大小如何 度数一定时 不管三角形的大小如何 A 的对边与的对边与 3 斜边c 对边a b C B A 2 13 53 C B A 1 3 4C B A 斜边的比斜边的比 正弦函数概念 正弦函数概念 规定 在规定 在 Rt BC 中中 C 90 A 的对边记作的对边记作 a B 的对边记作的对边记作 b C 的对边记作的对边记作 c 在 Rt BC 中 C 90 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦 记作 sinA 即 sinA a c sinA Aa Ac 的对边 的斜边 例如 当 A 30 时 我们有 sinA sin30 当 A 45 时 我们有 sinA sin45 四 学生展示 四 学生展示 例例 1 如图 在如图 在 Rt ABC 中 中 C 90 求 求 sinA 和和 sinB 的值 的值 随堂练习随堂练习 1 做课本第做课本第 79 页练习 页练习 随堂练习随堂练习 2 1 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示 则 sin 的值是 A B C D 4 3 3 4 5 3 5 4 2 如图 在直角 ABC 中 C 90o 若 AB 5 AC 4 则 sinA A B C D 3 5 4 5 3 4 4 3 3 在 ABC 中 C 90 BC 2 sinA 则边 AC 的长是 2 3 A B 3 C D 13 4 35 4 如图 已知点 P 的坐标是 a b 则 sin 等于 A a b B b a C 2222 ab D abab 五 课堂小结 五 课堂小结 在直角三角形中 当锐角 A 的度数一定时 不管三角形的大小如何 A 的对边与斜边的比都是 在 Rt ABC 中 C 90 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的 记作 六 作业设置 六 作业设置 课本课本 第第 85 页页 习题习题 28 1 复习巩固第复习巩固第 1 题 第题 第 2 题 题 只做与正弦函数有关的部分 只做与正弦函数有关的部分 七 自我反思 七 自我反思 本节课我的收获 C B A 4 斜边c 对边a b C B A 928 12 锐角三角函数锐角三角函数 余弦 正切余弦 正切 学习目标 感知当直角三角形的锐角固定时 它的邻边与斜边 对边与邻边的比值也都固定这一事实 逐步培养学生观察 比较 分析 概括的思维能力 学习重点 理解余弦 正切的概念 学习难点 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算 导学过程 一 自学提纲 一 自学提纲 1 我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的 2 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于点 D 已知 AC BC 2 那么 sin ACD 5 A B C D 5 3 2 3 2 5 5 5 2 3 如图 已知 AB 是 O 的直径 点 C D 在 O 上 且 AB 5 BC 3 则 sin BAC sin ADC 4 在 Rt ABC 中 C 90 当锐角 当锐角 A 确定时 确定时 A 的对边与斜边的比是 现在我们要 问 A 的邻边与斜边的比呢 A 的对边与邻边的比呢 为什么 为什么 二 合作交流 二 合作交流 探究 探究 一般地 当一般地 当 A A 取其他一定度数的锐角时 它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值 取其他一定度数的锐角时 它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值 如图 如图 Rt ABC 与与 Rt A B C C C 90o B B 那么那么与与有什么关系 有什么关系 三 教师点拨 三 教师点拨 类似于正弦的情况 如图在 Rt BC 中 C 90 当锐角当锐角 A 的大小确定时的大小确定时 A 的邻边与斜边的比 A 的对边与邻 边的比也分别是确定的 我们 把 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦余弦 记作 cosA 即 cosA A 与与与 与与 a c 把 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切正切 记作 