上海市奉贤中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）

1 上海市奉贤中学上海市奉贤中学 2018 20192018 2019 学年高一数学下学期期末考试试题 含解学年高一数学下学期期末考试试题 含解 析 析 一 填空题 一 填空题 5454 分 分 1 一个扇形的半径是 弧长是 则圆心角的弧度数为 2cm4cm 答案 2 解析 分析 直接根据弧长公式 可得 详解 因为 所以 解得 lr 42 2 点睛 本题主要考查弧长公式的应用 2 已知 则 sin3cos cos2 答案 4 5 解析 分析 根据同角三角函数基本关系式 联立求解出 由二倍角公式即可算出 22 sin cos 详解 因为 又 解得 sin3cos 22 sincos1 22 19 cos sin 1010 故 22 194 cos2cossin 10105 点睛 本题主要考查同角三角函数关系式及二倍角公式的应用 3 已知 且 则 tan2x x x 答案 或 arctan2arctan2 解析 分析 2 利用正切函数的单调性及周期性 可知在区间与区间内各有一值 从而求 2 0 2 出 详解 因为函数的周期为 而且在 内单调增 tanyx tanyx 22 kk 所以有两个解 一个在 一个在 由反正切函数的定义有 tan2x 2 0 2 或 arctan2x arctan2x 点睛 本题主要考查正切函数的性质及反正切函数的定义的应用 4 函数的单调增区间是 cos 2 yx 答案 2 2 22 kk kz 解析 分析 先利用诱导公式化简 即可由正弦函数的单调性求出 详解 因为 所以的单调增区间是 cossin 2 yxx cos 2 yx 2 2 22 kk kz 点睛 本题主要考查诱导公式以及正弦函数的性质 单调性的应用 5 若 则 12f kkkk 2k kn 1f kf k 答案 3 3k 解析 分析 观察式子特征 直接写出 即可求出 1f k 1f kf k 3 详解 观察的式子特征 明确各项关系 以及首末两项 即可写出 f k 1 f k 所以 相比 增加了 1 1 2 3 2 21 22 f kkkkkkk f k 后两项 少了第一项 故 21 22kk k 1 21 22 33f kf kkkkk 点睛 本题主要考查学生的数学抽象能力 正确弄清式子特征是解题关键 6 设 其中 则的值为 3sincos2sinxxx 02 答案 11 6 解析 分析 由两角差的正弦公式以及诱导公式 即可求出的值 详解 31 3sincos2sincos2 sin coscos sin2sin 22666 xxxxxxx 所以 因为 故 sin sin 6 xx 02 11 2 66 点睛 本题主要考查两角差的正弦公式的逆用以及诱导公式的应用 7 设数列 是等差数列 若和是方程的两根 则数列 n a n n2 a 2018 a 2 4830 xx 的前 2019 项的和 n a 2019 s 答案 2019 解析 分析 根据二次方程根与系数的关系得出 再利用等差数列下标和的性质得到 22018 2aa 然后利用等差数列求和公式可得出答案 1201922018 aaaa 4 详解 由二次方程根与系数的关系可得 22018 2aa 由等差数列的性质得出 1201922018 2aaaa 因此 等差数列的前项的和为 n a 2019 12019 2019 20192019 2 2019 22 aa s 故答案为 2019 点睛 本题考查等差数列的性质与等差数列求和公式的应用 涉及二次方程根与系数的关 系 解题的关键在于等差数列性质的应用 属于中等题 8 已知等比数列的递增数列 且 则数列的通项公式 n a 2 510 aa 21 25 nnn aaa n a n a 答案 2 n 解析 分析 利用等比数列的定义以及通项公式 列出关于的方程 利用单调性解出符合题意的 1 a q 即求得的通项公式 1 a q n a 详解 设等比数列的首项和公比分别是 依题意有 n a 1 a q 又等比数列为递增数列 解得 2 49 11 2 2 1 5 a qa q qq n a 1 2 2 a q 故数列的通项公式为 n a 2 n n ann 点睛 本题主要考查等比数列的单调性以及通项公式的求法 待定系数法是解决此类问题 的常用方法 