黑龙江省哈尔滨市松北区2016届中考数学模拟试卷（一）含答案解析

第 1页（共 31页） 2016 年黑龙江省哈尔滨市松北区中考数学模拟试卷（一） 一、选择题 1 的倒数是（ ） A 3 B C D 3 2下列计算结果正确的是（ ） A（ 2= a2a3= 22= 2 D =1 3在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A B C D 4如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ） A两点确定 一条直线 B两点之间线段最短 C垂线段最短 D在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5已知反比例函数 y= ，下列结论不正确的是（ ） A图象必经过点（ 1， 2） B y 随 x 的增大而增大 C图象在第二、四象限内 D若 x 1，则 y 2 6如图是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体将正方体 移走后，所得几何体（ ） A主视图改变，左视图改变 B俯视图不变，左视图 不变 第 2页（共 31页） C俯视图改变，左视图改变 D主视图改变，左视图不变 7已知一个多边形的内角和是 900，则这个多边形是（ ） A五边形 B六边形 C七边形 D八边形 8某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元已知两次降价的百分率都为 x，那么 ） A 100（ 1+x） 2=81 B 100（ 1 x） 2=81 C 100（ 1 x%） 2=81D 1001 9如图，已知直线 a b c，直线 m， n 与 a， b， c 分别交于点 A， C， E， B， D， F，若 ， ，则 值是（ ） A 4 B 5 D 0在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程 y（千米）随时间 x（分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下列结论：（ 1）甲先到达终点；（ 2）前 30 分钟，甲在乙的前面；（ 3）第 48分钟时，两人第一次相遇；（ 4）这次比赛的全程是 28 千米，其中正确的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题 11据不完全统 计，我国常年参加志愿者服务活动的志愿者超过 65000000 人，把 65000000 用科学记数法表示为 12计算： = 13在函数 中，自变量 x 的取值范围是 第 3页（共 31页） 14如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若 20，弧 长为 12该圆锥的侧面积为 15分解因式 ： x= 16不等式组 的解集是 17如图，在菱形 ，点 P 是对角线 的一点， 点 E若 ，则点 P 到距离为 18如图， O 的直径，延长 ，使 B， O 于点 C，点 中点，弦 点 E若 O 的半径为 2，则 19矩形纸片 ，已知 ， ， E 是边 的点，以 折痕折叠纸片，使点 处，连接 直角三角形时， 长为 20如图，在四边形 ， D=6， 0，点 M、 N 分别在上若 N： ： 2，则 第 4页（共 31页） 三、解答题（其中 21分， 23各 8 分， 250分） 21先化简，再求值： （ 1+ ），其中 x=2 22如图，将 在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A、 B、 C 均落在格点上 （ 1）过 A、 B 的垂线段 之等于线段 的 2 倍； （ 2）在格点至少找出三个点，标上字母，使它们与 构成 的三角形与 面积相等，并写出结论 23某校 240 名学生参加植树活动，要求每人植树 4 7 棵，活动结束后抽查了 20 名学生每人的植树量，并分为四类： 棵、 棵、 C 类 6 棵、 D 类 7 棵，将各类的人数绘制成如图所示不完整的条形统计图，回答下列问题： （ 1）补全条形图； （ 2）写出这 20 名学生每人植树量的众数和中位数； （ 3）估计这 240 名学生共植树多少棵？ 24在 ， 0， D， 分 E，交 G， ，连接 （ 1）如图 1，求证：四边形 菱形； 第 5页（共 31页） （ 2）如图 2，若 G 的中点，过点 E 作 M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中是 倍的所有线段 25某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 13200 元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用 28800 元购进了第二批这种 衬衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵了 10 元 （ 1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （ 2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下 50 件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于 25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 26如图 1， O 的直径， E 为 O 上一点，过 E 作 O 的切线与 于点 D，连接 于点 F （ 1）求证： F； （ 2）如图 2，点 G 在 O 上，连接 点 K，连接 延长交 点 M，若 F，求证： （ 3）在（ 2）的条件下，若 ， ，求线段 长 27如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2+bx+c 交 x 轴于 A、 y 轴于点 