无锡市宜兴市丁蜀学区七校联考2016届中考数学模拟试卷含答案解析

第 1页（共 31页） 2016 年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区七校联考中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，共计 30 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1 2 的相反数是（ ） A 2 B 2 C D 2下列运算正确的是（ ） A（ 4=（ x） 2 x+x2=（ x+y） 2=x2+在正三角形、平行四边形、矩 形、菱形和圆这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形有（ ） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 4下列说法正确的是（ ） A两名同学 5 次成绩的平均分相同，则方差较大的同学成绩更稳定 B某班选出两名同学参加校演讲比赛，结果一定是一名男生和一名女生 C学校气象小组预报明天下雨的概率为 明天下雨的可能性较大 D为了解我是学校 “阳光体育 ”活动开展情况，必须采用普查的方式 5一组数据 2， 7， 6， 3， 4， 7 的众数和中位数分别是（ ） A 7 和 4 和 6 C 7 和 4 D 7 和 5 6已知圆柱的底面半径为 2为 4圆柱的侧面积是（ ） A 16 16 8 4下列命题中，是真命题的是（ ） A相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 B平分弦的直径垂直于弦 C依次连接四边形四边中点所组成的图形是矩形 D一组邻边相等的平行四边形是菱形 8若 ， 是方程 x 2005=0 的两个实数根，则 2+3+的值为（ ） A 2005 B 2003 C 2005 D 4010 第 2页（共 31页） 9如图，平面直角坐标系中，在边长为 1 的菱形 边上有一动点 P 从点 CD点 P 的纵坐标 y 与点 P 走过的路程 S 之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A B C D 10如图，正方形 接于 O，点 P 在劣弧 ，连接 点 Q若 O，则 的值为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共有 8 小题，每空 2分，共 16分） 11因式分解： 28x= 12江苏省的面积约为 102 600个数据用科学记数法可表示为 第 3页（共 31页） 13二次函数 y=4x+1 的顶点坐标为 14如图， O 的直径， 圆上的两点（不与 A、 已知 ， ，则 15一个 y 关于 x 的函数同时满足两个条件： （ 1）图象经过点（ 3， 2）； （ 2）当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大 这个函数解析式可以为 （写出一个即可） 16一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的 “面径 ”，封闭图形的周长与面径之比称为图形的 “周率 ”有三个平面图形（依次为正三角形、正方形、圆）的 “周率 ”依次为 a，b， c，则它们的大小关系是 17在菱形 ， 0角线 6M、 N 分别是 的动点，则 18如图，点 y= 的第一象限的 那一支上， y 轴于点 B，点 C 在 x 轴正半轴上，且 E 在线段 ，且 D 为 面积为 ，则 k 的值为 三、解答题（本大题共 10 小题，共计 84分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19计算： （ 1） +（ ） 1 2（ 2 ） 0； 第 4页（共 31页） （ 2）（ ） 20（ 1）解方程： +3= ； （ 2）解不等式组： 21如图，已知锐角 和线段 c，用 直尺和圆规求作一直角 ，斜边 AB=c（不需写作法，保留作图痕迹） 22某市为了增强学生体质，全面实施 “学生饮用奶 ”营养工程某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用某中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（ 2016黄冈一模）在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘（ 2016宜兴市校级一模）在 ，点 E 在边 ，点 F 在 延长线 上，且 D 求证： 25如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面 顶灯已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为 1m矩形面与地面所成的角 为 78李师傅的身高为 他攀升到头顶距天花板 ，安装起来比较方便 （ 1）求每条踏板间的垂直高度 （ 2）请问他站立在梯子的第几级踏板上安装比较方便？