tanA 即 A B C D E O A B C D A的邻边b A的对边a 斜边c C B A 5 6 C B A tanA A A 与与与 与与与 a b 例如 当 A 30 时 我们有 cosA cos30 当 A 45 时 我们有 tanA tan45 教师讲解并板书 锐角 教师讲解并板书 锐角 A 的正弦 余弦 正切都叫做的正弦 余弦 正切都叫做 A 的锐角三角函数 的锐角三角函数 对于锐角对于锐角 A 的每一个确定的值 的每一个确定的值 sinA 有唯一确定的值与它对应 所以有唯一确定的值与它对应 所以 sinA 是是 A 的函数 同样地 的函数 同样地 cosA tanA 也是也是 A 的函数 的函数 例例 2 如图 在 Rt ABC 中 C 90 BC 6 sinA 3 5 求 cosA tanB 的值 四 学生展示 四 学生展示 练习一 完成课本练习一 完成课本 P81P81 练习练习 1 1 2 2 3 3 练习二 练习二 1 在中 C 90 a b c 分别是 A B C 的对边 则有 A B C D 2 在中 C 90 如果 cos A 那么的值为 4 5 A B C D 3 5 5 4 3 4 4 3 3 如图 P 是 的边 OA 上一点 且 P 点的坐标为 3 4 则 cos 五 课堂小结 五 课堂小结 在 Rt BC 中 C 90 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦 记作 sinA 即 sinA a c sinA Aa Ac 的对边 的斜边 把 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦余弦 记作 即 把 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切正切 记作 即 六 作业设置 六 作业设置 课本课本 第第 85 页页 习题习题 28 1 复习巩固第复习巩固第 1 题 第题 第 2 题 题 只做与余弦 正切有关的部分 只做与余弦 正切有关的部分 七 自我反思 七 自我反思 本节课我的收获 6 928 13 锐角三角函数锐角三角函数 特殊角三角函数值特殊角三角函数值 学习目标 能推导并熟记 30 45 60 角的三角函数值 并能根据这些值说出对应锐角度数 能熟练计算含有 30 45 60 角的三角函数的运算式 学习重点 熟记 30 45 60 角的三角函数值 能熟练计算含有 30 45 60 角的三角函数的运算式 学习难点 30 45 60 角的三角函数值的推导过程 导学过程 一 自学提纲 一 自学提纲 一个直角三角形中 一个锐角正弦是怎么定义的 一个锐角余弦是怎么定义的 一个锐角正切是怎么定义的 二 合作交流 二 合作交流 思考 思考 两块三角尺中有几个不同的锐角 是多少度 你能分别求出这几个锐角的正弦值 余弦值和正切值码 三 教师点拨 归纳结果三 教师点拨 归纳结果 例例 3 求下列各式的值 1 cos260 sin260 2 cos45 sin45 tan45 例例 4 1 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 AB 6 BC 3 求 A 的度数 2 如图 2 已知圆锥的高 AO 等于圆锥的底面半径 OB 的 3 倍 求 a 四 学生展示 一 课本四 学生展示 一 课本 83 页页 第第 1 题题 第第 2 题题 二 选择题 二 选择题 1 已知 Rt ABC 中 C 90 cosA AB 15 则 AC 的长是 3 5 30 45 60 siaA cosA tanA 7 A 3 B 6 C 9 D 12 2 下列各式中不正确的是 A sin260 cos260 1 B sin30 cos30 1 C sin35 cos55 D tan45 sin45 3 计算 2sin30 2cos60 tan45 的结果是 A 2 B 3 C 2 D 1 4 已知 A 为锐角 且 cosA 那么 1 2 A 0 A 60 B 60 A 90 C 0 A 30 D 30 A60 时 cosa 的值 A 小于 B 大于 C 大于 D 大于 1 1 2 1 2 8 在 ABC 中 三边之比为 a b c 1 3 2 则 sinA tanA 等于 A 32 313 331 3 6222 BCD 9 已知梯形 ABCD 中 腰 BC 长为 2 梯形对角线 BD 垂直平分 AC 若梯形的高是 3 则 CAB 等于 A 30 B 60 C 45 D 以上都不对 