9 公比为的无穷等比数列满足 则实数 q n a1q 12kkk ak aa nn 的取值范围为 k 答案 20 5 解析 分析 依据等比数列的定义以及无穷等比数列求和公式 列出方程 即可求出的表达式 再利用 k 求值域的方法求出其范围 详解 由题意有 即 因为 2 1 1 q k qqk q 11 1 q k qq 1q 所以 20 k 点睛 本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用以及基本函数求值域的方法 10 已知函数的最小正周期为 若将该函数的图像向左平移 sin0 3 yx 个单位后 所得图像关于原点对称 则的最小值为 0m m m 答案 3 解析 分析 先利用周期公式求出 再利用平移法则得到新的函数表达式 依据函数为奇函数 求出 的表达式 即可求出的最小值 mm 详解 由得 所以 向左平移个单位后 2 t 2 sin 2 3 yx 0m m 得到 因为其图像关于原点对称 所以函数为奇 sin 2 sin 22 33 yxmxm 函数 有 则 故的最小值为 2 3 mkkz 62 k m m3 点睛 本题主要考查三角函数的性质以及图像变换 以及 型的函数奇偶 sin yax 性判断条件 一般地为奇函数 则 为偶函数 则 sin yax k 2 k 为奇函数 则 为偶函数 则 cos yax 2 k k 6 11 设为实数 为不超过实数的最大整数 如 记 x x x 2 662 2 663 则的取值范围为 现定义无穷数列如下 当 xxx x 0 1 n a 1 aa 时 当时 若 则 0 n a 1 1 n n a a 0 n a 1 0 n a 3a 2019 a 答案 31 解析 分析 根据已知条件 计算数列的前几项 观察得出无穷数列呈周期性变化 即可求出 n a 的值 2019 a 详解 当时 3a 1 31aa 1 2 13131 22 a a 无穷数列周期性变化 3 2 3131 1 a a 4 3 131 2 a a n a 周期为 2 所以 20191 31aa 点睛 本题主要考查学生的数学抽象能力 通过取整函数得到数列 观察数列的特征 求 数列中的某项值 12 已知线段上有个确定的点 包括端点与 现对这些点进行往返标数 从 ab9ab 进行标数 遇到同方向点不够数时就 调头 往回数 如图 在点 abab 上标 称为点 然后从点 开始数到第二个数 标上 称为点 再从点开始数到 a111222 第三个数 标上 称为点 标上数的点称为点 这样一直继续下去 直到 33nn1 都被标记到点上 则点上的所有标记的数中 最小的是 2320192019 答案 3 解析 7 分析 将线段上的点考虑为一圆周 所以共有 16 个位置 利用规则 可知标记 2019 的是 2039190 除以 16 的余数为 6 即线段的第 6 个点标为 12320192039190 2019 则 令 即可得 1 6 16123 2 k k nk 0n 3k 详解 依照题意知 标有 2 的是 1 2 标有 3 的是 1 2 3 标有 2019 的是 1 2 3 2019 将将线段上的点考虑为一圆周 所以共有 16 个位置 利用规则 可知标 记 2019 的是 2039190 除以 16 的余数为 6 即线段的第 6 12320192039190 个点标为 2019 令 解得 1 6 16123 2 k k nk 0n 1 12k k 故点上的所有标记的数中 最小的是 3 3k 2019 点睛 本题主要考查利用合情推理 分析解决问题的能力 意在考查学生的逻辑推理能力 二 选择题 二 选择题 2020 分 分 13 在数列中 已知 则一定 n a 3 1a 5 3a 7 9a n a a 是等差数列b 是等比数列c 不是等差数列d 不是等比 数列 答案 c 解析 分析 依据等差 等比数列的定义或性质进行判断 详解 因为 所以一定不是等差数列 53 2aa 75 6aa 7553 aaaa n a 故选 c 点睛 本题主要考查等差 等比数列定义以及性质的应用 14 已知数列的前项和 那么 n a n 2 1 4 n n a s 8 a 此数列一定是等差数列b 此数列一定是等比数列 c 此数列不是等差数列 就是等比数列d 以上说法都不正确 答案 d 解析 分析 利用即可求得 当时 或 1 1 1 2 n