常见递推数列类型以及应用

2014 2015 学年高二数学培尖资料 1 2014 2015 学年高二数学培尖资料学年高二数学培尖资料 高考数学递推数列题型归纳解析 类型类型 1 递推公式为与的关系式 或 n S n a nn Sf a 解法 这种类型一般利用与消去 2 1 1 1 nSS nS a nn n 11 nnnnn afafSSa n S 或与消去进行求解 2 n 1 nnn SSfS 2 n n a 例例 1 已知数列前 n 项和 1 求与的关系 2 求通项公式 n a 2 2 1 4 n nn aS 1 n a n a n a 解 1 由得 于是 2 2 1 4 n nn aS 1 11 2 1 4 n nn aS 2 1 2 1 12 11 nn nnnn aaSS 所以 1 11 2 1 n nnn aaa n nn aa 2 1 2 1 1 2 应用类型 4 其中 p q 均为常数 的方法 上式两 n nn qpaa 1 0 1 1 qppq 边同乘以得 由 于是数列是以 2 为首 1 2 n 222 1 1 n n n n aa1 2 1 4 1 21 111 aaSa n na 2 项 2 为公差的等差数列 所以nnan n 2 1 222 1 2 n n n a 例例 2 2 数列的前项和为 且 求的值及数列的通项 n an n S1 1 a 1 1 3 nn aS Nn 432 aaa n a 公式 分析 由 n 1 2 3 得1 1 a 1 1 3 nn aS 211 111 333 aSa 3212 114 339 aSaa 43123 1116 3327 aSaaa 由 n 2 得 n 2 11 11 33 nnnnn aaSSa 1 4 3 nn aa 又 所以 n 2 2 a 3 1 n a 2 1 4 3 3 n 数列的通项公式为 n a 2 11 1 4 2 3 3 n n n a n 总结 这个类型主要用到公式 在时很容易犯错误 需要注意 1 2 1 1 nS nSS a nn n 1 n 变式变式 05 江西 文 已知数列 an 的前 n 项和 Sn满足 Sn Sn 2 3 2 3 1 3 2 1 21 1 SSn n 且 求数列 an 的通项公式 解 两边同乘以 可得 12 nnnn aaSS 3 2 1 3 1 1 naa n nn n 1 令 111 1 2 1 3 2 1 1 3 1 1 nnnn nn n aa n n n ab 1 3 2 1 3 1 1 nbb n nn 2014 2015 学年高二数学培尖资料 2 2 21 2 1 3 n nn bb 2 23 2 1 3 bb 2 1 1 2 1 4 1 4 1 3 2 1 2 1 2 1 3 2 2 221 2 n nn n bbb 3 2 1 3 2 3 1 2 nb n 又 1 11 Sa 2 5 1 2 3 122 SSa 1 1 1 1 1 ab 2 5 1 2 2 2 ab 1 2 1 34 2 1 3 2 3 2 5 11 nb nn n 2 1 34 2 1 34 2 1 1 3 1 4 1 1 1 1 为偶数 为奇数 n n ba n n nnn n n n 类型类型 2 1 nfaa nn 解法 把原递推公式转化为 利用累加法累加法 逐差相加法逐差相加法 求解 1 nfaa nn 21321 1 2 1 nn aafaafaaf n 1 1 1 1 n n k naaf k 个式子相加得 例例 1 已知数列满足 求 n a 2 1 1 a nn aa nn 2 1 1 n a 解 由条件知 1 11 1 11 2 1 nnnnnn aa nn 分别令 代入上式得个等式累加之 即 1 3 2 1 nn 1 n 1342312 nn aaaaaaaa 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 nn 所以 n aan 1 1 1 2 1 1 a nn an 1 2 31 1 2 1 例例 2 2 数列且 求数列的通项 1 11 nnn anana 满足 1 1a n a 分析 注意到左右两边系数与下标乘积均为 将原式两边同除以 变形为 1n n 1n n 可转化为类型一求解 下略 1 1 11 111 nnn nnn aaa bbb nnn nnn n 令则有 变式变式 2004 全国 I 理 22 本小题满分 14 分 已知数列 且 a2k a2k 1 1 K a2k 1 a2k 3k 其中 k 1 2 3 1 1 aan中 I 求 a3 a5 II 求 an 的通项公式 解 k kk aa 1 122 k kk aa3 212 即 kk k k kk aaa3 1 3 12212 kk kk aa 1 3 1212 2014 2015 学年高二数学培尖资料 3 1 3 13 aa 22 35 1 3 aa kk kk aa 1 3 1212 将以上 k 个式子相加 得 1 1 2 1 13 2 3 1 1 1 333 22 112 kkkk k aa 将代入 得 1 1 a1 1 2 1 3 2 1 1 12 kk k a1 1 2 1 3 2 1 1 122 kkk kk aa 经检验也适合 1 1 a 1 1 2 1 3 2 1 1 1 2 1 3 2 1 22 