，请你通过计算判断说明 （参考数据 ： 第 5页（共 31页） 26如图 1， 水面上相邻的两条赛道（看成两条互相平行的线段） 甲是一名游泳运动健将，乙是一名游泳爱好者，甲在赛道 从 出发，到达 ，以同样的速度返回 ，然后重复上述过程；乙在赛道 以 2m/s 的速度从 出发，到达 以相同的速度回到 ，然后重复上述过程（不考虑每次折返时的减速和转向时间）若甲、乙两人同时出发，设离开池 边 距离为 y（ m），运动时间为 t（ s），甲游动时， y（ m）与 t（ s）的函数图象如图 2 所示 （ 1）赛道的长度是 m，甲的速度是 m/s； （ 2）分别写出甲在 0t20 和 20 t40 时， y 关于 t 的函数关系式：当 0t20， y= ；当20 t40 时， y= ； （ 3）在图 2 中画出乙在 2 分钟内的函数大致图象（用虚线画）； （ 4）请你根据（ 3）中所画的图象直接判断，若从甲、乙两人同时开始出发到 2 分钟为止，甲、乙共相遇了几次？ 2 分钟时，乙距池边 距离为多少 米 27如图，抛物线 y=4a 经过 A（ 1， 0）、 C（ 0， 4）两点，与 x 轴交于另一点 B （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）已知点 D（ m， m+1）在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 称的点的坐标； （ 3）在（ 2）的条件下，连接 P 为抛物线上一点，且 5，求点 P 的坐标 第 6页（共 31页） 28如图 1，在直角坐标系 ， O 是坐标原点，点 A在 x 正半轴上， 2 B在 2点 P 从点 O 开始沿 2 cm/s 的速度向点 点 cm/s 的速度向点 点 开始沿 2cm/s 的速度向点 果 P、 Q、 R 分别从 O、 A、 动时间为 t（ 0 t 6） s （ 1）求 （ 2）以 O与 于点 M，当 t 为何值时， O相切？ （ 3）是否存在 等腰三角形？ 若存在，请直接写出 t 值；若不存在，请说明理由 第 7页（共 31页） 2016 年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区七校联考中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，共计 30 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1 2 的相反数是（ ） A 2 B 2 C D 【考点】 相反数 【分析】 根据一 个数的相反数就是在这个数前面添上 “ ”号，求解即可 【解答】 解： 2 的相反数是：（ 2） =2， 故选 B 【点评】 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上 “ ”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数， 0 的相反数是 0不要把相反数的意义与倒数的意义混淆 2下列运算正确的是（ ） A（ 4=（ x） 2 x+x2=（ x+y） 2=x2+考点】 完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【专题】 计算题 【分析】 A、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； B、原式利用积的乘方及同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断； C、原式不能合并，错误； D、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断 【解答】 解： A、（ 4=误； B、（ x） 2 确； C、原式不能合并，错误； D、（ x+y） 2=xy+误， 故选 B 第 8页（共 31页） 【点评】 此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键 3在 正三角形、平行四边形、矩形、菱形和圆这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形有（ ） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【分析】 根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可 【解答】 解：正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； 平行四 边形不是轴对称图形，是中心对称图形； 矩形是轴对称图形，是中心对称图形； 菱形是轴对称图形，也是中心对称图形； 圆是轴对称图形，也是中心对称图形； 既是轴对称图形又是中心对称图形有 3 个， 故选： B 【点评】 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 4下列说法正确的是（ ） A两名同学 5 次成绩的平均分相同，则方差较大的同学成绩更稳定 B某班选出两名同学参加校演讲比赛，结果一 定是一名男生和一名女生 C学校气象小组预报明天下雨的概率为 明天下雨的可能性较大 D为了解我是学校 “阳光体育 ”活动开展情况，必须采用普查的方式 【考点】 概率的意义；全面调查与抽样调查；方差 【专题】 压轴题 【分析】 利用概率的意义、全面调查与抽样调查及方差的知识进行判断即可得到正确的答案 【解答】 解： A、根据方差的意义知方差越大越不稳定，故本选项错误； 第 9页（共 31页） B、随机抽取可能是两男生或两女生，故本选项错误； C、降水概率大下雨的可能性就大，故本选项正确； D、学校范围较大，可以采用抽样调查的方法， 故本选项错误； 