中考数学二轮复习 专题练习（上）二次函数与相切 新人教版

二次函数与相切二次函数与相切 1 如图 抛物线经过点 和 点 2 yaxbxc 00 o 34 a 110 c 是轴上的一个动点 连接 取的中点 将线段绕点顺时 0 p t xapapmmpp 针旋转得线段 连接 90 pbabbcac 1 求该抛物线的解析式 2 当 为何值时 点在此抛物线上 tb 3 在点运动过程中 是否存在为等腰三角形 若存在 请求出点坐标 pabc p 若不存在 请说明理由 4 在点运动过程中 若以为直径的圆与直线相切 直接写出 的值 ppbact 解析 1 设该抛物线的解析式为 把代入1 1yax x 34 a 得 解得33 1 4 1a 1 6 a 即 1 11 6 yx x 2 111 66 yxx 2 分别过点 作轴的垂线 abx 垂足为 de 90apb 90apdbpe 90apdpad bpepad 又 90pebadp pebadpaa 即 pebepb adpdap 1 432 pebe t 2pe 1 3 2 bet 3 2 2 t b t 把点坐标代入抛物线的解析式 得b 2 1113 2 2 662 t tt 整理得 2 4270tt 解得 或231t 231t 当或时 点在此抛物线上231t 231t b 3 存在 34 a 3 2 2 t b t 110 c 222 3 2 14a t bt 222 3 2 9 bc t t 222 8480ac 若 则 解得abac 22 3 1 4 80 2 t t 4 33 5 t 1 4 330 5 p 2 4 330 5 p 若ab bc 则 2222 33 14 2 9 2 tt tt 解得 13 3 t 3 13 0 3 p 若 则 解得acbc 22 80 3 9 2 t t 394 91 5 t 4 394 91 0 5 p 5 394 91 0 5 p 4 或 181 31 t 11t 提示 设的中点为 过点作轴 交于 作于pbnnnfx acgnhac h 34 a 110 c 4ad 8cd 4 5ac 0 p t 3 2 2 t b t 3 1 4 t n t 1oft 1pf 3 4 t nf 11110 cfocoftt 22 1 1 3 16 pnt 由 rt cgfrt cad 得 11 5 22 gfcft 131 5 233 244 t nggfnftt gfad nghcad 又 90ghnadc ghnadc 即 nhng cdca 1 233 4 84 5 t nh 1 233 2 5 nht 以为直径的圆与直线相切 pbacnpnh 22 11 1 3 233 1620 tt 整理得 解得 或 2 315221991 0tt 181 31 t 11t 2 如图 在平面直角坐标系中 点 点 四边形是矩形 60 a 04 c oabc 以点为圆心的过点 点从点出发 沿以每秒ooa 30 d poocba 个单位的速度运动 设运动时间为 秒 1t 1 当 为何值时 与相切 tapoa 2 当直线将的周长分成的两部分时 求 的值 apoa1 2t 3 直线 为的垂直平分线 垂足为 当点在 上运动时 是否存在lapepocba 点 使直线 与相切 若存在 求 的值 若不存在 说明理由 ploat 解析 1 设与相切于点 连接apoafof 则 ofap 2222 6 3 33afoaof 由得 aofapo ofaf opao 333 6op 6 11 11 op 当时 与相切 6 11 11 t apoa 2 设直线交于 与轴交于另一点apoamnoaxf 连接 作于omonmfndoimn i 直线将的周长分成的两部分apoa1 2 120mon 60moinoi 13 22 oiom 33 22 miom 23mnmi 设 则amx 3anx 180amffmn 180adnfmn amfadn 又 mafdan amfadn amad afan 63 363 x x 整理得 2 333 0 xx 解得 舍去 1 3141 2 x 2 3141 2 x 3141 22 aix 由得 oipaio opao oiai 6 3141 22 op 6 47 47 op 即 6 47 47 t 3 设直线 与相切于点loah