2 1 2 1 为偶数 为奇数 n n a nn nn n 类型类型 3 nn anfa 1 解法 把原递推公式转化为 利用累乘法累乘法 逐商相乘法逐商相乘法 求解 1 nf a a n n 32 121 1 2 1 n n aaa fff n aaa 1 1 1 1 n n k naaf k 个式子相乘得 例例 1 已知数列满足 求 n a 3 2 1 a nn a n n a 1 1 n a 解 由条件知 分别令 代入上式得个等式累乘之 即 1 1 n n a a n n 1 3 2 1 nn 1 n 又 13 4 2 3 1 2 n n a a a a a a a a n n 1 4 3 3 2 2 1 na an1 1 3 2 1 a n an 3 2 例例 2 2 数列的通项 11 2 1 2 1 nnnn aaaaa n 中且求 解 11 11 22 11 1121 1 1 2 1 1 1 1 nn nnn kk kkn aaaa nkkn k 变式变式 2004 全国 I 理 15 已知数列 an 满足 a1 1 n 2 则 1321 1 32 nn anaaaa an 的通项 1 n a 1 2 n n 解 解 由已知 得 用此式减去已知式 得 nnn naanaaaa 13211 1 32 当时 即 又 2 n nnn naaa 1nn ana 1 1 1 12 aa 将以上 n 个式子相乘 得n a a a a a a a a a n n 13 4 2 3 1 2 1 4 3 1 1 2 n an 2 n 类型类型 4 其中 p q 均为常数 qpaa nn 1 0 1 ppq 2014 2015 学年高二数学培尖资料 4 用待定系数法 构造一个公比为 p 的等比数列 令 从而 1nn ap a 1 1 q pq p 是一个公比为 p 的等比数列 1 n q a p 例例 1 06 重庆 文 已知数列中 求 n a1 1 a32 1 nn aa n a 解 设递推公式可以转化为即 故递推公式为32 1 nn aa 2 1 tata nn 32 1 ttaa nn 令 则 且 所以是以为 3 23 1 nn aa3 nn ab43 11 ab2 3 3 11 n n n n a a b b n b4 1 b 首项 2 为公比的等比数列 则 所以 11 224 nn n b32 1 n n a 类型类型 5 递推式 nfpaa nn 1 例例 1 已知数列中 求 n a 6 5 1 a 1 1 2 1 3 1 n nn aa n a 法一 在两边乘以得 1 1 2 1 3 1 n nn aa 1 2 n 1 2 3 2 2 1 1 n n n n aa 令 则 解之得 所以 n n n ab 21 3 2 1 nn bb n n b 3 2 23 nn n n n b a 3 1 2 2 1 3 2 法二 在两边除以得 令 1 1 2 1 3 1 n nn aa 1 3 1 n1 1 1 2 3 33 n n n n n aa n n n ab3 则有 采用逐差求和法可得3 1 1 2 3 n nn bb 1 bbn 2 3 1 2 3 n 所以 nn nn nn n aab 3 1 2 2 1 332 2 3 3 法三 待定系数法 设 则 1 1 1 1 2 1 3 1 3 1 2 1 3 1 2 1 n nn n n n n taatata31 3 1 tt 所以令 则 n nn ab 2 1 3 nn bb 3 1 1 3 2 1 b n n b 3 1 2 n n a 2 1 3 所以 nn n a 3 1 2 2 1 3 变式变式 07 天津 在数列中N N 其中 n a 1 11 2 2 2 nn nn aaan 0 求数列的通项公式 n a 解析 由N N可得 1 1 2 2 nn nn aan 0 1 1 1 22 1 nn nn nn aa 所以为等数列 其公差为 1 首项为 0 故 2 n n n a 2 1 n n n a n 所以数列的通项公式为 n a 1 2 nn n an 类型类型 6 banpaa nn 1 001 a p 2014 2015 学年高二数学培尖资料 5 解法 这种类型一般利用待定系数法待定系数法构造等比数列 即令 与已知递推 1 1 yxnapynxa nn 式比较 解出 从而转化为是公比为的等比数列 yx yxnan p 例例 1 设数列 求 n a 2 123 4 11 nnaaa nnn a 解 设 将代入递推式 得BAnbaB Anab nnnn 则 1 nn aa 12 1 3 1 nBnAbBAnb nn 133 23 3 1 ABnAbn 133 23 ABB AA 1 1 B A 则 又 故代入 1 nab nn 取 1 3 nn bb6 1 b nn n b3236 1 得132 na n n 说明 1 若为的二次式 则可设 2 本题也 nfnCBnAnab nn 2 可由 两式相减得123 1 naa nn 1 1 23 21 naa nn 3 n 转化为求之 2 3 211 nnnn aaaa nnn qbpbb 12 变式变式 2008 年广州一模年广州一模 19 题 题 已知数列中 且 且 n a5 1 a 1 221 n nn aa 2n n N 1 若数列为等差数列 