10 sin272 sin218 的值是 A 1 B 0 C D 1 2 11 若 tanA 3 2 2cosB 0 则 ABC 33 A 是直角三角形 B 是等边三角形 C 是含有 60 的任意三角形 D 是顶角为钝角的等腰三角形 三 填空题 12 设 均为锐角 且 sin cos 0 则 13 cos45sin30 1 cos60tan45 2 的值是 14 已知 等腰 ABC 的腰长为 4 底为 30 则底边上的高为 周长为 3 30 45 60 8 15 在 Rt ABC 中 C 90 已知 tanB 则 cosA 五 课堂小结 五 课堂小结 要牢记下表 六 作业设置 课本六 作业设置 课本 第第 85 页页 习题习题 28 1 复习巩固第复习巩固第 3 题题 七 自我反思 七 自我反思 本节课我的收获 928 14928 14 锐角三角函数锐角三角函数 运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角 学习目标 让学生熟识计算器一些功能键的使用 学习重点 运用计算器处理三角函数中的值或角的问题 学习难点 知道值求角的处理 导学过程 求下列各式的值 1 sin30 cos45 cos60 2 2sin60 2cos30 sin45 3 2cos60 2sin302 4 sin45cos30 32cos60 sin60 1 sin30 5 tan45 sin60 4sin30 cos45 6 tan30 6 sin45 tan30tan60 cos45 cos30 合作交流 合作交流 学生去完成课本 83 84 页 siaA cosA tanA 9 学生展示 学生展示 用计算器求锐角的正弦 余弦 正切值学生去完成课本 83 86 页的题目 自我反思 自我反思 本节课我的收获 928 21 解直角三角形解直角三角形 学习目标 使学生理解直角三角形中五个元素的关系 会运用勾股定理 直角三角形的两个锐角互余及锐角三 角函数解直角三角形 通过综合运用勾股定理 直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 逐步培养学生 分析问题 解决问题的能力 渗透数形结合的数学思想 培养学生良好的学习习惯 学习重点 直角三角形的解法 学习难点 三角函数在解直角三角形中的灵活运用 导学过程 一 自学提纲 一 自学提纲 1 在三角形中共有几个元素 2 直角三角形 ABC 中 C 90 a b c A B 这五个元素间有哪些等量关系呢 1 边角之间关系边角之间关系 a b A b a A c b A c a A cot tan cos sin b a B a b B c a B c b B cot tan cos sin 如果用 表示直角三角形的一个锐角 那上述式子就可以写成 的对边 的邻边 的邻边 的对边 斜边 的邻边 斜边 的对边 cottancossin 2 三边之间关系三边之间关系 a2 b2 c2 勾股定理 3 锐角之间关系锐角之间关系 A B 90 以上三点正是解直角三角形的依据 以上三点正是解直角三角形的依据 二 合作交流 二 合作交流 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端 梯子与地面所成的角一般要满足 如图 现有一个长 6m 的梯子 问 1 使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙 精确到 0 1 m 10 2 当梯子底端距离墙面 2 4 m 时 梯子与地面所成的角等于多少 精确到 1o 这时人是否能够安全使用 这个梯子 三 教师点拨 三 教师点拨 例例 1 在 ABC 中 C 为直角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 b a 26 解这个三角形 例例 2 在 Rt ABC 中 B 35o b 20 解这个三角形 四 学生展示 四 学生展示 完成课本 91 页练习 补充题 1 根据直角三角形的 元素 至少有一个边 求出 其它所有元素的过程 即解直 角三角形 2 在 Rt ABC 中 a 104 0 b 20 49 解这个三角形 3 在 ABC 中 C 为直角 AC 6 的平分线 AD 4 解此直角三角形 BAC 3 4 Rt ABC 中 若 sinA 4 5 AB 10 那么 BC tanB 5 在 ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 那么 