时域采样与频域分析

实验二 时域采样与频域分析 1 1 实验原理与方法实验原理与方法 1 时域采样定理 a 对模拟信号以间隔 T 进行时域等间隔理想采样 形成的采样信 txa 号的频谱是原模拟信号频谱以采样角频率为周期进 jX jXa 2 Tss 行周期延拓 公式为 n saaajnjX T txFTjX 1 b 采样频率必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上 才能使采 s 样信号的频谱不产生频谱混叠 2 频域采样定理 公式为 由公式可知 频域采 nRiNnxkXIDFTnxN i NNN 样点数 N 必须大于等于时域离散信号的长度 M 即 N M 才能使时域不产生混 叠 则 N 点得到的序列就是原序列 即 kXIDFTN N xn nx nxnxN 2 2 实验内容实验内容 1 时域采样理论的验证 给定模拟信号 sin 0 tutAetx t a 式中A 444 128 50 50 rad s 它的幅频特性曲线如图 2 1 2 0 2 图 2 1 的幅频特性曲线 txa 现用 DFT FFT 求该模拟信号的幅频特性 以验证时域采样理论 按照的幅频特性曲线 选取三种采样频率 即 txa 1kHz 300Hz 200Hz 观测时间选 s FmsTp50 为使用 DFT 首先用下面公式产生时域离散信号 对三种采样频率 采样 序列按顺序用 表示 1 nx 2 nx 3 nx sin 0 nTunTAenTxnx nT a 因为采样频率不同 得到的 的长度不同 长度 点 1 nx 2 nx 3 nx 数 用公式计算 选 FFT 的变换点数为 M 64 序列长度不够 64 的尾部 sp FTN 加零 nxFFTkX 1 3 2 1 0 Mk 式中k代表的频率为 k M k 2 要求 编写实验程序 计算 和的幅度特性 并绘图显示 1 nx 2 nx 3 nx 观察分析频谱混叠失真 程序见附录 2 1 实验结果见图 2 2 2 频域采样理论的验证 给定信号如下 其它0 261427 1301 nn nn nx 编写程序分别对频谱函数在区间上等间隔采样 32 和 16 FT j X ex n 2 0 点 得到 1632 kXkX和 322 32 0 1 2 31 j k XkX ek 162 16 0 1 2 15 j k XkX ek 再分别对进行 32 点和 16 点 IFFT 得到 1632 kXkX和 1632 nxnx和 323232 IFFT 0 1 2 31xnXkn 161616 IFFT 0 1 2 15xnXkn 分别画出 的幅度谱 并绘图显示x n j X e 1632 kXkX和 的波形 进行对比和分析 验证总结频域采样理论 程序见附录 1632 nxnx和 2 2 实验结果见图 2 3 提示 频域采样用以下方法容易编程实现 1 直接调用 MATLAB 函数 fft 计算就得到在 3232 FFT Xkx n j X e 的 32 点频率域采样 2 0 2 抽取的偶数点即可得到在的 16 点频率域采样 32 Xk j X e 2 0 即 16 Xk 1632 2 0 1 2 15XkXkk 3 当然 也可以按照频域采样理论 先将信号x n 以 16 为周期进行周 期延拓 取其主值区 16 点 再对其进行 16 点 DFT FFT 得到的就是 在的 16 点频率域采样 j X e 2 0 16 Xk 3 3 实验结果和分析 讨论及结论实验结果和分析 讨论及结论 1 实验结果 图 2 2 采样频率幅度特性曲线 实验分析 讨论及结论 1 通过图可以发现 时域采样 频域周期延拓 延拓周期为 Fs 当采 样频率为 1000 Hz 时 频谱混叠很小 当采样频率为 300 Hz 时 频谱混叠很严 重 当采样频率为 200 Hz 时 频谱混叠更加严重 所以要满足 Fs 2Fc 2 fft 函数的调用格式 Xk fft xn N 调用参数 xn 为被交换的时域序列向量 N 是 DFT 变换的区间长度 当 N 大 于 xn 的长度时 fft 函数自动在 xn 后面补零 当 N 小于 xn 的长度时 fft 函 数计算 xn 的前面 N 个元素构成的 N 长序列的 N 点 DFT 忽略 xn 后面的元素 2 实验结果 图 2 3 频谱函数采样及波形 实验分析 讨论及结论 1 此结果验证了频域采样理论和频域采样定理 对信号的频谱函 nx 数在上等间隔采样时 点得到的序列正是原 j eX 2 016 NN kxIDFTN 序列以 16 为周期进行周期延拓后的主值区序列 即频域采样定理证明 对 nx 点频域采样反映到时域内就是就是进行以为周期延拓序列的主 nxN nxN 值区间 当 N 16 时 由于 NM 频域采样定理 所以不存在时域混叠失真 上述条件说明 如果采样点数过少 那么进行 IDFT 所得到的信号就会混叠 失真 采样条件满足采样点数大于原序列点数 即 N M 2 Ifft 函数用法同 fft 函数 4 4 思考题思考题 1 如果序列 x n 的长度为 M 希望得到其频谱在上的 N 点等 j X e 2 0 间隔采样 当 N M 时 如何用一次最少点数的 DFT 得到该频谱采样 答 先对原序列 x n 以 N 为周期进行周期延拓后取主值区序列 NN i xnx niN Rn 再计算 N 点 DFT 则得到 N 点频域采样 2 DFT 0 1 2 1 j NNN k N XkxnX ekN 5 5 总结与心得体会总结与心得体会 通过此次实验 对时域采样和频域采样的理论 定理的理解更加深入 采 样是模 数中最重要的一步 采样方法的正确与否 关系到信号处理过程的成功 