求实数的值 2 求数列的前项和 2 n n a n an n S 解 解 1 方法方法 1 5 1 a 2 21 22113aa 3 32 22133aa 设 由为等差数列 则有 2 n n n a b n b 312 2bbb 解得 321 23 2 222 aaa 13533 228 1 事实上 1 1 1 11 22 nn nn nn aa bb 1 1 1 21 2 nn n aa 1 1 1 211 2 n n 1 综上可知 当时 数列为首项是 公差是 1 的等差数列 1 2 n n a 2 方法方法 2 数列为等差数列 设 由为等差数列 则有 2 n n a 2 n n n a b n b 12 2 nnn bbb 12 12 2 222 nnn nnn aaa 12 44 nnn aaa 121 222 nnnn aaaa 12 2 21211 nn 2014 2015 学年高二数学培尖资料 6 综上可知 当时 数列为首项是 公差是 1 的等差数列 1 2 n n a 2 2 由 1 知 1 11 11 22 n n aa n 1 21 n n an 121 2 213 21211 21 nn n Snn 即 121 2 23 221 2 nn n Snnn 令 121 2 23 221 2 nn n Tnn 则 231 22 23 221 2 nn n Tnn 得 1231 2 22221 2 nn n Tn 1 2nn 11 221 nn n Snnn 类型类型 7 r nn paa 1 0 0 n ap 解法 这种类型一般是等式两边取对数两边取对数后转化为 再利用待定系数法待定系数法求解 qpaa nn 1 例 已知数列 中 求数列 n a 2 11 1 1 nn a a aa 0 a 的通项公式 n a 解 由两边取对数得 2 1 1 nn a a a a aa nn 1 lglg2lg 1 令 则 再利用待定系数法解得 nn ablg a bb nn 1 lg2 1 12 1 n n a aa 变式变式 06 山东理 已知 a1 2 点 an an 1 在函数 f x x2 2x 的图象上 其中 1 2 3 1 证明数列 lg 1 an 是等比数列 2 设 Tn 1 a1 1 a2 1 an 求 Tn及数列 an 的通项 3 记 bn 求 bn 数列的前项和 Sn 并证明 Sn 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 11 nn aa13 2 n T 解 由已知 两边取对 2 1 2 nnn aaa 2 1 1 1 nn aa 1 2a 11 n a 数得 即是公比为 2 的等比数列 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 lg 1 2lg 1 nn aa 1 lg 1 2 lg 1 n n a a lg 1 n a 由 知 1 1 lg 1 2lg 1 n n aa 1 12 2lg3lg3 n n 1 2 13 n n a 12 1 1 n Taa n 1 a 012 222 333 n 1 2 3 2 1 2 2 3 n 1 2 n 2 1 3 由 式得 1 2 31 n n a 2 10 2 nn aaa 1 2 nnn aa a 1 1111 22 nnn aaa 2014 2015 学年高二数学培尖资料 7 又 1 112 2 nnn aaa 11 2 n nn b aa 1 11 2 n nn b aa 12n Sbb n b 12231 111111 2 nn aaaaaa 11 11 2 n aa 又 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 22 11 31 2 31 nn nn aaa 2 2 1 31 n n S 21 3 n n T 2 1 31 n n S T 类型类型 8 1 nhang anf a n n n 解法 这种类型一般是等式两边取倒数两边取倒数后换元换元转化为 qpaa nn 1 例例 已知数列 an 满足 求数列 an 的通项公式 1 13 1 1 1 a a a a n n n 解 取倒数 是等差数列 11 1 1 3 131 nn n n aa a a n a 1 3 1 11 1 n aan23 1 n an 变式变式 1 2006 江西理 22 已知数列 an 满足 a1 且 an 3 2 n1 n1 3na n2nN 2an1 求数列 an 的通项公式 解 将条件变为 1 因此 1 为一个等比数列 其首项为 n n a n1 1n1 1 3a n n a 1 公比 从而 1 据此得 an n 1 1 1 a 1 3 1 3 n n a n 1 3 n n n 3 31 变式变式 2 2008 陕西卷 22 已知数列的首项 n a 1 3 5 a 1 3 21 n n n a a a 12n 求的通项公式 n a 解 1 3 21 n n n a a a 1 121 33 nn aa 1 111 11 3 nn aa 又 是以为首项 为公比的等比数列 12 1 3 n a 1 1 n a 2 3 1 3 1 1212 1 3 33 nn n a A 3 32 n n n a 类型类型 9 