高考数学难点突破_难点07__奇偶性与单调性(一)

难点 7 奇偶性与单调性 (一 ) 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象 . 难点磁场 ( )设 a0,f(x)=是 R 上的偶函数， (1)求 a 的值； (2)证明： f(x)在 (0， + )上是增函数 . 案例探究 例 1已知函数 f(x)在 ( 1， 1)上有定义， f(21)= 1,当且仅当 00,1 ，12121 xx 0, 又 ( (1 (1)()32a+ 01). (1)证明：函数 f(x)在 ( 1， + )上为增函数 . (2)用反证法 证明方程 f(x)=0 没有负数根 . 6.( )求证函数 f(x)=223)1( x 1， + )上是减函数 . 7.( )设函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足： (i)f()()( 1)()( 12 21 ； (在正常数 a 使 f(a)= (1)f(x)是奇函数 . (2)f(x)是周期函数，且有一个周期是 4a. 8.( )已知函数 f(x)的定义域为 R，且对 m、 n R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n) 1,且 f(21)=0,当 x21时， f(x)0. (1)求证： f(x)是单调递增函数； (2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证 . 参考答案 难点磁场 (1)解：依题意，对一切 x R,有 f(x)=f( x),即+ (a(ex a,即 ,又 a0, a=1 (2)证法一：设 0 f( f( )11)(1121122121 )1( 由 ,x2 112 0,1 e 21 0, f( f( 0,即 f( f( f(x)在 (0,+ )上是增函数 证法二：由 f(x)=ex+e x，得 f (x)=e x=e x (1).当 x (0,+ )时， e x0,10. 此时 f (x)0,所以 f(x)在 0， + )上是增函数 . 歼灭难点训练 一、 f( x)=)0( )()0( )()0( )0( 2222= f(x)，故 f(x)为奇函数 . 答案： C f( x)= f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称 . 答案： C 二、 t=|x+1|,则 t 在 ( , 1 上递减，又 y=f(x)在 R 上单调递增， y=f(|x+1|)在 ( , 1 上递减 . 答案： ( , 1 f(0)=f(f(0, f(0)=d=0.f(x)=ax(x x a(x1+x2)x2+ b= a(x1+又 f(x)在 ) 单调递增，故 a x,得 x1+, b= a(x1+ 0. 答案： ( ,0） 三、 ： (1）设 1 + ,则 , 12 1 且 10, )1( 12112 0,又 0,0 )1)(1( )(3)1)(1( )1)(2()1)(2(1212 21 1221 21121122 xx , 于是 f( f( 12 xx +1212 1122 f(x)在 ( 1， +）上为递增函数 . (2）证法一：设存在 0( 1)满足 f(0,则12000 0 1 得 01200 1,即21 2 与 0 矛盾，故 f(x)=0 没有负数根 . 证法二：设存在 0( 1)使 f(0,若 1 0,则1200 2, 0 1, f( 1 与 f(0 矛盾， 若 1,则1200 , 00， f(0 与 f(0 矛盾，故方程 f(x)=0没有负数根 . x 0, f(x)=22422322 )11(1)1(1)1(1, 设 1 + ,则01111,111 21222122 2211222222112222)11(1)11(1()11( f(f( f(x)在 (1， +）上是减函数 .(本题也可用求导方法解决） (1）不 妨令 x= f( x)=f()()( 1)()()()( 1)()( 12 2121 12 = f( f(x). f(x)是奇函数 . (2）要证 f(x+4a)=f(x),可先计算 f(x+a),f(x+2a). f(x+a)=f x ( a) =)1)(1)( 1)()()( 1)()()()( 1)()( ).(111)( 1)(11)( 1)(1)(1)()()2( f(x+4a)=f (x+2a)+2a =)2( 1 =f(x),故 f(x)是以 4a 为周期的周期函数 . 8.