平面应力状态下的应力研究.ppt

9 2平面应力状态下的应力研究 应力圆 平面应力状态的普遍形式如图9 2a所示 单元体上有 x x和 y y 单元体用平面图形来表示 图9 2b 一 斜截面上的应力 1 截面法 假想地沿斜截面ef将单元体截分为二 图9 2b 留下左边部分的单体元ebf作为研究对象 图9 2c b b 研究对象的受力如图9 2d所示 设斜截面的面积为dA eb的面积为dAcos bf的面积为dAsin b 2 平面应力状态下 任一斜截面 截面 上的应力 的计算公式 二 主应力和主平面 主应力 主平面上的正应力称为主应力 主平面 一点处剪应力等于零的平面称为主平面 说明 一点处必定存在这样的一个单元体 三个相互垂直的面均为主平面 三个互相垂直的主应力分别记为 1 2 3且规定按代数值大小的顺序来排列 即 三 平面应力状态分析 解析法 当即正应力达到极值的面上 剪应力必等于零 此平面为主平面 正应力的极值为主应力 由公式 求出 0就可确定主平面的位置 将 0代入公式 得到 max和 min 主应力 1 主应力 2 主平面的位置 以 1代表 max作用面的方位角 2代表 min作用面的方位角 若 例8 4简支梁如图所示 已知m n截面上A点的弯曲正应力和剪应力分别为 70MPa 50MPa 确定A点的主应力及主平面的方位 解 m n a A A l 解 A 因为 x A x 四 平面应力状态分析 应力圆 1 应力圆的概念 当斜截面随方位角 变化时 其上的应力 在 直角坐标系内的轨迹是一个圆 圆心位于横坐标轴 轴 上 离原点的距离为半径为此圆习惯上称为应力圆 或称为莫尔圆 2 应力圆作法 b 该圆的圆心C点到坐标原点的距离为 半径为 该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆 D1点的坐标为 x x 因而D1点代表单元体x平面上的应力 3 利用应力圆求单元体上任一 截面上的应力 从应力圆的半径CD1按方位角 的转向转动2 得到半径CE 圆周上E点的 坐标就依次为 证明略 说明 4 利用应力圆求主应力数值和主平面位置 A1和A2两点为与主平面对应的点 其横坐标为主应力 1 2 确定后 1对应的主平面方位即确定 由此可定出主应力 1所在平面的位置 由于A1A2为应力圆的直径 则 2所在的另一主平面与 1所在的主平面垂直 如图9 4c所示 x 平面应力圆画法 应力圆作法总结 例题9 1从水坝体内某点处取出的单元体如图所示 x 1MPa y 0 4MPa x 0 2MPa y 0 2MPa 解 1 画应力圆 OB2 y 0 4MPa和B2D2 y 0 2MPa 定出D2点 OB1 x 1MPa B1D1 x 0 2MPa 定出D1点 以D1D2为直径绘出的圆即为应力圆 将半径CD1逆时针转动2 60 到半径CE E点的坐标就代表 30 斜截面上的应力 2 确定 30 斜截面上的应力 3 确定 40 斜截面上的应力 将半径CD1顺时针转2 80 到半径CF F点的坐标就代表 40 斜截面上的应力 例题9 2两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a b所示 梁的横截面尺寸示于图c中 试绘出截面c上a b两点处的应力圆 并用应力圆求出这两点处的主应力 解 首先计算支反力 并作出梁的剪力图和弯矩图 MC 80kN m QC左 200kN 横截面C上a点的应力为 a点的单元体如图所示 以D1D2为直径作应力圆 A1 A2两点的横坐标分别代表a点的两个主应力 1和 3 A1点对应于单圆体上 1所在的主平面 主平面及主应力如图所示 b点的单元体如图所示 B点的三个主应力为 1所在的主平面就是x平面 即梁的横截面C a 解析法求a点的主平面