或qpnaa nn 1 n nn pqaa 1 解法 这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解 12 n a n a2 2014 2015 学年高二数学培尖资料 8 例 I 在数列中 求 n a nn anaa 6 1 11n a II 在数列中 求 n a n nna aa3 1 11 n a 类型类型 10 递推公式为 其中 p q 均为常数 nnn qapaa 12 解法解法 待定系数法待定系数法 先把原递推公式转化为其中 s t 满足 112nnnn saatsaa qst pts 例例 1 数列 求数列的通项公式 n a 21 3520 1 nnn aaannN baaa 21 n a 解法一 待定系数解法一 待定系数 迭加法 迭加法 由 得 且0253 12 nnn aaa 3 2 112nnnn aaaa 则数列是以为首项 为公比的等比数列 于是abaa 12 nn aa 1 ab 3 2 1 1 3 2 n nn abaa 把代入 得 nn 3 2 1 abaa 12 3 2 23 abaa 2 34 3 2 abaa 把以上各式相加 得 2 1 3 2 n nn abaa 3 2 3 2 3 2 1 2 1 n n abaa 3 2 1 3 2 1 1 ab n abbaaaba nn n 23 3 2 3 3 2 33 11 例例 2 已知数列中 求 n a1 1 a2 2 a nnn aaa 3 1 3 2 12 n a 解 由可转化为 nnn aaa 3 1 3 2 12 112nnnn saatsaa 即或 nnn staatsa 12 3 1 3 2 st ts 3 1 1 t s 1 3 1 t s 这里不妨选用 当然也可选用 大家可以试一试 则 3 1 1 t s 1 3 1 t s 3 1 112nnnn aaaa 是以首项为 公比为的等比数列 所以 应用类型 1 的 nn aa 1 1 12 aa 3 1 1 1 3 1 n nn aa 方法 分别令 代入上式得个等式累加之 即 1 3 2 1 nn 1 n 又 所以 210 1 3 1 3 1 3 1 n n aa 3 1 1 3 1 1 1 n 1 1 a 1 3 1 4 3 4 7 n n a 2014 2015 学年高二数学培尖资料 9 变式变式 1 2008 广东文 设数列满足 n 3 4 数 n a 1 1a 2 2a 12 1 2 3 nnn aaa 列满足 n 2 3 是非零整数 且对任意的正整数 m 和自然数 k 都有 1 n b 1 1b n b 1 求数列和的通项公式 1mm bb m k b n a n b 解 由得 又 12 1 2 3 nnn aaa 112 2 3 nnnn aaaa 3 n 21 10aa 数列是首项为 1 公比为的等比数列 1nn aa 2 3 1 1 2 3 n nn aa 12132431 nnn aaaaaaaaaa 22 222 1 1 333 n 1 1 2 1 8323 1 2 553 1 3 n n 变式变式 2 2008 广东卷 21 设为实数 是方程的两个实根 数列满足pq 2 0 xpxq n x 1 xp 2 2 xpq 12nnn xpxqx 3 4n 1 证明 2 求数列的通项公式 p q n x 解析 1 由求根公式 不妨设 得 22 44 22 ppqppq 22 44 22 ppqppq p 22 44 22 ppqppq q 2 设 则 由得 112 nnnn xsxt xsx 12 nnn xst xstx 12nnn xpxqx stp stq 消去 得 是方程的根 由题意可知 t 2 0 spsq s 2 0 xpxq 12 ss 当时 此时方程组的解记为 stp stq 12 12 ss tt 或 112 nnnn xxxx 112 nnnn xxxx 即 分别是公比为 的等比数列 11 nn xt x 21 nn xt x 1 s 2 s 由等比数列性质可得 2 121 n nn xxxx 2 121 n nn xxxx 两式相减 得 22 12121 nn n xxxxx 2 21 xpq xp 22 2 x 1 x 2014 2015 学年高二数学培尖资料 10 222 21 A nnn xx 222 21 A nnn xx 即 1 nn n x 1 nn n x 11 nn n x 当时 即方程有重根 2 0 xpxq 2 40 pq 即 得 不妨设 由 可知 2 40 stst 2 0 stst st 2 121 n nn xxxx 2 121 nn nn xxxx 即 等式两边同时除以 得 即 1 n nn xx n 1 1 1 nn nn xx 1 1 1 nn nn xx 数列是以 1 为公差的等差数列 n n x 1 2 1 111 n n xx nnn nn n xn 综上所述 11 nn n nn x n 类型类型 11 双数列型 解法 根据所给两个数列递推公式的关系 灵活采用累加累加 累乘累乘 化归化归等方法求解 例 已知数列中 数列中 当时 n a1 1 a n b0 1 b2 n 2 3 1 11 nnn baa 求 2 3 1 11 nnn bab n a n b 解 因 nn ba 2