高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题

I 难点 3 运用向量法解题 平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题 . 难点磁场 ( )三角形 A(5， 1)、 B( 1， 7)、 C(1， 2)，求： (1)上的中线 长； (2) 平分线 长； (3) 案例探究 例 1如图，已知平行六面体 菱形，且 (1)求证： (2)当1值为多少时，能使 面 给出证明 . 命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力 . 知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单 . 错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系 . 技巧与方法：利用 a b a b=0 来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可 . (1)证明：设 a, b, 1c,依题意， |a|=|b|， 两两所成夹角 为 ，于是 =a b， 1 =c(a b)=c a c b=|c| |a| |c| |b|0, (2)解：若使 面 须证 由 )()( 1111 =(a+b+c) (a c)=|a|2+a b b c |c|2=|a|2 |c|2+|b| |a| |b| |c| 0,得 当 |a|=|c|时， 理可证当 |a|=|c|时， 11 时， 面 例 2如图，直三棱柱 面 ， B=1， 0， ， M、 1 (1)求 长； (2)求 3)求证： 命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题 级题目 . 知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系 O 而找到点的坐标和求出向量的坐标 . 错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标 . 技巧与方法：可以先找到底面坐标面 、 B、 后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标 . (1)解：如图，以 依题意得： B(0， 1， 0)， N(1， 0， 1) | = 3)01()10()01( 222 . (2)解：依题意得： ， 0， 2)， C(0， 0， 0)， ， 1， 2). 1 1),2,1,1( =(0， 1， 2) 11 =1 0+( 1) 1+2 2=3 | 1= 6)02()10()01( 222 5)02()01()00(| 2221 056 3|,c o )证明：依题意得： ， 0， 2)， M( 2,21,21) )2,1,1(),0,21,21( 11 ,00)2(21121)1( 1111 锦囊妙计 要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识 向量垂直、射影、夹角等问题中 用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题 . 考： (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？ 2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？ (3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？ (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？ 歼灭难点训练 一、选择题 1.( )设 A、 B、 C、 D 四点坐标依次是 ( 1， 0)， (0， 2)， (4， 3)， (3， 1)，则四边形 ) 2.( )已知 B =a， b， a b0， S 15,|a|=3,|b|=5,则 a 与 b 的夹角是 ( ) B. 150 150 二、填空题 3.( )将二次函数 y=a 平移后得到的图象与一次函数 y=2x 5 的图象只有一个公共点 (3， 1)，则向量 a=_. 4.( )等腰 t 公共的底边 们所在的平面成 60角，若 6 C=17 _. 三、解答题 5.( )如图，在 ，设 a， =b， =c, a,(0 1), = b(0 1),试用向量 a， b 表示 c. 6.( )正三棱柱 a,侧棱长为 2 a. (1)建立适当的坐标系，并写出 A、 B、 (2)求 7.( )已知两点 M( 1， 0)， N(1， 0)，且点 P 使 , 成公差小于零的等差数列 . (1)点 P 的轨迹是什么曲线？ (2)若点 P 坐标为 (x0,Q 为 夹角，求 8.( )已知 E、 F、 G、 H 分别是空间四边形 边 (1)用向量法证明 E、 F、 G、 H 四点共面； (2)用向量法证明： 面 (3)设 M 是 证：对空间任一点 O，有 )(41 . 考答案 难点磁场 解： (1)点 M 的坐标为 )29,0(,292 27;02 11 91()05(| 22 5)21()15(|,10)71()15(|)2( 2222 D 点分 比为 2. 1121 227,3121 121 111()315(| 22 (3) A 与 夹角，而 (6， 8）， (2， 5） . 1 4 52 6 2 9291052)5(2)8(6)5()8(26|c o s 2222 歼灭难点训练 一、 =(1， 2）， =(1， 2）， 又线段 线段 | 平行四边形，又 |= 5 ， =(5， 3）， |= 34 ， | | , 是菱形，更不是正方形；又 (4， 1）， 1 4+2 1=6 0, 垂直于 不是矩形，故选 D. 答案： D 21415 3 5 21,则 =30或 =150 . 又 a b 0, =150 . 答案： C 二、 3.(2,0) 、 线， m( =m( b a), a+m( b a)=(1 m)a+m b V 又 线， n( =n( a b), b+n( a b)=n a+(1 n)b 由，得 (1 m） a+ 1 n)b. a 与 b 不共线， 01 0111 mn 即 解方程组得： m= 11,11 得 c=(1 m)a+m b=1 1 (1 )a+ (1 )b . (1)以点 A 为坐标原点 O，以 在直线为 ，以 经过原点且与平面 x 轴，建立空间直角坐标系 . 由已知，得 A(0， 0， 0）， B(0， a,0） ,0, 2 a), ,2,23 a). (2)取 ，于是有 M(0， 2,2连 1(23a,0,0） , 且 (0， a,0） , 1(0,0 2 a) 由于 1 0， 1 10，所以 M 所成的角就是 1 ),2,2,0(),2,2,2 3( 9240 221 324|,324143| 22221 而 2323349,c o 所以 1 所成的角，即 0 . (1)设 P(x,y） ,由 M( 1， 0）， N(1， 0）得， = ( 1 x, y） , =(1x, y), = (2,0), 2(1+x), x2+1, =2(1 x) , 是公差小于零的等差数列，等价于 03 0)1(2)1(2)1(2)1(2211 222 所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心， 3 为半径的右半圆 . (2)点 P 的坐标为 (x0,30,1c o 041|c o 4)(24()1()1(|,21020200020202022020|3c o ss i nt a