sinA 6 在 ABC 中 C 90 sinA 3 5 则 cosA 的值 是 11 的邻边 的对边 A A A 3 5 B 4 5 C 916 2525 D 五 课堂小结 五 课堂小结 小结 已知一边一角 如何解直角三角形 六 作业设置 课本六 作业设置 课本 第第 96 页页 习题习题 28 2 复习巩固第复习巩固第 1 题 第题 第 2 题 题 七 自我反思 七 自我反思 本节课我的收获 928 22 解直角三角形解直角三角形 学习目标 使学生了解仰角 俯角的概念 使学生根据直角三角形的知识解决实际问题 逐步培养学生分析问题 解决问题的能力 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点 培养学生用数学的意识 学习重点 将某些实际问题中的数量关系 归结为直角三角形元素之间的关系 从而利用所学知识把实际问题解 决 学习难点 实际问题转化成数学模型 导学过程 一 自学提纲 一 自学提纲 1 解直角三角形指什么 2 解直角三角形主要依据什么 1 勾股定理 2 锐角之间的关系 3 边角之间的关系 tanA 二 合作交流 二 合作交流 仰角 俯角 仰角 俯角 当我们进行测量时 在视线与水平线所成的角中 视 线在水平线上方的角叫做仰角 在水平线下方的角叫做俯角 三 教师点拨 三 教师点拨 例例 3 2003 年 10 月 15 日 神舟 5 号载人航天飞船发射成功 当飞船完 成变轨后 就在离地球表面 350km 的圆形轨道上运行 如图 当 飞船运行到地球表面上 P 点的正上方时 从飞船上最远能直接 看到的地球上的点在什么位置 这样的最远点与 P 点的距离是 多少 地球半径约为 6 400 km 结果精确到 0 1 km 斜边 的邻边A A cos 斜边 的对边A A sin 12 例例 4 热气球的探测器显示 从热气球看一栋高楼顶部的仰角为热气球的探测器显示 从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30o 看这栋离楼底部的俯角为 看这栋离楼底部的俯角为 60o 热气球与高楼的水平距离为热气球与高楼的水平距离为 120 m 这栋高楼有多高这栋高楼有多高 结果精确到结果精确到 0 1m 四 学生展示 课本四 学生展示 课本 93 页页 练习练习 第第 1 2 题题 五 课堂小结 五 课堂小结 六 作业设置 课本六 作业设置 课本 第第 96 页页 习题习题 28 2 复习巩固第复习巩固第 3 4 题题 七 自我反思 七 自我反思 本节课我的收获 928 23 解直角三角形解直角三角形 学习目标 使学生了解方位角的命名特点 能准确把握所指的方位角是指哪一个角 逐步培养学生分析问题 解决问题的能力 渗透数形结合的数学思想和方法 巩固用三角函数有关知识解决问题 学会解决方位角问题 学习重点 用三角函数有关知识解决方位角问题 学习难点 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 导学过程 一 自学提纲 一 自学提纲 坡度与坡角 坡面的铅直高度 h 和水平宽度l的比叫做坡度 或叫做坡比 一般用 i 表示 即 常写成 i 1 m 的形式如 i 1 2 5 把坡面与水平面的夹角 叫做坡角 结合图形思考 结合图形思考 坡度 i 与坡角 之间具有什么关系 这一关系在实际问题中经常用到 这一关系在实际问题中经常用到 二 教师点拨 二 教师点拨 例例 5 如图 一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65 方向 距离灯塔 80 海里的 A 处 它沿 正南方向航行一段时间后 到达位于灯塔 P 的南偏东 34 方向上的 B 处 这时 海轮 所在的 B 处距离灯塔 P 有多远 例例 6 同学们 如果你是修建三峡大坝的工程师 现在有这样一个问题请你解决 如图 6 33 水库大坝的 横断面是梯形 坝顶宽 6m 坝高 23m 斜坡 AB 的坡度 i 1 3 斜坡 CD 的坡度 i 1 2 5 求斜坡 AB 的坡面角 坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长 精确到 0 1m 四 学生展示 四 学生展示 完成课本 91 页练习 13 补充练习补充练习 1 一段坡面的坡角为 60 则坡度 i 坡角 度 2 利用土埂修筑一条渠道 在埂中间挖去深为 0 6 米的一块 图阴影部分是挖去部分 已知渠道内坡度 为 1 1 5 渠道底面宽 BC 为 0 5 米 求 