非正弦周期量电路分析.ppt

2020年3月31日7时39分 第4章非正弦周期量电路分析 2020年3月31日7时39分 第4章非正弦周期量电路分析 4 1非正弦周期量的分解4 2非正弦周期量的有效值与平均值4 3非正弦周期电流的线性电路计算4 4非正弦周期电流电路的平均功率 2020年3月31日7时39分 第4章非正弦周期量电路分析 在电工技术和电子技术中常常会遇到非正弦变化的电压和电流 例如 在三极管放大电路中 各部分的工作电压和电流都是交 直流两种电量的叠加 所以是非正弦量 又如 脉冲波 方波是计算机和自动控制系统中常使用的信号 它们均是非正弦信号 如图4 1所示是几种非正弦波形 图4 1非正弦波形 2020年3月31日7时39分 4 1非正弦周期量的分解 设非正弦周期函数f t 的周期为T 其角频率为 函数f t 的傅里叶级数的展开式为式中 a0 ak和bk称为傅里叶系数 可按以下公式求得 2020年3月31日7时39分 4 1非正弦周期量的分解 若把式 4 1 中同频率的正弦量和余弦量合并 傅里叶级数还可以写成另一种形式比较式 4 1 和式 4 3 得出两式之间有下列关系 2020年3月31日7时39分 4 1非正弦周期量的分解 例4 1 求图4 2所示周期性方波u t 的傅里叶级数展开式 解 由式 4 2 可得各项系数 图4 2例4 1图 2020年3月31日7时39分 4 1非正弦周期量的分解 根据式 4 1 周期性方波电压的傅里叶展开式为 2020年3月31日7时39分 4 1非正弦周期量的分解 表4 1给出了常见的非正弦周期函数波形及相应的傅里叶级数展开式 应用时可直接查表 表4 1常见的非正弦周期函数波形及相应的傅里叶级数 2020年3月31日7时39分 4 1非正弦周期量的分解 2020年3月31日7时39分 4 1非正弦周期量的分解 2020年3月31日7时39分 4 2非正弦周期量的有效值与平均值 1 有效值任何周期电流i 或电压u 的有效值在3 1 2节中已经定义过 即设某一非正弦周期电流的傅里叶级数为则其有效值 2020年3月31日7时39分 4 2非正弦周期量的有效值与平均值 将上式右边平方后 展开得以下各项 即 2020年3月31日7时39分 4 2非正弦周期量的有效值与平均值 将以上4式代入 4 5 式中 得式中 I1 I2 是各次谐波分量的有效值 同理 非正弦周期电压的有效值为由此得出 非正弦周期电流 或电压 的有效值 等于它的直流分量的平方与各次谐波分量有效值的平方和的平方根 2020年3月31日7时39分 4 2非正弦周期量的有效值与平均值 2 平均值 非正弦周期电流i或电压u的平均值 定义为其绝对值在一个周期内的平均值 用下式表示若是横轴对称的奇次谐波函数 即 可取半个周期计算其平均值 即 2020年3月31日7时39分 4 2非正弦周期量的有效值与平均值 研究非正弦周期电流的平均值的物理意义是为了计算经全波整流电路之后电流 电压的平均值 这是因为取电流 电压的绝对值相当于把交流量的负半周的值变为相对应的正值 如图4 4所示的正弦电压波形的平均值 所以 常把交流电流 或交流电压 的绝对值在一个周期内的平均值定义为整流平均值 图4 4正弦电压波形的平均值 2020年3月31日7时39分 4 2非正弦周期量的有效值与平均值 例4 2 求图4 5所示波形电流的有效值和平均值 解 根据图4 5写出电流在一个周期内的数学表达式为根据有效值的定义 有效值为 图4 5例4 2图 2020年3月31日7时39分 4 2非正弦周期量的有效值与平均值 平均值为 例4 3 计算图4 6所示周期方波电压的有效值和平均值 解 周期方波电压的数学表达式为 图4 6例4 3图 2020年3月31日7时39分 4 2非正弦周期量的有效值与平均值 方波电压的有效值为方波电压的平均值为 2020年3月31日7时39分 4 3非正弦周期电流的线性电路计算 对于一个已知的非正弦周期电压 或电流 激励可以分解为傅里叶级数此时把该激励看做由直流电压源与一系列不同频率的正弦交流电压源的串联 它们共同作用于电路之中 如图4 7所示 图4 7非正弦周期电压作用于线性电路 2020年3月31日7时39分 4 3非正弦周期电流的线性电路计算 例4 4 如图4 8 a 所示的R L C串联电路 电路中的电压u 40 180sin t 60sin 3 t 45 V 并已知R 10 L 0 05H