高考数学难点突破_难点05__求解函数解析式

难点 5 求解函数解析式 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 . 难点磁场 ( )已知 f(2 f(x 1). 案例探究 例 1 (1)已知函数 f(x)满足 f( )1(12 a (其中 a0,a 1,x0),求 f(x)的表达式 . (2)已知二次函数 f(x)=bx+c 满足 |f(1)|=|f( 1)|=|f(0)|=1, f(x) . 命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力 题目 . 知识依托：利用函数基础知识，特别是对“ f”的理解，用好等价转化，注意定义域 . 错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错 . 技巧与方法： (1)用换元法； (2)用待定系数法 . 解： (1)令 t=a1,t0;01,x0;01 时 f(x)等于 ( ) A.f(x)=(x+3)2 1 B.f(x)=(x 3)2 1 C.f(x)=(x 3)2+1 D.f(x)=(x 1)2 1 二、填空题 3.( )已知 f(x)+2f(3x,求 f(x)的解析式为 _. 4.( )已知 f(x)=bx+c,若 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1,则 f(x)=_. 三、解答题 5.( )设二次函数 f(x)满足 f(x 2)=f( x 2),且其图象在 y 轴上的截距为 1，在 ，求 f(x)的解析式 . 6.( )设 f(x)是在 ( ,+ )上以 4 为周期的函数，且 f(x)是偶函数，在区间 2，3上时， f(x)= 2(x 3)2+4，求当 x 1,2时 f(x)的解析式 两个顶点 A、B 在 x 轴上， C、 D 在 y=f(x)(0 x 2)的图象上，求这个矩形面积的最大值 . 7.( )动点 P 从边长为 1 的正方形 顶点 、 C、 D 再回到 A，设 x 表示 P 点的行程， f(x)表示 长， g(x)表示 面积，求 f(x)和 g(x),并作出 g(x)的简图 . 8.( )已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数，周期 T=5，函数 y=f(x)( 1 x 1)是奇函数，又知 y=f(x)在 0， 1上是一次函数，在 1， 4上是二次函数，且在 x=2 时，函数取得最小值，最小值为 5. (1)证明： f(1)+f(4)=0; (2)试求 y=f(x),x 1,4的解析式； (3)试求 y=f(x)在 4， 9上的解析式 . 参考答案 难点磁场 解法一： (换元法） f(2 1 令 u=2 u 3),则 u f(2 f(u)=2(2 u)2 (2 u) 1=27u+5(1 u 3) f(x 1)=2(x 1)2 7(x 1)+5=211x+4(2 x 4) 解法二： (配凑法） f(2 21=2(2 7(2 +5 f(x)=27x 5(1 x 3),即 f(x 1)=2(x 1)2 7(x 1)+5=211x+14(2 x 4). 歼灭难点训练 一、 f(x)=34 f f(x) =334434x,整理比较系数得 m=3. 答案： A 利用数形结合， x 1 时， f(x)=(x+1)2 1 的对称轴为 x= 1,最小值为 1，又y=f(x)关于 x=1 对称，故在 x1 上， f(x)的对称轴为 x=3且最小值为 1. 答案： B 二、 f(x)+2f(3x知 f(2f(x)=f(得 f(x)=x. 答案： f(x)= x f(x)=bx+c,f(0)=0,可知 c=0.又 f(x+1)=f(x)+x+1, a(x+1)2+b(x+1)+0=bx+x+1,即 (2a+b） x+a+b=bx+x+1. 故 2a+b=b+1 且 a+b=1,解得 a=21,b=21, f(x)=211x. 答案：211x 三、 用待定系数法，设 f(x)=bx+c,然后找关于 a、 b、 c 的方程组求解，f(x)= 17872 2 (1)设 x 1,2 ,则 4 x 2,3 , f(x)是偶函数， f(x)=f( x),又因为 4 是 f(x)的周期， f(x)=f( x)=f(4 x)= 2(x 1)2+4. (2)设 x 0， 1，则 2 x+2 3,f(x)=f(x+2)= 2(x 1)2+4,又由 (1）可知 x 0,2时，f(x)= 2(x 1)2+4,设 A、 B 坐标分别为 (1 t,0） ,(1+t,0)(0 t 1) ,则 |2t,| 2,S 矩形 =2t( 2)=4t(2 令 S，82S =2 (2 (3 222222 )3=2764,当且 仅当 2 t=36时取等号 . 7864即 S9616, 616. (1)如原题图，当 B 上运动时， PA=x;当 P 点在 2)1(1 x ;当 P 点在 运动时，由 得 2)3(1 x ;当 A 上 运动时， x,故 f(x)的表达式为： f(x)=)43( 4)32( 106)21( 22)10( 22)由于 P 点在折线 不同位置时， 形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对 P 点的位置进行分类求解 . 如原题图，当 P 在线段 时， 面积 S=0；当 P 在 1 x 2时， S 11(x 1）；当 D 上时，即 2 x 3 时， S 1 1 1=21；当 P 在 时，即 3 x 4 时， S 1(4 x). 故 g(x)=)43( )4(21)32( 21)21( )1(21)10( 01)证明： y=f(x)是以 5 为周期的周期函数， f(4)=f(4 5)=f( 1),又 y=f(x)( 1 x 1)是奇函数， f(1)= f( 1)= f(4), f(1)+f(4)=0. (2)解：当 x 1,4时，由题意，可设 f(x)=a(x 2)2 5(a 0),由 f(1)+f(4)=0 得 a(12)2 5+a(4 2)2 5=0，解得 a=2, f(x)=2(x 2)2 5(1 x 4). (3)解： y=f(x)( 1 x 1)是奇函数， f(0)= f( 0), f(0)=0,又 y=f(x) (0 x 1)是一次函数，可设 f(x)= x 1), f(1)=2(1 2)2 5= 3,又 f(1)=k 1=k, k= 3.当 0 x 1 时， f(x) = 3x,当 1 x