横断面 等腰梯形 ABCD 的面积 修一条长为 100 米的渠道要挖去的土方数 五 课堂小结 五 课堂小结 六 作业设置 课本六 作业设置 课本 第第 96 页页 习题习题 28 2 复习巩固第复习巩固第 5 6 7 题题 七 自我反思 七 自我反思 本节课我的收获 测试测试 1 锐角三角函数定义锐角三角函数定义 学习要求学习要求 解一个锐角的正弦 余弦 正切的定义 能依据锐角三角函数的定义 给定锐角的三角函数值 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 如图所示 B B 是 MAN 的 AN 边上的任意两点 BC AM 于 C 点 B C AM 于 C 点 则 B AC 从而 又可得 AC BA BC CB 即在 Rt ABC 中 C 90 当 A 确定时 它的 与 的比是一个 BA CB 值 即在 Rt ABC 中 C 90 当 A 确定时 它的 与 的比也是一个 BA CA 即在 Rt ABC 中 C 90 当 A 确定时 它的 与 的比还是一个 CA CB 2 如图所示 在 Rt ABC 中 C 90 与与 sin A 与与 sin B 与与 cos A 与与 cos B 与与与A A tan tan 与与与B B 3 因为对于锐角 的每一个确定的值 sin cos tan 分别都有 与它 所以 sin cos tan 都是 又称为 的 4 在 Rt ABC 中 C 90 若 a 9 b 12 则 c 14 sinA cosA tanA sinB cosB tanB 5 在 Rt ABC 中 C 90 若 a 1 b 3 则 c sinA cosA tanA sinB cosB tanB 6 在 Rt ABC 中 B 90 若 a 16 c 30 则 b sinA cosA tanA sinC cosC tanC 7 在 Rt ABC 中 C 90 若 A 30 则 B sinA cosA tanA sinB cosB tanB 二 解答题二 解答题 8 已知 如图 Rt TNM 中 TMN 90 MR TN 于 R 点 TN 4 MN 3 求 sin TMR cos TMR tan TMR 9 已知 Rt ABC 中 求 AC AB 和 cosB 12 4 3 tan 90 BCAC 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 10 已知 如图 Rt ABC 中 C 90 D 是 AC 边上一点 DE AB 于 E 点 DE AE 1 2 求 sinB cosB tanB 11 已知 如图 O 的半径 OA 16cm OC AB 于 C 点 求 AB 及 OC 的长 4 3 sinAOC 12 已知 O 中 OC AB 于 C 点 AB 16cm 5 3 sinAOC 1 求 O 的半径 OA 的长及弦心距 OC 2 求 cos AOC 及 tan AOC 15 13 已知 如图 ABC 中 AC 12cm AB 16cm 3 1 sin A 1 求 AB 边上的高 CD 2 求 ABC 的面积 S 3 求 tanB 14 已知 如图 ABC 中 AB 9 BC 6 ABC 的面积等于 9 求 sinB 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 15 已知 如图 Rt ABC 中 C 90 按要求填空 1 sin c a A cAca sin 2 b c cos c b A 3 a b tan b a A 4 2 3 sin B Bcos Btan 5 5 3 cos B Bsin Atan 6 3 Btan Bsin Asin 16 已知 如图 直角坐标系 xOy 中 线 OM 为第一象限中的一条射线 点的坐标为 1 0 原点 O 为圆 心 OA 长为半径画弧 交 y 轴于 B 点 交 OM 于 P 点 作 CA x 轴交 OM 于 C 点 设 XOM 求 P 点和 C 点的坐标 用 的三角函数表示 16 17 已知 如图 ABC 中 B 30 P 为 AB 边上一点 PD BC 于 D 1 当 BP PA 2 1 时 求 sin 1 cos 1 tan 1 2 当 BP PA 1 2 时 求 sin 1 cos 1 tan 1 答案与提示答案与提示 测试测试 1 1 BAC AB AC 对边 斜边 固定 邻边 斜边 固定值 对边 邻边 固定值 AB BC AB AC AC BC 2 A 的对边 B 的对边 A 的邻边 B 的邻边 A 