故选： C 【点评】 本题考查了概率的意义、全面调查与抽样调查及方差的知识，知识点较多，但比较容易 5一组数据 2， 7， 6， 3， 4， 7 的众数和中位数分别是（ ） A 7 和 4 和 6 C 7 和 4 D 7 和 5 【考点】 众数；中位数 【分析】 根据众数和中位数的概念求解 【解答】 解：这组数据按照从小到大的顺序排列为： 2， 3， 4， 6， 7， 7， 则众数为： 7， 中位数为： =5 故选 D 【点评】 本题考查了众数和中位数的知识，一 组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 6已知圆柱的底面半径为 2为 4圆柱的侧面积是（ ） A 16 16 8 4考点】 圆柱的计算 【分析】 根据圆柱侧面积 =底面周长 高计算即可求得其侧面积 【解答】 解：根据侧面积公式可得 224=16 故圆柱的侧 面积是 16 故选： B 【点评】 本题主要考查了圆柱的侧面积的计算方法牢记圆柱的侧面积的计算方法是解题的关键 7下列命题中，是真命题的是（ ） A相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 第 10页（共 31页） B平分弦的直径垂直于弦 C依次连接四边形四边中点所组成的图形是矩形 D一组邻边相等的平行四边形是菱形 【考点】 命题与定理 【分析】 根据圆心角、弧、弦的关系对 据垂径定理的推论对 据三角形中位线性质和平行四边形的判定方法对 C 进行判断；根据菱形的判定方法对 D 进行判断 【解 答】 解： A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所以 B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以 C、依次连接四边形四边中点所组成的图形是平行四边形，所以 C 选项错误； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以 D 选项正确 故选 D 【点评】 本考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成 “如果 那么 ”形式 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 8若 ， 是方程 x 2005=0 的两个实数根，则 2+3+的值为（ ） A 2005 B 2003 C 2005 D 4010 【考点】 根与系数的关系；一元二次方程的解 【专题】 整体思想 【分析】 根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可设 关于 x 的一元二次方程 bx+c=0（ a0， a， b， c 为常数）的两个实数根，则 x1+， 而 2+3+=2+2+（ +），即可求解 【解答】 解： ， 是方程 x 2005=0 的两个实数根，则有 += 2 是方程 x 2005=0 的根，得 2+2 2005=0，即： 2+2=2005 所以 2+3+=2+2+（ +） =2+2 2=2005 2=2003 故选 B 【点评】 本题考查了根与系数的关系与方程根的定义，要求能将根与系数的关系、方程根的定义与代数式变形相结合解题 第 11页（共 31页） 9如图，平面直角坐标系中，在边长为 1 的菱形 边上有一动点 P 从点 ABCD点 P 的纵坐标 y 与点 P 走过的路程 S 之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A B CD 【考点】 动点问题的函数图象 【专题】 压轴题；动点型 【分析】 要找出准确反映 y 与 x 之间对应关系的 图象，需分析在不同阶段中 y 随 x 变化的情况 【解答】 解：由题意知当从 ABC 时，纵坐标从 2 到 后到 1， 当从 CD坐标从 1 到 后到 2， 故选 A 【点评】 本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识，具有很强的综合性 10如图，正方形 接于 O，点 P 在劣弧 ，连接 点 Q若 O，则 的值为（ ） 第 12页（共 31页） A B C D 【考点】 相交弦定理；勾股定理 【专题】 计算题 【分析】 设 O 的半径为 r， QO=m，则 QP=m， QC=r+m， QA=r m利用相交弦定理，求出 m 与r 的关系，即用 r 表示出 m，即可表示出所求比值 【解答】 解：如图，设 O 的半径为 r， QO=m，则 QP=m， QC=r+m， QA=r m 在 O 中， 根据相交弦定理，得 C=D 即（ r m）（ r+m） =m以 连接 勾股定理，得 即 ， 解得 所以， 故选 D 【点评】 本题考查了相交弦定理，即 “圆内两弦相交于圆内一点， 各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等 ”熟记并灵活应用定理是解题的关键 第 13页（共 31页） 二、填空题（本大题共有 8 小题，每空 2分，共 16分） 11因式分解： 28x= 2x（ x+2）（ x 2） 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【专题】 因式分解 【分析】 先提公因式 2x，分解成 2x（ 4），而 4 可利用平方差公式分解 【解答】 解： 28x=2x（ 4） =2x（ x+2）（ x 2） 故答案为： 