i 当点在上时 连接 pocoh 直线与轴相交于点lxg 设 则 ogx aey 6agx 2apy 由得 ageogh aeoh agog 即 3 6 y xx 由得 ageapo aeao agap 即 6 62 y xy 由 得 即 代入 并整理得 36 2xy 3 3 xy 解得 舍去 2 3180yy 1 3 3y 2 2 3y 2222 2 6 4 3 62 3opy 即2 3t ii 当点在上时 则四边形是矩形pbaoaeh 3aeoh 22 3apae 4642 3142 3t 综上所述 当或时 直线 与相切2 3t 142 3 loa 3 矩形内接于 将沿翻折 点落在上点处 连接abcdoaadc acdoae be 1 如图 1 判断四边形的形状 并说明理由 aebc 2 如图 2 是的切线 切点是 交的延长线于点 动点从点paoaacbpm 出发 以的速度沿射线的方向运动 以点为圆心 长为半径作圆 p2cm spcmpm 设点运动的时间为 秒 若的直径为 mtoa5 3 4 ab pb 当 为何值时 与直线相切 tmabe 根据与线段公共点的个数 直接写出相应的 的值或取值范围 maact 解析 1 四边形是等腰梯形 理由如下 aebc 连接ec 由题意 aeadbc eacdacacb abeace eabecb acebac abebac 四边形是等腰梯形beac aebc 2 设与直线相切于点 连接mabefmf 则bfmf 的直径为 oa55ac 易证 abcpba 3 4 bcab abpb 设 则3bcm 4abm 在中 rt abc 222 34 5mm 解得 1m 3bc 4ab 16 3 pb 是的切线 paoa90pabbac abfbac 90pababf bfpa mfpa bmfp mfbpba mfbabc 4 5 mfab mbac 解得2mfmpt 24 16 5 2 3 t t 32 27 t 当秒时 与直线相切 32 27 tmabe 当与线段公共点的个数是个时 或maac0 50 0 27 t 25 12 t 当与线段公共点的个数是 个时 maac1 50 27 t 当与线段公共点的个数是个时 maac2 5025 2712 t 4 如图 直线与轴交于点 与轴交于点 直线与轴正半轴35yx xaybcdx 交于点 与轴负半轴交于点 且 点cyd 9 5 ocob 45ocd 为线段上的一个动点 过点作轴的平行线分别交直线 于点 0 pt obpxabcd ef 1 设线段的长为 求 与之间的函数关系式 efllt 2 当时 求点的坐标 45eof p 3 是否存在点 使得过 三点的圆与x轴相切 若存在 求点的坐标 pdefp 若不存在 说明理由 解析 1 在中 令 得35yx 0 x 5y 05 b 5ob 45ocd 9 9 5 odocob 直线与轴正半轴交于点 cdxc 与轴负半轴交于点yd 90 c 09 d 设直线的解析式为 把代入cd9ykx 90 c 0 99k 1k 直线的解析式为cd9yx 在中 当时 35yx yt 5 3 t x 在中 当时 9yx yt 9xt 5432 9 50 335 t lttt 2 设线段的中点为 以为斜边向上作等腰efmefrt efn 以为圆心 长为半径作nnena 过点45eof nao 2 2 onenef 22 1 2 onef 由 1 知 5 3 t et 9 f tt 432 33 eft 11 3 t mt 11516 33 tt n 222 11516 33 tt on 222 115161 432 332 33 tt t 整理得 2 2615 0tt 解得 舍去 1 339 2 t 2 339 2 t 点的坐标为p 339 0 2 3 假设存在 设过 三点的圆为defha 显然圆心是线 段的中垂线和线段的中垂线的交点hdfef 由题意 efoc 45pfdocd 是等腰直角三角形45hpf pdf 线段的中垂线过点dfp 设线段的中垂线交轴于 直线的解析式为dfxgghykxt 45ocd 45ogp 代入 得 0 g t ykxt 1k 直线的解析式 为ghyxt 设线段的中点为 与轴相切于点efmhaxk 由 2 知 11 3 t mt 把代入 得 11 3 t x