的对边 B 的邻边 c a c b c b c a b a a b 3 唯一确定的值 对应 的函数 锐角三角函数 4 5 3 4 5 3 5 4 4 3 5 4 5 3 15 3 10 10 10 103 3 1 10 103 10 10 10 6 7 8 15 17 8 17 15 15 8 17 15 17 8 34 3 2 1 2 3 3 3 2 3 2 1 60o 8 3 7 tantan 4 3 coscos 4 7 sinsinNTMRNTMRNTMR 9 10 5 3 cos 20 16BABAC 2 tan 5 5 cos 5 52 sin BBB 11 AB 2AC 2AO sin AOC 24cm cm74 22 ACOAOC 12 4 3 tan 5 4 cos 2 cm 3 32 cm 3 40 1 AOCAOCOCOA 13 1 CD AC sinA 4cm 2 3 cm32 2 1 2 CDABS 4 22 tanB 17 14 3 1 sinB 15 1 2 3 4 5 6 sin A a cos cos A b Ac tan tan A a Ab 3 2 1 4 3 5 4 10 10 10 103 16 P cos sin C 1 tan 提示 作 PD x 轴于 D 点 17 1 2 31tan 2 1 1cos 2 3 1sin 2 3 1tan 7 72 1cos 7 21 1sin 提示 作 AE BC 于 E 设 AP 2 测试测试 2 锐角三角函数锐角三角函数 学习要求学习要求 1 掌握特殊角 30 45 60 的正弦 余弦 正切三角函数值 会利用计算器求一个锐角的三 角函数值以及由三角函数值求相应的锐角 2 初步了解锐角三角函数的一些性质 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 填表 二 解答题二 解答题 2 求下列各式的值 1 cos45 3tan30 cos30 2sin60 2tan45 2 tan30 sin60 sin30 3 4 45sin30cos 30tan 1 30sin 1 45cos 222o 45cos230sin2 锐角 30 45 60 sin cos tan 18 3 求适合下列条件的锐角 1 2 3 4 2 1 cos 3 3 tan 2 2 2sin 33 16cos 6 4 用计算器求三角函数值 精确到 0 001 1 sin23 2 tan54 53 40 5 用计算器求锐角 精确到 1 1 若 cos 0 6536 则 2 若 tan 2 10 31 7 1 7515 则 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 6 已知 如图 在菱形 ABCD 中 DE AB 于 E BE 16cm 求此菱形的周长 13 12 sin A 7 已知 如图 在 ABC 中 BAC 120 AB 10 AC 5 求 sin ACB 的值 8 已知 如图 Rt ABC 中 C 90 BAC 30 延长 CA 至 D 点 使 AD AB 求 1 D 及 DBC 2 tanD 及 tan DBC 3 请用类似的方法 求 tan22 5 9 已知 如图 Rt ABC 中 C 90 作 DAC 30 AD 交 CB 于3 BCAC 19 D 点 求 1 BAD 2 sin BAD cos BAD 和 tan BAD 10 已知 如图 ABC 中 D 为 BC 中点 且 BAD 90 3 1 tan B 求 sin CAD cos CAD tan CAD 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 11 已知 如图 AOB 90 AO OB C D 是上的两点 AOD AOC 求证 1 0 sin AOC sin AOD 1 2 1 cos AOC cos AOD 0 3 锐角的正弦函数值随角度的增大而 4 锐角的余弦函数值随角度的增大而 12 已知 如图 CA AO E F 是 AC 上的两点 AOF AOE 1 求证 tan AOF tan AOE 2 锐角的 21 世纪教育网值随角度的增大而 20 13 已知 如图 Rt ABC 中 C 90 求证 1 sin2A cos2A 1 2 A A A cos sin tan 14 化简 其中 0 90 cossin21 15 1 通过计算 可用计算器 比较下列各对数的大小 并提出你的猜想 sin30 2sin15 cos15 sin36 