C 50 F 314rad s 试求电路中的电流i及电流的有效值 图4 8例4 4图 2020年3月31日7时39分 4 3非正弦周期电流的线性电路计算 解 因为电压展开式已知 所以首先应用叠加定理 令直流分量单独作用 其等效电路如图4 8 b 所示 电路中的电流为I0 0 L短路 C开路 基波分量作用 其等效电路如图4 8 c 所示 电路阻抗和电流分别为 2020年3月31日7时39分 4 3非正弦周期电流的线性电路计算 基波电压作用的等效电路电流的时域值为三次谐波作用的等效电路如图4 8 d 所示 电路阻抗和电流分别为 2020年3月31日7时39分 4 3非正弦周期电流的线性电路计算 三次谐波电压作用的电路电流的时域值为电路电流为电流的有效值为 2020年3月31日7时39分 4 3非正弦周期电流的线性电路计算 例4 5 半波整流电压的波形如图4 9 a 所示 其中周期T 10ms 求其通过如图4 9 b 所示的RL滤波电路后的输出电压u 解 由表4 1查出给定电压的傅里叶级数 图4 9例4 5图 2020年3月31日7时39分 4 3非正弦周期电流的线性电路计算 取前3项进行计算 Um 100V 电压uS为uS t 31 8 50sin t 21 2cos2 t直流分量作用 电感短路 故U0 31 8V 基波分量作用 感抗为输出电压的基波分量为 2020年3月31日7时39分 4 3非正弦周期电流的线性电路计算 基波电压的瞬时值为 U1 t 15 2sin t 72 3 V 二次谐波作用 感抗为 XL2 2 L 2XL1 628 输出电压的二次谐波分量为二次谐波电压的瞬时值为U2 t 3 3cos 2 t 81 V 2020年3月31日7时39分 4 3非正弦周期电流的线性电路计算 将各分量的瞬时值进行叠加 输出电压的瞬时值为u t 31 8 15 2sin t 72 3 3 3cos 2 t 81 V 从以上计算结果可以看出 半波整流的电压信号经过RL滤波电路之后 直流分量不变 而高次谐波的振幅衰减很大 输出电压的脉动大大减小 电路具有低通作用 2020年3月31日7时39分 4 4非正弦周期电流电路的平均功率 对线性一端口网络 设其端电压为非正弦周期电压 端电流为相同周期的非正弦周期电流 根据电功率的定义 该线性一端口网络吸收的瞬时功率为p t u t i t 式中则电路吸收的平均功率是瞬时功率在一个周期内的平均值 即 2020年3月31日7时39分 4 4非正弦周期电流电路的平均功率 将式 4 12 展开 并积分求和 可得出下列5个式子 2020年3月31日7时39分 4 4非正弦周期电流电路的平均功率 第 5 式中的Uk和Ik分别为k次谐波电压和电流的有效值 为k次谐波电压与电流的相位差 其中 2 3 4 式的积分值等于0 说明不同频率的电压和电流不能构成平均功率 这是由于三角函数的正交性质所形成的结果 第 1 式积分值为电压和电流的直流分量的乘积 即直流分量构成的功率P0 I0U0 第 5 式为同次谐波电压和电流的乘积 其积分结果为各次谐波构成的平均功率的叠加 即 2020年3月31日7时39分 4 4非正弦周期电流电路的平均功率 因此 非正弦周期电流电路的平均功率为非正弦周期电流电路的平均功率等于直流分量 基波分量和各次谐波分量分别产生的平均功率之和 根据等效条件 等效的正弦电压和正弦电流之间的相位差为 2020年3月31日7时39分 4 4非正弦周期电流电路的平均功率 例4 6 在如图4 10所示电路中 求电流i的有效值和电路所消耗的功率 解 根据KCL i i1 i2 利用三角公式可以得出电流的有效值为电路所消耗的功率为 图4 10例4 6图 2020年3月31日7时39分 4 4非正弦周期电流电路的平均功率 例4 7 电路如图4 11所示 求电流i和电压uab 并验证功率平衡 图4 11例4 7图 2020年3月31日7时39分 4 4非正弦周期电流电路的平均功率 解 利用叠加定理 具体步骤如下 1 直流分量作用I0S 0 此时iS看做开路 U0S 0 2V 电容开路 电感短路 电压uab与电流的直流分量分别为 2 基波分量作用二者共同作用 此时电感L 1H和电容C 1F产生并联谐振 其并联谐振阻抗为 视做开路 电流i1与电压uab1分别为 2020年3月31日7时39分 4 4非正弦周期电流电路的平均功率 3 二次谐波分量作用iS2 0 看做开路 单独