2x（ x+2）（ x 2） 【点评】 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用 平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底 12江苏省的面积约为 102 600个数据用科学记数法可表示为 05 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【专题】 应用题 【分析】 科学记数法就是将一个数字表示成（ a10 的 n 次幂的形式），其中 1|a| 10， n 表示整数 ，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以 10 的 n 次幂 【解答】 解： 102 600=05 【点评】 用科学记数法表示一个数的方法是 （ 1）确定 a： a 是只有一位整数的数； （ 2）确定 n：当原数的绝对值 10 时， n 为正整数， n 等于原数的整数位数减 1；当原数的绝对值1 时， n 为负整数， n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零） 13二次函数 y=4x+1 的顶点坐标为 （ 2， 3） 【考点】 二次函数的性质 【分析】 把二次函数化成顶点式，可得出二次函数的顶点坐标 【解答】 解： y=4x+1=（ x 2） 2 3， 其顶点坐标为（ 2， 3）， 故答案为：（ 2， 3） 第 14页（共 31页） 【点评】 本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二 次函数的顶点式 y=a（ x h） 2+k 的顶点坐标为（ h， k）是解题的关键 14如图， O 的直径， 圆上的两点（不与 A、 已知 ， ，则 【考点】 圆周角定理；解直角三角形 【专题】 压轴题 【分析】 由圆周角定理知， B= D；由 O 的直径得到 0已知 ， ，由勾股定理可求 【解答】 解： B= D， = ， O 的直径， 0 = 【点评】 本题利用了圆周角定理和直径所对的圆周角是直角及勾股定理求解 15一个 y 关于 x 的函数同时满足两个条件： （ 1）图象经过点（ 3， 2）； （ 2）当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大 这个函数解析式可以为 y=x+5 （写出一个即可） 【考点】 一次函数的性质 【专题】 开放型 第 15页（共 31页） 【分析】 根据 y 随 x 的增大而增大，可得 k 值大于 0，根据图象过点（ 3， 2），可得函数解析式 【解答】 解： 图象经过（ 3， 2）点； 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大，这个函数解析式为 y=x+5， 故答案为： y=x+5 【点评】 本题考查了函数关系式，先确定 k 值，再求过点（ 3， 2）的函数解析式 16一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的 “面径 ”，封闭图形的周长与面径之比称为图形的 “周率 ”有三个平面图形（依次为正三角形、正方形、圆）的 “周率 ”依次为 a，b， c，则它们的大小关系是 c b a 【考点】 正方形的性质；认识平面图形 【专题】 新定义 【分析】 设等边三角形的边长是 a，求出等边三角形的周长，即可求出等边三角形的周率 正方形的边长是 x，根据勾股定理求出对角线的长，即可求出周率； 求出圆的周长和直径即可求出圆的周率，比较即可得到答案 【解答】 解：设等边三角形的边长是 a，则等边三角形的周率 a= =3， 设正方形的边长是 x，由勾股定理得：对角线是 x，则正方形的周率是 b= =2 圆的周率是 c= =， 所 以 c b a 故答案是： c b a 【点评】 本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键 17在菱形 ， 0角线 6M、 N 分别是 的动点，则 【考点】 轴对称 形的性质 【分析】 根据菱形的性质得到 O，推出 A， C 关于 称 ，过 N D 于 M，则 N= N 的最小，根据勾股定理得到 2据菱形的面积公式即可得到结论 【解答】 解：如图，在菱形 ， 第 16页（共 31页） O， A， C 关于 称， 过 N N 交 M， 则 N= N 的最小， 06 =6， 2 S 菱形 D=D， = = N 的最小值为 ， 故答案为： 【点评】 此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及锐角三角函数关系应用，利用轴对称得出 M 点位置是 解题关键 18如图，点 y= 的第一象限的那一支上， y 轴于点 B，点 C 在 x 轴正半轴上，且 E 在线段 ，且 D 为 面积为 ，则 k 的值为 【考点】 反比例函数综合题 【专题】 探究型 第 17页（共 31页） 【分析】 连接 面积为 ，得到 面积为 ，则 面积为 2，设 a， b），则 k=AB=a， a， D= b，利用 S 梯形 值进而得出结论 【解答】 解：连 图， 面积为 ， 面积为 ， 面积为 2， 设 a， b），则 AB=a， a， 点 D 为 D= b， S 梯形 （ a+2a） b= a b+2+ 2a b， ， 把 A（ a， b）代入双曲线 y= 得， k= 故答案为： 【点评】 本题考查 