2sin18 cos18 sin45 2sin22 5 cos22 5 sin60 2sin30 cos30 sin80 2sin40 cos40 sin90 2sin45 cos45 猜想 若 0 45 则 sin2 2sin cos 2 已知 如图 ABC 中 AB AC 1 BAC 2 请根据图中的提示 利用面积方法验证你的结 论 16 已知 如图 在 ABC 中 AB AC AD BC 于 D BE AC 于 E 交 AD 于 H 点 在底边 BC 保 持不变的情况下 当高 AD 变长或变短时 ABC 和 HBC 的面积的积 S ABC S HBC的值是否随着变化 请 说明你的理由 21 答案与提示 测试答案与提示 测试 2 1 2 1 0 2 3 4 12 3 2 2 2 3 2 5 4 1 3 3 1 60 2 30 3 22 5 4 46 4 1 0 391 2 1 423 5 1 49 11 11 2 24 52 44 6 104cm 提示 设 DE 12xcm 则得 AD 13xcm AE 5xcm 利用 BE 16cm 列方程 8x 16 解得 x 2 7 提示 作 BD CA 延长线于 D 点 7 21 8 1 D 15 DBC 75 2 3 32tan 32tan DBCD 12 5 22tan 9 1 15 2 32tan 4 26 cos 4 26 sin BADBADBAD 10 提示 作 DE BA 交 AC 于 2 3 13 132 13 133 E 点 或延长 AD 至 F 使 DF AD 连结 CF 11 提示 作 CE OA 于 E 作 DF OA 于 F 3 增大 4 减小 锐角 30 45 60 sin 2 1 2 2 2 3 cos 2 3 2 2 2 1 tan 3 3 1 3 22 12 2 增大 13 提示 利用锐角三角函数定义证 14 原式 cossin2cossin 22 2 cos sin cossin 450 sincos 9045 cossin 15 1 略 sin2 2sin cos 2 2sin 2 1 2sin1 2 1 2 1 BEACS ABC cossin 2 1 ADBDADBCS ABC sin2 2sin cos 16 不发生改变 设 BAC 2 BC 2m 则 tan tan 42 2 mm m SS HBCABC 测试测试 3 解直角三角形解直角三角形 一一 学习要求 学习要求 理解解直角三角形的意义 掌握解直角三角形的四种基本类型 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 在解直角三角形的过程中 一般要用的主要关系如下 如图所示 在 Rt ABC 中 C 90 AC b BC a AB c 三边之间的等量关系 两锐角之间的关系 边与角之间的关系 BAcossin BAsincos B A tan 1 tan B A tan tan 1 直角三角形中成比例的线段 如图所示 在 Rt ABC 中 C 90 CD AB 于 D CD2 AC2 BC2 AC BC 直角三角形的主要线段 如图所示 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 斜边的中点是 若 r 是 Rt ABC C 90 的内切圆半径 则 r 23 直角三角形的面积公式 在 Rt ABC 中 C 90 S ABC 答案不唯一 2 关于直角三角形的可解条件 在直角三角形的六个元素中 除直角外 只要再知道 其中至少 这个三角形的 形状 大小就可以确定下来 解直角三角形的基本类型可分为已知两条边 两条 或斜边和 及已知一边和一个锐 角 和一个锐角或 和一个锐角 3 填写下表 二 解答题二 解答题 已知条件解法 一条边和斜边 c 和锐角 A B a b 一个锐角直角边 a 和锐角 A B b c 两条直角边 a 和 bc 由 求 A B 两条边 直角边 a 和斜边 cb 由 求 A B 4 在 Rt ABC 中 C 90 1 已知 a 35 求 A B b 235 c 2 已知 求 A B c 32 a2 b 3 已知 求 a b 3 2 sin A6 c 4 已知 求 a c 9 2 3 tan bB 5 已知 A 60 ABC 的面积求 a b c 及 B 312 S 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 5 已知 如图 在半径为 R 的 O 中 AOB 2 OC AB 于 C 点 1 求弦 AB 