第2章第9节函数模型及其应用

2009 2013 年高考真题备选题库 第二章 函数 导数及其应用 第九节 函数模型及其应用 考点一 函数模型的实际应用 1 2013 陕西 5 分 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建 一个面积最大的内接矩形花园 阴影部分 则其边长 x 为 m 解析 本题主要考查构建函数模型 利用基本不等式求解应用问 题的能力 如图 过 A 作 AH BC 于 H 交 DE 于 F 易知 AF x FH 40 x 则 S x 40 x 2 当且仅当 40 x x 即 DE BC x 40 AD AB AF AH 40 2 x 20 时取等号 所以满足题意的边长 x 为 20 m 答案 20 2 2013 重庆 12 分 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水 池的底面半径为 r 米 高为 h 米 体积为 V 立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面 的建造成本为 100 元 平方米 底面的建造成本为 160 元 平方米 该蓄水池的总建造成本 为 12 000 元 为圆周率 1 将 V 表示成 r 的函数 V r 并求该函数的定义域 2 讨论函数 V r 的单调性 并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大 解 本题主要考查导数在实际生活中的应用 导数与函数单调性的关系等基础知识 考查转化思想及分类讨论思想 1 因为蓄水池侧面的总成本为 100 2 rh 200 rh 元 底面的总成本为 160 r2元 所 以蓄水池的总成本为 200 rh 160 r2 元 根据题意得 200 rh 160 r2 12 000 所以 h 300 4r2 1 5r 从而 V r r2h 300r 4r3 5 由 h 0 且 r 0 可得 0 r0 故 V r 在 0 5 上为增函数 当 r 5 5 时 V r 3 千元 设该容器的建造费用为 y 千元 1 写出 y 关于 r 的函数表达式 并求该函数的定义域 2 求该容器的建造费用最小时的 r 解 1 设容器的容积为 V 由题意知 V r2l r3 又 V 4 3 80 3 故 l r r V 4 3 r3 r2 80 3r2 4 3 4 3 20 r2 由于 l 2r 因此 0 r 2 所以建造费用 y 2 rl 3 4 r2c 2 r r 3 4 r2c 因此 y 4 c 2 r2 4 3 20 r2 0 r 2 160 r 2 由 1 得 y 8 c 2 r r3 0 r3 所以 c 2 0 当 r3 0 时 r 20 c 2 3 20 c 2 令 m 则 m 0 3 20 c 2 所以 y r m r2 rm m2 8 c 2 r2 当 0 m 时 9 2 当 r m 时 y 0 当 r 0 m 时 y 0 所以 r m 是函数 y 的极小值点 也是最小值点 当 m 2 即 3 c 时 9 2 当 r 0 2 时 y 0 函数单调递减 所以 r 2 是函数 y 的最小值点 综上所述 当 3 时 建造费用最小时 r 9 2 3 20 c 2 考点二 函数与其他知识的交汇 1 2013 安徽 12 分 设函数 f x ax 1 a2 x2 其中 a 0 区间 I x f x 0 1 求 I 的长度 注 区间 的长度定义为 2 给定常数 k 0 1 当 1 k a 1 k 时 求 I 长度的最小值 解 本题考查含参数的一元二次不等式的解法 导数的应用等 意在考查考生恒等变 形能力和综合运用数学知识分析问题 解决问题的能力 1 因为方程 ax 1 a2 x2 0 a 0 有两个实根 x1 0 x2 a 1 a2 故 f x 0 的解集为 x x1 x x2 因此区间 I I 的长度为 0 a 1 a2 a 1 a2 2 设 d a 则 d a 令 d a 0 得 a 1 由于 0 k 1 故 a 1 a2 1 a2 1 a2 2 当 1 k a0 d a 单调递增 当 1 a 1 k 时 d a 0 d a 单调递减 所以当 1 k a 1 k 时 d a 的最小值必定在 a 1 k 或 a 1 k 处取得 而 1 d 1 k d 1 k 1 k 1 1 k 2 1 k 1 1 k 2 2 k2 k3 2 k2 k3 故 d 1 k d 1 k 因此当 a 1 k 时 d a 在区间 1 k 1 k 上取得最小值 1 k 2 2k k2 2 2012 陕西 14 分 设函数 f x xn bx c n N b c R 1 设 n 2 b 1 c 1 证明 f x 在区间 1 内存在唯一零点 1 2 2 设 n 为偶数 f 1 1 f 1 1 求 b 3c 的最小值和最大值 3 设 n 2 若对任意 x1 x2 1 1 有 f x1 f x2 4 求 b 的取值范围 解 1 证明 当 b 1 c 1 n 2 时 f x xn x 1 f f 1 10 1 2 f x 在 1 上是单调递增的 f x 在 1 内存在唯一零点 1 2 1 2 2 法一 由题意知 Error 即 Error 由图象知 b 3c 在点 0 2 处取到最小值 6 在点 0 0 处取到最大值 0 b 3c 的最小值为 6 最大值为 0 法二 由题意知 1 f 1 1 b c 1 即 2 b c 0 1 f 1 1 b c 1 即 2 b c 0 2 得 6 2 b c b c b 3c 0 当 b 0 c 2 时 b 3c 6 当 b c 0 时 b 3c 0 所以 b 3c 的最小值为 6 最大值为 0 法三 由题意知Error 解得 b c f 1 f 1 2 f 1 f 1 2 2 b 3c 2f 1 f 1 3 又 1 f 1 1 1 f 1 1 6 b 3c 0 当 b 0 c 2 时 b 3c 6 当 b c 0 时 b 3c 0 所以 b 3c 的最小值为 6 最大值为 0 3 当 n 2 时 f x x2 bx c 对任意 x1 x2 1 1 都有 f x1 f x2 4 等价于 f x 在 1 1 上的最大值与最小值之 差 M 4 据此分类讨论如下 当 1 即 b 2 时 M f 1 f 1 2 b 4 与题设矛盾 b 2 当 1 0 即 0 b 2 时 b 2 M f 1 f 1 2 4 恒成立 b 2 b 2 当 0 1 即 2 b 0 时 b 2 M f 1 f 1 2 4 恒成立 b 2 b