yxt 211 3 t y 11211 33 tt h 由 得dhkh 222 11211211 9 333 ttt 整理得 解得 舍去 2 130256 0tt 1 2t 2 2 1 8t 存在点 使得过 三点的圆与x轴相切 02 p def 5 如图 抛物线 交轴于点 交轴于点 将抛lx 30 a 10 b y 03 c 物线沿轴翻折得抛物线 ly 1 l 1 求的解析式 1 l 2 在的对称轴上找出点 使点到点的对称点及两点的距离差最大 并 1 lppa 1 ac 说出理由 3 平行于轴的一条直线交抛物线于 两点 若以为直径的圆恰与轴相x 1 lefefx 切 求此圆的半径 解析 1 由题意知 抛物线 上的点 关于轴的对称点为 labcy 1 3 0 a 1 1 0 b 03 c 设的解析式为 1 l 2 0 yaxbxc a 则 30 9330 ab ab 1 2 a b l1的解析式为 2 23yxx 2 的对称轴为 在直线上 故 1 l1x p1x 11 papcpbpc 当点与点 点不在一直线上时 中 当点与点 p 1 bc 1 pbc 11 pbpcbc p 1 b 点在一直线上时 这些线段间关系为 c 111 papcpbpcbc 故此时点到 两点的距离差最大p 1 ac 设的解析式为 将代入上式得 1 bc3ykx 1 1 0 b 3k 直线的解析式为 1 bc33yx 而直线和直线的交点即为33yx 1x p 由得 1 33 x yx 1 6 x y 即为所求 16 p 3 设 所求圆的半径为 由图可知 1 e xy 2 f xy r 21 2xxr 对称轴为 1x 12 2xx 由得 即 21 12 2 2 xxr xx 2 1xr 1 f ry 将代入的解析式 1 f ry 1 l 2 23yxx 得 即 2 1213 yrr 2 4yr 圆与轴相切 xry 当时 解得 舍去 0y 2 4 0rr 1 117 2 r 2 117 2 r 当时 解得 舍去 0y 2 4 0rr 1 117 2 r 2 117 2 r 故所求的圆有两个 在轴上方 的圆半径为 在轴下方的圆半径为x 117 2 x 117 2 6 已知过原点的两条直线与圆心为 半径为的圆相切 切点分别为 o 04 m 2p 交轴于点 抛物线经过 两点 顶点为 且与轴交于qpqykpq 06 n x 两点 ab 1 求点的坐标 p 2 求抛物线解析式 3 直线与抛物线交于不同的两点 当该直线与相切时 求点 ym cdmaa 围成的多边形的面积 结果保留根号 bcd 解析 1 直线与相切于 mapq 90mpo ompq 2mp 4om 30mop 2 3op 3kp 3ko 33 p 2 设抛物线解析式为 把点代入得 2 6yax 33 p 3 36a 1a 抛物线解析式为 2 6yx 3 令 解得 2 6 0 x 1 6x 2 6x 60 a 60 b 2 6ab 当直线与相切时 ym ma2m 令 解得 x2 2 2 62x 1 2x 20 d 20 c 4cd 11 2 64 22 64 22 abcd sabcdm 四边形 7 已知抛物线 恒过定点 在的左 2 317 4yaxaxa 0a efef 侧 1 求 两点的坐标 ef 2 点在直线下方的抛物线上 当面积的最大值为时 求抛物线的defdef 125 8 解析式 3 若经过点的始终与轴相切 设 求与的函数关系式 并求fpax p xy yx 点到点距离的最小值 p 44 解析 1 2 3147 147yaxaxaa xxx 对于任意实数 当时 当时 a1x 8y 4x 3y 抛物线恒过定点和 1 8 43 在的左侧 ef 1 8 e 43 f 2 设直线的解析式为efykxb 解得 8 43 kb kb 1 7 k b 直线的解析式为ef7yx 过点作轴 交直线于点ddcy efc 设 则 7 c xx 2 3147 d xaxaxa cd 2 73 147xaxaxa 2 34axaxa defdecdfc sss aaa 11 1 4 22 cdxcdx 2 5 34 2 axaxa 2 515 10 22 axaxa 面积的最大值为def 125 8 2 515 4 10 125 22 5 8 4 2 aaa a 解得1a 抛物线的解析式为 2 