C， ，交直线 D，直线 解析式为 y= x，点 D 的横坐标为 4 （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2） 在（ 1）中如图 2，点 P 为 y 轴左侧抛物线上一点，作 y 轴，垂足为 E，交抛物线另一侧于 F，连接 PE值； 第 6页（共 31页） （ 3）在（ 2）中如图 3，连接 M 为 y 轴正半轴上一点， N 为射线 一点，是否存在点 P 满足 N， 80，且 存在，求出此时 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 第 7页（共 31页） 2016 年黑龙江省哈尔滨市松北区中考数学模拟试卷（一） 参考答案与试题解析 一、选择题 1 的倒数是（ ） A 3 B C D 3 【考点】 倒数 【专题】 计算题 【分析】 根据倒数的定义可得到 的倒数为 3 【解答】 解： 的倒数为 3 故选 A 【点评】 本题考查了倒数的定义： a（ a0）的倒数为 2下列计算结果正确的是（ ） A（ 2= a2a3= 22= 2 D =1 【考点】 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂 【分析】 利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，零指数幂及负整数指数幂的法则判定即可 【解答】 解： A、（ 2=本选项不正确， B、 a2a3=本选项不正确， C、 22= 2，故本选项正确， D、 =0，故本选项不正确， 故选： C 【点评】 本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，零指数幂及负整数指数幂，解题的关键是熟记幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，零指数幂及负整数指数幂法则 第 8页（共 31页） 3在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案 【解答】 解： A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合， 此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合， 此图形不是轴对称图形，是 中心对称图形，故此选项错误 C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合， 此图形是轴对称图形，旋转 180不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项错误； D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合， 此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误 故选： A 【点评】 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键 4如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ） A两点确定一条直线 B两点之间线段最短 C垂线段最短 D在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【考点】 直线的性质：两点确定一条直线 【专题】 应用题 【分析】 根据公理 “两点确定一条直线 ”来解答即可 第 9页（共 31页） 【解答】 解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线 故选： A 【点评】 此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生生活联系实际的能力 5已知反比例函数 y= ，下列结论不正确的是（ ） A图象必经过点（ 1， 2） B y 随 x 的增大而增大 C图象在第二、四象限内 D若 x 1，则 y 2 【考点】 反比例函数的性质 【分析】 根据反比例函数的性质：当 k 0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随 x 的增大而增大进行分析即可 【解答】 解： A、图象必经过点（ 1， 2），说法正确，不合题意； B、 k= 2 0，每个象限内， y 随 x 的增大而增大，说法错误，符合题意； C、 k= 2 0，图象在第二、四象限内，说法正确，不合题意； D、若 x 1，则 2 y 0，说法正确，不合题意； 故选： B 【点评】 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质： （ 1）反比例函数 y= （ k0）的图象是双曲线； （ 2）当 k 0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小； （ 3）当 k 0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点 6如图是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体将正方体 移走后， 所得几何体（ ） A主视图改变，左视图改变 B俯视图不变，左视图不变 C俯视图改变，左视图改变 D主视图改变，左视图不变 第 10页（共 31页） 【考点】 简单组合体的三视图 【分析】 分别得到将正方体 移走前后的三视图，依此即可作出判断 【解答】 解：将正方体 移走前的主视图正方形的个数为 1， 2， 1；正方体 移走后的主视图正方形的个数为 1， 2；发生改变 将正方体 移走前的左视图正方形的个数为 2， 1， 1；正方体 移走后的左视图正方形的个数为 2，1， 1；没有发生改变 将正方体 移走前的俯视图正方形的个数为 1， 3， 1；正方体 移走后的俯视图正方形的个数， 1，3；发生改变 故选 D 