nn sn a ssn 1 1a 2n 1nn aa 1 2 nn aa 对赋值 2 3 选择不同的递推关系可得数列 1 3 3 问题得解 n 详解 因为 1 1 1 2 n nn sn a ssn 当时 解得 1n 1 1 2 1 4 a a 1 1a 当时 整理有 2n 22 1 1 11 44 n n n n n aa ass 所以 或 11 20 nnnn aaaa 1nn aa 1 2 nn aa 若时 满足 2n 1 2 nn aa 时 满足 3n 1nn aa 可得数列 1 3 3 此数列既不是等差数列 也不是等比数列 故选 d 点睛 本题主要考查利用与的关系求 以及等差等比数列的判定 n s n a n a 15 数列的通项公式 其前项和为 则等于 n a cos 2 n n an nn s 2017 s a b c d 100610081006 1008 答案 b 解析 分析 9 依据为周期函数 得到 并项求和 即可求出 cos 2 yx 4 041 42 043 n nnk kn nkkn a nnkkn nkkn 的值 2017 s 详解 因为为周期函数 周期为 4 所以 cos 2 yx 4 041 42 043 n nnk kn nkkn a nnkkn nkkn 201724681012201420162017 saaaaaaaaa 24 68 10 12 20142016 故选 b 2 5041008 点睛 本题主要考查数列求和方法 并项求和法的应用 以及三角函数的周期性 分论 讨论思想 意在考查学生的推理论证和计算能力 16 设等比数列的公比为 其项的积为 并且满足条件 n a q n n t 1 1a 99100 10aa 给出下列结论 的值是中最大的 99 100 1 0 1 a a 01q 99101 10aa 100 t n t 使成立的最大自然数等于 其中正确的结论是 1 n t n198 a b c d 答案 b 解析 分析 首先转化题目条件 再依据等比数列的性质 逐一判断即可 详解 由 得 知 所以 99100 10aa 1 1a 9899 11 1a qa q 0q 0 n a 由得 或 若 则 99 100 1 0 1 a a 99100 1 1aa 99100 1 1aa 99100 1 1aa 100 99 1 a q a 10 而则有与其矛盾 故只有 因此 即 正确 因为 1 1a 99 1a 99100 1 1aa 01q 不正确 不正确 100 01a 2 99101100 110aaa 1009910099 ttat 正确 99 19812319899100 1aaaaaat 19912 199 3119900 1aaaata 综上 正确的结论是 故选 b 点睛 本题主要考查等比数列的性质应用 记牢这些基本性质是解决问题的关键 三 解答题 三 解答题 7676 分 分 17 在中 已知 且 求 abc 4a 5c 6 abc s b 答案 或 373 解析 分析 首先根据三角形面积公式求出角 b 的正弦值 然后利用平方关系 求出余弦值 再依据余弦 定理即可求出 详解 由得 所以或 11 sin4 5 sin6 22 abc sacbb 3 sin 5 b cos 4 5 b 由余弦定理有 4 cos 5 b 222 2cos162540cos4140cosbacacbbb 故或 即或 2 9b 2 73b 3b 73b 点睛 本题主要考三角形面积公式 同角三角函数基本关系的应用 以及利用余弦定理解 三角形 18 三角比内容丰富 公式很多 若仔细观察 大胆猜想 科学求证 你也能发现其中的一 些奥秘 请你完成以下问题 1 计算 cos2cos88 sin47sin133 cos5cos85 sin50sin130 cos12cos78 sin57sin123 2 根据 1 的计算结果 请你猜出一个一般的结论用数学式子加以表达 并证明你的结 论 写出推理过程 11 答案 1 2 222 cos45cos 135 2 sinsin 180 解析 分析 1 依据诱导公式以及两角和的正弦公式即可计算出 2 观察 1 中角度的关系 合 情推理出一般结论 然后利用两角和的正弦公式即可证明 详解 1 cos2cos88cos2sin22 sin45 cos2cos45 sin2 2sin47 2 