了反比例函数综合题，熟知若点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用三角形的面积公式和梯形的面积公式建立等量关系等知识是解答此题的关键 三、解答题（本大题共 10 小题，共计 84分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19计算： 第 18页（共 31页） （ 1） +（ ） 1 2（ 2 ） 0； （ 2）（ ） 【考点】 分式的混合运算；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）原式第一项利用平方根定义计算，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果； （ 2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果 【解答】 解：（ 1）原式 =2+2 2 +1=4； （ 2）原式 = （ x+1）（ x 1） = 【点评】 此题考查了分式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20（ 1）解方程： +3= ； （ 2）解不等式组： 【考点】 解分式方程；解一元一次不等式组 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解； （ 2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可 【解答】 解：（ 1）去分母得： 2 x+3（ x 3） = 2， 移项合并得： 2x=5， 解得： x= 经检验， x=原方程的根， 则原方程的根是 x= 第 19页（共 31页） （ 2） ， 由 得： x 1； 由 得： x4， 则不等式的解集为 1 x4 【点评】 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是 “转化思想 ”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 21如图，已知锐角 和线段 c，用直尺和圆规求作一直角 ，斜边 AB=c（不需写作法，保留作图痕迹） 【考点】 作图 复杂作图 【分析】 作 ，在射线 截取 AB=c，过点 M 的垂线，垂足为 C 从而 是所要求作的三角形 【解答】 解：如图所示， 为所求 【点评】 本题考查的是学生运用基本作图知识来作复杂图的能力，本题中作图的理论依据是全等三角形判定中的 22某市为了增强学生体质，全面实施 “学生饮用奶 ”营养工程某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用某中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（ 2016黄冈一模）在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘；没有说明等可能性扣） 第 20页（共 31页） 【点评】 此题考查 的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率 =所求情况数与总情况数之比 24在 ，点 E 在边 ，点 F 在 延长线上，且 D 求证： 【考点】 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质 【专题】 证明题 【分析】 根据平行四边形的性质可得 D， C， 而可得 后再证明 F，利用 理可证明 而可得结论 【解答】 证明： 四边形 平行四边形， D， C， 又 D， F， F， 在 ， ， 【点评】 此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边相等且平行 25如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面 顶灯已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为 1m矩形面与地面所成 第 21页（共 31页） 的角 为 78李师傅的身高为 他攀升到头顶距天花板 ，安装起来比较方便 （ 1）求每条踏板间的垂直高度 （ 2）请问他站立在梯子的第几级踏板上安装比较方便？，请你通过计算判断说明 （参考数据： 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 （ 1）过点 E 点 E，先根据等腰三角形三线合一的性质得出 后在 根据正切函数的定义求出 C 每条踏板间的垂直高度为： = m； （ 2）设他站立在梯子的第 n 级踏板上安装比较方便，此时他的头顶距天花板 用含 n 的代数式表示 h，于是 h=n=n，再根据 h到 n不等式组求出 n而得到整数 n 的值 【解答】 解：（ 1）如图，过点 E 点 E C， 点 E， 在 ， ， C 每条踏板间的垂直高度为： = （ m）； （ 2）设他站立在梯子的第 n 级踏板上安装比较方便，此时他的头顶距天花板 由题意，得 h=n=n， h 第 22页（共 31页） n 解得 n n 为整数， n=3 答：他站立在梯子的第 3 级踏板上安装比较方便 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用要求学生应用数学知识解决问题，在正确分析题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题 