与否 所以 无论是在时域还是频域 对信号采样必须仔细考虑采样的参数 采样频谱 采样周期 采样点数 对一个域进行采样 必将引起另一个域的周 期延拓 所以 我们要做 就是选取好采样的参数 避免另一个域周期延拓时 发生混叠 否则 我们采样所得的数据肯定丢失一部分原信号的信息 我们便 无法对原信号对原信号进行恢复和正确分析 此次实验所遇到的问题 主要是时域非周期对应频域连续 频域周期对应 着时域离散 DFT 隐含周期性 频域非周期对应时域连续 对时域与频域的关 系还没彻底弄懂 stem 和 plot 绘图函数有时会用错 有些程序里面缺少 导致少了一个结果图 通过检查并修改程序 解决了问题 总得来说 实验还 是比较圆满的 实验的心得体会见下 在此次试验中 温习了关于 MATLAB 软件的操作及应用 基本使用方法和它 的运行环境 又进一步地通过实验加深了对 MATLAB 软件的了解 体会到了 MATLAB 具有完备的图形处理功能 实现计算结果和编程的可视化等功能 通过 做实验的过程以及实验分析的结果 熟悉并了解了 Ifft 函数和 fft 函数的用法 通过这次的实验 极大地提升了自己对于程序编辑的熟练度 增加了对于 书本里面知识点的应用 更深一层的加深了对 MATLAB 软件的使用 这对自己以 后的实验积累了丰富的经验 6 6 附件 附件 MATLABMATLAB 原程序清单原程序清单 2 1 用 fft 函数求模拟信号的幅频特性 Tp 64 1000 观察时间Tp 64毫秒 产生M长采样序列x n Fs 1000 T 1 Fs M Tp Fs n 0 M 1 A 444 128 alph pi 50 2 0 5 omega pi 50 2 0 5 xnt A exp alph n T sin omega n T Xk T fft xnt M M点FFT xnt yn xa nT subplot 3 2 1 stem xnt 调用自编绘图函数stem绘制序列图 box on title a Fs 1000Hz k 0 M 1 fk k Tp subplot 3 2 2 stem fk abs Xk title a T FT xa nT Fs 1000Hz xlabel f Hz ylabel 幅度 axis 0 Fs 0 1 2 max abs Xk Fs 300Hz和 Fs 200Hz的程序与上面Fs 1000Hz完全相同 Tp 64 1000 观察时间Tp 64毫秒 产生M长采样序列x n Fs 300 T 1 Fs M Tp Fs n 0 M 1 A 444 128 alph pi 50 2 0 5 omega pi 50 2 0 5 xnt A exp alph n T sin omega n T Xk T fft xnt M M点FFT xnt yn xa nT subplot 3 2 3 stem xnt 调用自编绘图函数stem绘制序列图 box on title b Fs 300Hz k 0 M 1 fk k Tp subplot 3 2 4 stem fk abs Xk title b T FT xa nT Fs 300Hz xlabel f Hz ylabel 幅度 axis 0 Fs 0 1 2 max abs Xk Tp 64 1000 观察时间Tp 64毫秒 产生M长采样序列x n Fs 200 T 1 Fs M Tp Fs n 0 M 1 A 444 128 alph pi 50 2 0 5 omega pi 50 2 0 5 xnt A exp alph n T sin omega n T Xk T fft xnt M M点FFT xnt yn xa nT subplot 3 2 5 stem xnt 调用自编绘图函数stem绘制序列图 box on title c Fs 200Hz k 0 M 1 fk k Tp subplot 3 2 6 stem fk abs Xk title c T FT xa nT Fs 200Hz xlabel f Hz ylabel 幅度 axis 0 Fs 0 1 2 max abs Xk 2 2 调用 fft 函数进行频率采样及 Ifft 函数绘波形图 M 27 N 32 n 0 M 产生M长三角波序列x n xa 0 floor M 2 xb ceil M 2 1 1 0 xn xa xb Xk fft xn 1024 1024点FFT x n 用于近似序列x n 的TF X32k fft xn 32 32点FFT x n x32n ifft X32k 32点IFFT X32 k 得到x32 n X16k X32k 1 2 N 隔点抽取X32k得到X16 K x16n ifft X16k N 2 16点IFFT X16 k 得到x16 n subplot 3 2 2 stem n xn box on title b 三角波序列x n xlabel n ylabel x n axis 0 32 0 20 k 0 1023 wk 2 k 1024 subplot 3 2 1 plot wk abs Xk title a FT x n xlabel omega pi ylabel X e j omega axis 0 1 0 200 k 0 N 2 1 subplot 3 2 3 stem k abs X16k box on title c 16点频域采样 xlabel k ylabel X 1 6 k axis 0 8 0 200 n1 0 N 2 1 subplot 3 2 4 stem n1 x16n box on title d 16点IDFT X 1