sin47sin133sin47sin47sin47sin47 同理可得 cos5cos85sin5cos52sin50 2 sin50sin130sin50sin50 cos12cos78sin12cos122sin57 2 sin57sin123sin57sin57 2 由 1 知 可以猜出 cos45cos 135 2 sinsin 180 证明如下 cos45cos 135cos45sin45 sinsin 180sinsin 2 sin45cos45cos45sin45 2sin 2 sinsin 点睛 本题主要考查学生合情推理论证能力 以及诱导公式和两角和的正弦公式的应用 意在考查学生的数学抽象素养和逻辑推理能力 19 已知集合 数列的首项 且当时 点 310cx y xyxy n a 1 3a 2n 数列满足 1 nn aac n b 1 1 n n b a 1 试判断数列是否是等差数列 并说明理由 n b 12 2 若 求的值 lim1 n nn st ab s tr t s 答案 1 是 2 1 t s 解析 分析 1 依据题意 写出递推式 由等差数列得定义即可判断 2 求出 nn a b 利用极限知识 求出 即可求得的值 s t s 详解 1 当时 点 所以 2n 1 nn aac 11 310 nnnn a aaa 即 11 31 nnnn a aaa 由得 当时 1 1 n n b a 2n 1 1 1 1 1 11 111 nn nn nnnnnn aa bb aaa aaa 将代入 11 31 nnnn a aaa 11 1 1 11 1 3111 nnnn nn nnnnnnnn aaaa bb a aaaaaaa 故数列是以为公差的等差数列 1 1 1 2 2 nn nn aa aa n b 1 2 2 因为 所以 1 3a 1 1 11 12 b a 111 1 222 n bnn 由得 故 1 1 n n b a 2 1 n a n 21 1 2 nn stst ab n n lim1 n nn st s ab 1 t s 点睛 本题主要考查等差数列的定义和通项公式的运用 以及数列极限的运算 20 已知数列的前项和 满足 n a nn s 2 nnn sabnn 1 若 求数列的通项公式 n bn n a 2 在满足 1 的条件下 求数列的前项和的表达式 nn ab n n t 13 答案 1 2 12n n a 1 1 1 22 2 n n n n 解析 分析 1 已知求 利用即可求出 2 根据数列 n s n a 1 1 1 2 n nn sn a ssn nn ab 通项公式特征 采取分组求和法和错位相减法求出 n t 详解 1 因为 所以 n bn 2 nn san 当时 所以 1n 11 21aa 1 1a 当时 2n 111 221221 nnnnnnn ssaananaa 即 因为 所以 1 21 nn aa 1 121 nn aa 1 12a 1 1 2 1 n n a a 即 当时 也符合公式 1 12 2 n n a 12n n a 1n 1 1a 综上 数列的通项公式为 n a 12 n n nan 2 因为 所以 2 n n n na bn 123 123 22 23 22 n n tnn 1 2 n n n d 123 22 23 22n n dn 由得 123 22 23 22n n dn 2341 222 23 22n n dn 两式作差得 2311 2 1 2 222222 1 2 n nnn n dnn 即 故 1 1 22 n n dn 1 1 1 1 22 22 n nn n nn n tdn 点睛 本题主要考查求数列通项的方法 公式法和构造法的应用 1 1 1 2 n nn sn a ssn 以及数列的求和方法 分组求和法和错位相减法的应用 14 21 将边长分别为 的正方形叠放在一起 形成如图所 123n1n nn 示的图形 由小到大 依次记各阴影部分所在的图形为第 个 第个 第个阴影 12n 部分图形 设前个阴影部分图形的面积的平均值为 记数列满足 n f n n a 1 1a 1 n n f nn a f an 当为奇数 当为偶数 1 求的表达式 f n 2 写出 的值 并求数列的通项公式 2 a 3 a n a 3 定义 记 且恒成立 求 的取值范 a b adbc c