【点评】 考查三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键 7已知一个多边形的内角和是 900，则这个多边形是（ ） A五边形 B六边形 C七边形 D八边形 【考点】 多边形内角与外角 【专题】 计算题 【分析】 设这个多边形是 n 边形，内角和是（ n 2） 180，这样就得到一个关于 n 的方程组，从而求出边数 n 的值 【解答】 解：设这个多边形是 n 边形， 则（ n 2） 180=900， 解得： n=7， 即这个多边形为七边形 故本题选 C 【点评】 根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决 8某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元已知两次降价的百分率都为 x，那么 ） A 100（ 1+x） 2=81 B 100（ 1 x） 2=81 C 100（ 1 x%） 2=81D 1001 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】 增长率问题 第 11页（共 31页） 【分析】 若两次 降价的百分率均是 x，则第一次降价后价格为 100（ 1 x）元，第二次降价后价格为100（ 1 x）（ 1 x） =100（ 1 x） 2 元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格 =81 元，由此等量关系列出方程即可 【解答】 解：设两次降价的百分率均是 x，由题意得： x 满足方程为 100（ 1 x） 2=81 故选： B 【点评】 本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程 9如图，已知直线 a b c，直线 m， n 与 a， b， c 分别交于点 A， C， E， B， D， F，若 ， ，则 值是（ ） A 4 B 5 D 考点】 平行线分线段成比例 【分析】 直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论 【解答】 解： 直线 a b c， ， ， ， = ，即 = ，解得 故选 B 【点评】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键 10在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程 y（千米）随时间 x（分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下列结论：（ 1）甲先到达终点；（ 2）前 30 分钟，甲在乙的前面；（ 3）第 48分钟时，两人第一次相遇；（ 4）这次比赛的全程是 28 千米，其中正确的个数是（ ） 第 12页（共 31页） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 一次函数的 应用 【分析】 （ 1）根据图象可知甲骑完全程所用时间短，即（ 1）成立； （ 2）结合 图象，甲的图象在乙的图象的上方，可知甲在乙的前面，（ 2）成立； （ 3）利用待定系数法求出甲图象 的函数解析式，代入 y=12，即可求出两人第一次相遇的时间，得出（ 3）成立； （ 4）由第一次相遇的交点坐标可求出乙的速度，结合路程 =速度 时间，可算出这次比赛的全程，由此判断出（ 4）不成立结合（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）即可得出结论 【解答】 解：（ 1） C 点横坐标为 86， D 点横坐标为 96， 由 86 96 可知，甲先到达终点，（ 1）成立； （ 2）图象 ，甲的图象在乙的上方， 即前 30 分钟，甲在乙的前面，（ 2）成立； （ 3）设 甲选手行驶的路程 y 关于时间 x 的函数关系式为 y=kx+b， 将 A、 ， 解得 ，即函数关系式为 y= x+ 令 y=12，可得 x+ =12，解得： x=48，（ 3）成立； （ 4）乙选手的速度为 1248= （千米 /分）， 次比赛的全程为 96=24（千米），（ 4）不成立 综上可知：（ 1）、（ 2）、（ 3）成立 故选 C 第 13页（共 31页） 【点评】 本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据图象结合数量关系逐条分析 4 条结论本题属于基础题，难度不大，解决给题型题目，数形结合是关键 二、填空题 11据不完全统计，我国常年参加志愿者服务活动的志愿者超过 65000000 人，把 65000000 用科学记数法表示为 07 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】 解：将 65000000 用科学记数法表示为： 07 故答案为： 07 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 12计算： = 【考点】 二次根式的加减法 【分析】 先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案 【解答】 解： =3 =2 故答案为： 2 【点评】 本题考查二次根式的减法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简是关键 13在函数 中，自变量 x 的取值范围是 x1 且 x 2 【考点】 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件 【专题】 计算题 【分析】 根据二次根式的 性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，就可以求解 【解答】 解：根据二次根式有意义，分式有意义得： 1 x0 且 x+20， 第 14页（共 31页） 解得： x1 且 x 2 故答案为： x1 且 x 2 【点评】 