43yxx 3 43 f p xy 过点且与轴相切pafx ypf 222 43 yxy 即 2 1425 636 yxx 设点到点的距离为 p xy 44 d 则 22222 44432 7 dxyxyy 22 2716yyy 的最小值为 2 d6 的最小值为d6 8 如图 在平面直角坐标系中 和是两个全等的直角三角形 aob ocd 直角边 在轴上 点的坐标为90obacdo obcd obodxc 抛物线经过 三点 与轴的另一个交 点为 42 2 yaxbxc oacx e 1 求抛物线的解析式 2 点为线段上一动点 不与 重合 过点作轴的平行线交抛物线fococfy 于点 连接 当四边形为等腰梯形时 求点的坐标 gbfagabfgf 3 在抛物线的段上 包括点 是否存在点 使既与轴相切 又与直eccppax 线相交 若存在 求点横坐标的取值范围 若不存在 请说明理由 cop p x 解析 1 rt aobrt ocd 42 c obcd 2obcd 4abod 24 a 20 b 抛物线经过点 2 yaxbxc 00 o 0c 2 yaxbx 抛物线过 两点ac 解得 424 1642 ab ab 3 4 a 7 2 b 抛物线的解析式为 2 37 42 yxx 2 设直线的解析式为ocykx 24k 1 2 k 1 2 yx 设 则 1 2 f mm 2 37 42 g mmm 作于 于fhab hgkab k 四边形为等腰梯形 abfgbhak bhak yyyy 2 137 0 4 242 mmm 或4m 4 3 m 当时 4m 1 4 2 2 y 42 f 此时点与点重合 不能形成等腰梯形fc 当时 4 3 m 142 233 y 42 33 f 当四边形为等腰梯形时 点的坐标为abfgf 42 33 3 作的平分线交cd于 交抛物线于 作于 则doc opqpqmoc m qdqm 设 则qdqmn 2qcn 4od 2cd 22 4 2 2 5oc 易证 rt cqmrt cod qcqm ocod 2 42 5 nn 4 58n 484 5 q 易得直线的解析式为op 52 yx 令 解得 舍去 2 37 52 42 xxx 1 0 x 2 4 522 3 x 既与轴相切 又与直线相交paxco 点横坐标的取值范围为 p p x 4 522 4 3 p x 9 如图 直线与抛物线交于 两点 抛物线的2ykxk 2 115 424 yxx ab 对称轴与轴交于点 xq 1 证明直线过定点 并求出点的坐标 2ykxk pp 2 当时 证明是等腰直角三角形 0k aqb 3 对于任意的实数 是否都存在一条固定的直线与以为直径的圆相切 若存在 kab 请求出该直线的解析式 若不存在 请说明理由 解析 1 2ykxk 2 1k x 当时 1x 2y 直线过定点2ykxk 12 p 2 当时 直线0k 22ykxk 交点 的坐标符合方程组 a 11 xy 22 b xy 解得 2 2 115 424 y yxx 1 1 1 2 x y 2 2 3 2 x y 12 a 32 b 222 1321 36 ab 22 1151 1 1 4244 yxxx 10 q 222 1 18 20aq 222 108 32 bq aqbq 222 abaqbq 是等腰直角三角形aqb 3 存在一条固定的直 线与以为直径的圆相切 此直线即轴 解析式是abx0y 理由如下 交点 的坐标符合方程组 11 a xy 22 b xy 2 2 115 424 ykxk yxx 2 113 0 424 xk xk 即 2 2443 0 xk xk 12 24xxk 12 43x xk 22 121212 4 xxxxx x 22 244 43161 6 kkk 22242 1212 1616 yykxxkk 12 yy 12 22kxkkxk 12 24k xxk 2 44k 22 1212 abxxyy 422 16321644kkk 即以为直径的圆的半径 为ab 2 22k 的中点是 即ab 1212 22 xxyy 2 2122 kk 以为直径的圆的圆心坐标为ab 2 2122 kk 圆心到轴的距离 等于圆的半径x 存在定直线与以为直径的圆相切 此直线即轴 解析式是abx0y 10 如图 已知抛物线与坐标轴分别