的长及弦心距 2 求 O 的内接正 n 边形的边长 an及边心距 rn 24 6 如图所示 图 中 一栋旧楼房由于防火设施较差 想要在侧面墙外修建一外部楼梯 由地面到二楼 再从二楼到三楼 共两段 图 中 AB BC 两段 其中 CC BB 3 2m 结合图中所给的信息 求两 段楼梯 AB 与 BC 的长度之和 结果保留到 0 1m 参考数据 sin30 0 50 cos30 0 87 sin35 0 57 cos35 0 82 7 如图所示 某公司入口处原有三级台阶 每级台阶高为 20cm 台阶面的宽为 30cm 为了方便残疾人 士 拟将台阶改为坡角为 12 的斜坡 设原台阶的起点为 A 斜坡的起点为 C 求 AC 的长度 精确到 1cm 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 8 如图所示 甲楼在乙楼的西面 它们的设计高度是若干层 每层高均为 3m 冬天太阳光与水平面的 夹角为 30 1 若要求甲楼和乙楼的设计高度均为 6 层 且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上 那么建筑时两楼之间的 距离 BD 至少为多少米 保留根号 2 由于受空间的限制 甲楼和乙楼的距离 BD 21m 若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上 那么设 计甲楼时 最高应建几层 9 王英同学从 A 地沿北偏西 60 方向走 100m 到 B 地 再从 B 地向正南方向走 200m 到 C 地 此时王英 同学离 A 地多少距离 10 已知 如图 在高 2m 坡角为 30 的楼梯表面铺地毯 地毯的长度至少需要多少米 保留整数 25 答案与提示 测试答案与提示 测试 3 1 a2 b2 c2 A B 90 a b b a c b c a AD BD AD AB BD BA AB CD 一半 它的外心 或 2 cba cba ab 或 h 为斜边上的高 或或或 r 为内切圆半径 ab 2 1 ch 2 1 Abcsin 2 1 Bacsin 2 1 2 1 cbar 2 两个元素 有一个是边 直角边 一条直角边 斜边 一条直角边 3 90 A sinA cosA sin tan 90o A a A a A 90 tan 22 A b a Abac 90 sin 22 B c a Aacb 4 1 A 45 B 45 b 35 2 A 60 B 30 c 4 3 4 5 52 4 ba 133 6 ca 30 64 62 26 Bcba 5 1 AB 2R sin OC R cos 2 n Rr n Ra nn 180 cos 180 sin2 6 AB 6 40 米 BC 5 61 米 AB BC 12 0 米 7 约为 222cm 8 1 米 2 4 层 提示 设甲楼应建 x 层则 9 10 6 米 318 21 30tan 3 x m3100 测试测试 4 解直角三角形解直角三角形 二二 学习要求 学习要求 能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形 课堂学习检测课堂学习检测 1 已知 如图 ABC 中 A 30 B 60 AC 10cm 求 AB 及 BC 的长 2 已知 如图 Rt ABC 中 D 90 B 45 ACD 60 BC 10cm 求 AD 的长 3 已知 如图 ABC 中 A 30 B 135 AC 10cm 求 AB 及 BC 的长 4 已知 如图 Rt ABC 中 A 30 C 90 BDC 60 BC 6cm 求 AD 的长 26 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 5 已知 如图 河旁有一座小山 从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为 30 测得岸边点 D 的俯角为 45 又知河宽 CD 为 50m 现需从山顶 A 到河对岸点 C 拉一条笔直的缆绳 AC 求山的高度及缆绳 AC 的长 答案可带根号 6 已知 如图 一艘货轮向正北方向航行 在点 A 处测得灯塔 M 在北偏西 30 货轮以每小时 20 海里 的速度航行 1 小时后到达 B 处 测得灯塔 M 在北偏西 45 问该货轮继续向北航行时 与灯塔 M 之间 的最短距离是多少 精确到 0 1 海里 732 1 3 7 已知 如图 在两面墙之间有一个底端在 A 点的梯子 当它靠在