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数 14如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若 20，弧 长为 12该圆锥的侧面积为 108 【考点】 圆锥的计算 【分析】 首先求得扇形的 母线长，然后求得扇形的面积即可 【解答】 解：设 0=R， 20，弧 长为 12 =12， 解得： R=18， 圆锥的侧面积为 1218=108， 故答案为： 108 【点评】 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关计算公式，难度不大 15分解因式： x= x（ x 1） 2 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【分析】 先提取公因式 x，再利用完全平方公式进行二次分解完全平方公式：（ a b） 2=2ab+ 【解答】 解： x， = x（ 2x+1） （提取公因式） = x（ x 1） 2 （完全平方公式） 【点评】 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底在提取负号时，要注意各项符号的变化 第 15页（共 31页） 16不等式组 的解集是 1 x 1 【考点】 解一元一次不等式组 【分析】 分别解每一个不等式，再求解集的公共部分 【解答】 解： ， 解不等式 得： x 1， 解不等式 得： x 1， 所以不等式组的解集是 1 x 1 故答案为： 1 x 1 【点评】 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断还可以观察不等式的解，若 x较小的数、较大的数，那么解集为 x 介于两数之间 17如图，在菱形 ，点 P 是对角线 的一点， 点 E若 ，则点 P 到距离为 3 【考点】 角平分线的性质；菱形的性质 【专题】 计算题 【分析】 作 D，如图，根据菱形的性质得 分 后根据角平分线的性质得E=3 【解答】 解：作 D，如图， 四边形 菱形， 分 E=3， 即点 P 到 距离为 3 故答案为： 3 第 16页（共 31页） 【点评】 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等也考查了菱形的性质 18如图， O 的直径，延长 ，使 B， O 于点 C，点 中点，弦 点 E若 O 的半径为 2，则 2 【考点】 切线的性质；含 30 度角的直角三角形；垂径定理 【分析】 连接 O 于点 C，得到 0，由于 B，得到 据直角三角形的性质得出 D=30， 0，根据垂径定理即可得到结论 【解答】 解：连接 O 于点 C， 0， B， B， D=30， 0， O 的直径，点 中点， F， 第 17页（共 31页） C2 = ， 故答案为： 2 【点评】 本题考查了切线的性质垂径定理，直角三角形的性质，锐角三角函数，连接 造直角三 角形是解题的关键 19矩形纸片 ，已知 ， ， E 是边 的点，以 折痕折叠纸片，使点 处，连接 直角三角形时， 长为 3 或 6 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【专题】 分类讨论 【分析】 分两种情况： 当 0时，先判断出点 F 在对角线 ，利用勾股定理列式求出 BE=x，表示出 据翻折变换的性质可得 B， E，然后在 ，利用勾股定理列出方程求解即可； 当 0时，判断出四边形 正 方形，根据正方形的四条边都相等可得 B 【解答】 解： 当 0时，如图 1， B=90， 0， 点 A、 F、 C 共线， 矩形 边 ， D=8， 在 ， = =10， 设 BE=x，则 C x， 由翻折的性质得， B=6， E=x， C 0 6=4， 在 ， 第 18页（共 31页） 即 2=（ 8 x） 2， 解得 x=3， 即 ； 当 0时，如图 2， 由翻折的性质得， 90=45， 四边形 正方形， B=6， 综上所述， 长为 3 或 6 故答案为： 3 或 6 【点评】 本题考查了翻折变化的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，此类题目，利用勾股定理列出方程求解是常用的方法，本题难点在于分情况讨 论，作出图形更形象直观 20如图，在四边形 ， D=6， 0，点 M、 N 分别在上若 N： ： 2，则 【考点】 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形 【分析】 连接 过三角形全等，求得 0，从而求得 长，然后根据勾股定理求 得长，连接 M 点作 E，则 N=2，设 NE=x，表示出 据勾股定理即可求得 后求得 第 19页（共 31页） 【解答】 解： D=6， N： ： 2， N=2， N=4， 连接 接 0 在 ， ， 0， C， （ 22= 3 ， 在 ， M， 0， 等边三角形， M=， 过 M 点作 E，设 NE=x，则 x， 4 2 ） 2（ 2 x） 2， 解得： x= ， = ， ， ， 故答案为： 第 20页（共 31页） 【点评】 此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键 三、解答题（其中 21分， 23各 8 分， 250分） 21先化简，再求值： （ 1+ ），其中 x=2 【考点】 分式的化简求值 【分析】 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出 x 的值代入进行计算即可 【解答】 解：原式 = = = ， 当 x=2 = 1 时，原式 = = 【点评】 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法 则是解答此题的关键 22如图，将 在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A、 B、 C 均落在格点上 （ 1）过 A、 B 的垂线段 之等于线段 