立体几何大题

立体几何专练立体几何专练 知识点归纳总结知识点归纳总结 1 证明位置关系 位置关系类型解题思路 线面平行 1 转化为线线平行 找中位线或平行四边形 2 转化为面面平行 3 建系用向量法 证平行 面面平行 1 找两组相交直线对应平行 2 找两组相交直线对应的线面平行 3 建系用向量法 线线垂直 1 勾股定理 2 等腰三角形三线合一 3 菱形 正方形 对角线垂直 4 线面垂直 5 建系用向量法 线面垂直 1 线线垂直 2 面面垂直 线线垂直 3 建系用向量法 垂直 面面垂直 1 线面垂直 2 建系用向量法 2 求解角和距离 类型取值范围解题思路 异面直线夹角 0 2 作平移 找角 解三角形 线面角 0 2 找直线在平面的投影 直线与投影的夹角即为线面角 点到平面距离无 1 直接做平面的垂线求长度 2 转换顶点等体积间接求长度 3 利用空间向量求解角和距离 类型取值范围求解公式 异面直线夹角 2 0 分别为异面直线的方向向量 cos 21 21 ll ll 21 ll 线面角 2 0 分别为直线的方向向量与平面的法 sin nl nl nl 向量 二面角 0 分别为两个半平面的法向量 cos 21 21 nn nn 21 nn 注意 二面角要根据实际情况取余弦值的正负 点到平面的距离无 为平面的法向量 n nPQ d n 例题精讲例题精讲 例 1 2013 山东 如图 四棱锥中 ABCDP 分别为的中点 ACAB PAAB ABCDCDAB2 NMGFE PCPDBCABPB 1 求证 平面 CEPAD 2 求证 平面 平面 EFGEMN 例 2 2013 湖南 如图 5 在直棱柱中 1111 DCBAABCD ADBC 0 90 BAD BDAC 1 BC3 1 AAAD 1 证明 DBAC 1 2 求直线与平面所成角的正弦值 11C B 1 ACD 例 3 2013 陕西 如图 四棱柱的底面是正方形 为底面中心 1111 DCBAABCD ABCDO 平面 OA1ABCD2 1 AAAB 1 证明 平面 CA1DDBB 11 2 求平面与平面的夹角的大小 1 OCBDDBB 11 例 4 2013 新课标 如图 直三棱柱中 分别的中点 111 CBAABC ED 1 BBAB ABCBACAA 2 2 1 1 证明 平面 1 BCCDA1 2 文 设 求三棱锥的体2 1 CBACAA22 ABDEAC 1 积 3 理 求二面角的正弦值 ECAD 1 例 5 2013 浙江 如图 在四棱锥中 面 ABCDP PAABCD 为线段上的点 2 BCAB7 CDAD3 PA 0 120 ABCGPC 1 证明 面 BDPAC 2 若是的中点 求与所成的角的正切值 GPCDGAPC 3 若满足面 求的值 G PCBGD GC PG 例 6 2013 江西卷 如图 直四棱锥中 1111 DCBAABCD ABCDABAD 2 AB 为上一点 2 AD3 1 AAECD3 1 ECDE 1 证明 平面 BECCBB 11 2 求点到平面的距离 1 B 11C EA 例 7 已知在四棱锥中 底面是矩形 且 ABCDP ABCDABCDPAABAD 12 分别是线段的中点 FE BCAB 1 证明 FDPF 2 判断并说明上是否存在点 使得 PAGPFDEG 3 若与平面所成的角为 求二面角的余弦值 PBABCD 45FPDA E F D B C A P 例 8 如图 在三棱锥中 的中点 垂足落在线段ABCP BCDACAB ABCPO O AD 上 已知 2 3 8 4 ODAOBCPO 1 证明 BCAP 2 在线段上是否存在点 使得二面角为二面角 若存在 求出的长 若不存在 APMBMCA AM 请说明理由 D P A B C O 课后练习题课后练习题 1 如图所示 在三棱锥中 平面 分别是ABQP PBABQBQBPBA FECD 的中点 与交于点 与交于点 连接 BPAPBQAQ BDAQ2 PDEQGPCFQHGH 1 证明 ABGH 2 求二面角的余弦值 EGHD 2 2013 新课标 1 如图 三棱柱中 111 CBAABC CBCA 1 AAAB 0 1 60 BAA 1 证明 CAAB 1 2 若平面平面 求直线与平面所成角的正弦值ABC BBAA 11 CBAB CA1CCBB 11 3 2013 大纲卷理 如图 四棱锥中 和ABCDP 0 90 BADABCADBC2 PAB 都是等边三角形 PAD 1 证明 CDPB 2 求二面角的大小 CPDA 4 2013 辽宁卷理 如图 是圆的直径 圆所在的平面 是圆上的点 AB PAC 1 求证 平面平面 PAC PBC 2 若 求二面角的余弦值 1 1 2 PAACABAPBC 5 四面体中 分别是 的中点 ABCDOE BDBC2 BDCDCBCA 2 ADAB 求证 平面 AO BCD 求异面直线与所成角的余弦值 ABCD 求点到平面的距离EACD 6 在直三棱柱中 分别是和 111 CBAABC 2 1 ABBCAABCAB M NAC 的中点 1 BB 求二面角的大小 111 CCAB 证明 在上存在一个点 使得平面 平面 并求出的长度 ABQQMNCBA 11 BQ A C D O B E M N A1 C1 B1 B C A 7 如图 四棱锥的底面是矩形 底面 为边的中点 与SABCD SA ABCDPBCSB 平面所成的角为 且 ABCD45 2AD 1SA 求证 平面 PD SAP 求二面角的大小余弦值ASDP 8 如图 在四棱锥中 底面是边长为 的菱形 底OABCD ABCD1 4 ABC OA 面 为的中点 为的中点 ABCD2OA MOANBC 证明 直线平面 MNOCD 求异面直线与所成角的大小 ABMD 求点到平面的距离 BOCD 9 如图 四棱锥的底面是正方形 每条侧棱的长都是地面边长的倍 为侧SABCD 2P 棱上的点 SD 求证 ACSD 若 平面 求二面角的大小 SDPACPACD 在 的条件下 侧棱上是否存在点 使得 平面 若存在 求的值 SCEBEPAC SE EC 若不存在 试说明理由 S A P A B A C A D A A N M D C A B O O C D B A S P 10 如图 在底面为直角梯形的四棱锥中 平面 PABCD ABBC90ABC PD ABCD 1AD 3 4ABBC 求证 BDPC 设点在棱上 若 平面 求的值 EPCPEPC DEPAB 11 已知斜三棱柱 在底面上的射影恰为的 111 ABCABC 90BCA 2ACBC 1 AABCAC 中点 又知 D 11 BAAC 求证 平面 求到平面的距离 1 AC 1 ABC 1 CC 1 A AB 求二面角的正弦值 1 AABC 12 已知四棱锥的底面为菱形 且 为EABCD 60ABC o 2 ABEC 2AEBE O 的中点 AB 求证 平面 EO ABCD 求点到面的距离 DAEC A P E