26如图 1， 水面上相邻的两条赛道（看成两条互相平行的线段） 甲是一名游泳运动健将，乙是一名游泳 爱好者，甲在赛道 从 出发，到达 ，以同样的速度返回 ，然后重复上述过程；乙在赛道 以 2m/s 的速度从 出发，到达 以相同的速度回到 ，然后重复上述过程（不考虑每次折返时的减速和转向时间）若甲、乙两人同时出发，设离开池边 距离为 y（ m），运动时间为 t（ s），甲游动时， y（ m）与 t（ s）的函数图象如图 2 所示 （ 1）赛道的长度是 50 m，甲的速度是 25 m/s； （ 2）分别写出甲在 0t20 和 20 t40 时， y 关于 t 的函数关系式：当 0t20， y= 0 ；当 20 t40 时， y= 3t 60 ； （ 3）在图 2 中画出乙在 2 分钟内的函数大致图象（用虚线画）； （ 4）请你根据（ 3）中所画的图象直接判断，若从甲、乙两人同时开始出发到 2 分钟为止，甲、乙共相遇了几次？ 2 分钟时，乙距池边 距离为多少米 第 23页（共 31页） 【考点】 一次函数的应用 【分析】 （ 1）由函数图象可以直接得出赛道的长度为 50 米，由路程 时间 =速度就可以求出甲的速度 （ 2）先根据图象的形状，可判断出甲在 0t20 和 20 t40 时， y 都是 t 的一次函数，设出其解析式，再运用待定系数法求解； （ 3）乙的速度为 2m/s，由 达 路程为赛道的长度 50m，根据时间 =路程 速度，即可求出乙船由 达 时间为 25s；乙船在 2 分钟内可运动 2 个来回，每 25s 可从赛道一端运动到另外一端，起点在原点，据此在图 2 中画出乙船在 2 分钟内的函数图象； （ 4）两个图象的交点个数即为相遇次数，根据乙船在 2 分钟内可运动 2 个来回，每 25s 可从赛道一端运动到另外一端，所以 2 分钟时，乙距池边 距离为 20 秒所游的路程 【解答】 解：（ 1）由图象，得 赛 道的长度是： 50 米， 甲的速度是： 5020=s 故答案为： 50， 25； （ 2）当 0t20 时，设 y= 把（ 0， 50），（ 20， 0）代入得： ， 解得： y= 0， 当 20 t40 时，设 y= 把（ 20， 0），（ 40， 60）代入得： ， 第 24页（共 31页） 解得： y=3t 60 故答案为： y= 0， y=3t 60 （ 3）因为赛道的长度为 50 米，乙的速度为 2 米 /秒，所以乙船由 达 时间为 25 秒； 乙在 2 分钟内的函数图象如图 5 所示： （ 4）从上图可知甲、乙共相遇 5 次 2 分钟 =120 秒， 120 254=20（ s）， 2 分钟时，乙距池边 距离为： 202=40（米） 【点评】 本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了分段函数，以及分段函数的图象及其应用，解决本 题的关键是用待定系数法求函数解析式，以及数形结合的思想与方法 27如图，抛物线 y=4a 经过 A（ 1， 0）、 C（ 0， 4）两点，与 x 轴交于另一点 B （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）已知点 D（ m， m+1）在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 称的点的坐标； （ 3）在（ 2）的条件下，连接 P 为抛物线上一点，且 5，求点 P 的坐标 【考点】 二次函数综合题 【专题】 压轴题 第 25页（共 31页） 【分析】 方法一： （ 1）分析抛物线过两点 ，由待定系数求出抛物线解析式； （ 2）根据 D、 E 中点坐标在直线 ，求出 D 点关于直线 称点的坐标； （ 3）有两种方法：法一作辅助线 F， E，根据几何关系，先求出 设出 P 点坐标，根据几何关系解出 P 点坐标；法二过点 D 作 垂线交直线 ，过点D 作 x 轴于 H过 Q 点作 G，由角的关系，得到 求出直线 出方程组从而解出 P 点坐标 方法二： （ 1）略 （ 2）利用直线 率求出直线 率进而求出 线方程，并求出 交点 F 坐标，再利用中点公式求出 E 点坐标 （ 3）过 D 点作 垂线，构造等腰直角三角形，利用 “开锁法 ”即点在坐标系中平移，旋转，再平移，求出 求出 直线方程，再与抛物线方程联立，从而求出 P 点坐标 【解答】 方法一： 解：（ 1） 抛物线 y=4a 经过 A（ 1， 0）、 C（ 0， 4）两点， ， 解得 ， 抛物线的解析式为 y= x+4； （ 2） 点 D（ m， m+1）在抛物 线上， m+1= m+4， 即 2m 3=0 m= 1 或 m=3 点 D 在第一象限 点 D 的坐标为（ 3， 4） 由（ 1）知 B 5 设点 D 关于直线 对称点为点 E 第 26页（共 31页） C（ 0， 4） 5 E 点在 y 轴上，且 D=3 E（ 0， 1） 即点 D 关于直线 称的点的坐标为（ 0， 1）； （ 3）方法一：作 F， E， 由（ 1）有： C=4 5 5 C（ 0， 4）， D（ 3， 4） D=3 5 E= C=4 C 设 t，则 t， t 4 P（ 5t+4， 3t） P 点在抛物线上 3t=（ 5t+4） 2+3（ 5t+4） +4 t=0（舍去）或 t= P（ ， ）； 第 27页（共 31页） 方法二：过点 D 作 垂线交直线 ，过点 D 作 x 轴于 H，过 Q 点作 G， 5， B， 0， 又 0，