的 2 倍； （ 2）在格点至少找出三个点，标上字母，使它们与 构成的三角形与 面积相等，并写出结论 第 21页（共 31页） 【考点】 作图 复杂作图 【专题】 作图题 【分析】 （ 1）利用网格特点和旋转的性质把 逆时针和顺时针旋转 90得到 足条件，同样方法得到线段 （ 2）过点 C 的平行线，在此直线上找三个格点 M、 P、 Q，则有 S 【解答】 解：（ 1）如图 1，线段 所作； （ 2）如图， S 【点评】 本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂 作图拆解成基本作图，逐步操作 第 22页（共 31页） 23某校 240 名学生参加植树活动，要求每人植树 4 7 棵，活动结束后抽查了 20 名学生每人的植树量，并分为四类： 棵、 棵、 C 类 6 棵、 D 类 7 棵，将各类的人数绘制成如图所示不完整的条形统计图，回答下列问题： （ 1）补全条形图； （ 2）写出这 20 名学生每人植树量的众数和中位数； （ 3）估计这 240 名学生共植树多少棵？ 【考点】 条形统计图；用样本估计总体；中位数；众数 【专题】 图表型 【分析】 （ 1）根据抽查人数 减去 A、 B、 C 类人数，求出 D 类的人数，然后补全统计图即可； （ 2）根据众数的定义解答，根据中位数的定义，找出第 10 人和第 11 人植树的平均棵树，然后解答即可； （ 3）求出 20 人植树的平均棵树，然后乘以总人数 240 计算即可得解 【解答】 解：（ 1） D 类的人数为： 20 4 8 6=20 18=2 人， 补全统计图如图所示： ； （ 2）由图可知，植树 5 棵的人数最多，是 8 人， 所以，众数为 5， 按照植树的棵树从少到多排列，第 10 人与第 11 人都是植 5 棵数， 所以， 中位数是 5； 第 23页（共 31页） （ 3） = =）， 240272（棵） 答：估计这 240 名学生共植树 1272 棵 【点评】 本题考查的是条形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 24在 ， 0， D， 分 E，交 G， ，连接 （ 1）如图 1，求证 ：四边形 菱形； （ 2）如图 2，若 G 的中点，过点 E 作 M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中是 倍的所有线段 【考点】 菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）先证明四边形 平行四边形，再证明 G 即可 （ 2）先证明 分别证明 F=M， G 即可 【解答】 （ 1）证明： 0， 在 ， ， G， 0， 第 24页（共 31页） 0， 0， G， G， 四边形 平行四边形， G 四边形 菱形 （ 2） 解： 四边形 菱形， G， G， 0， E= 等边三角形， 0， 在 ， 0， C=30， E， C， M， 在 ， C=30， 0， 0， G=M， 四边形 平行四边形， F=M= 是 倍的所有线段有 第 25页（共 31页） 【点评】 本题考查菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形 30 度角的性质等知识，寻找全等三角形是解题的关键，必须熟练掌握 特殊三角形边角关系，属于中考常考题型 25某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 13200 元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用 28800 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵了 10 元 （ 1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （ 2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下 50 件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于 25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 【考点】 分式方程的应用；一元一次不等式的应用 【分析】 （ 1）可设该商家购进的第一批 衬衫是 x 件，则购进第二批这种衬衫是 2x 件，根据第二批这种衬衫单价贵了 10 元，列出方程求解即可； （ 2）设每件衬衫的标价 y 元，求出利润表达式，然后列不等式解答 【解答】 解：（ 1）设该商家购进的第一批衬衫是 x 件，则购进第二批这种衬衫是 2x 件，依题意有 +10= ， 解得 x=120， 经检验， x=120 是原方程的解，且符合题意 答：该商家购进的第一批衬衫是 120 件 （ 2） 3x=3120=360， 设每件衬衫的标价 y 元，依题意有 （ 360 50） y+50 13200+28800） （ 1+25%）， 解得 y150 答：每件衬衫的标价至少是 150 元 第 26页（共 31页） 【点评】 本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键 26如图 1， O 的直径， E 为 O 上一点，过 E 作 O 的切线与 于点 D，连接 于点 F （ 1）求证： F； （ 2）如图 2，点 G 在 O 上，连接 点 K，连接 延长交 点 M，若 F，求证： （ 3）在（ 2）的条件下，若 ， ，求线段 长 【考点】 圆的综合题 【分析】 （ 1）欲证明 F，只要证明 用等角的余角相等即可证明 （ 2）设 x，只要证明 80 2x， 0 x 即可 （ 3）在 用 ，设 a，则 a， a，列出方程求出 a，再根据 F 即可 【解答】 （ 1）证明：如图 1 中，连接 E， O 于点 E， 0， 0 ， 0， 0， 第 27页（共 31页） F （ 2）证明：如图 2 中，连接 直 径， 0， 0， 0， 设 x， F， x，