圆锥曲线第二讲——双曲线

圆锥曲线第二讲圆锥曲线第二讲 双曲线双曲线 一 基础练习 一 基础练习 1 已知 12 5 0 5 0 FF 曲线上的动点P到 21 F F 距离之差为 6 则双曲线的方程为 2 双曲线的渐近线为 xy 2 3 则离心率为 3 设 P 为双曲线 1 12 2 2 y x 上的一点 F1 F2 是该双曲线的两个焦点 若 PF1 PF2 3 2 则 PF1F2的面积为 4 设 1 e 2 e 分别为具有公共焦点 1 F 与 2 F 的椭圆和双曲线的离心率 P为两曲线的一个公共点 且 满足 0 21 PFPF 则 2 21 2 2 2 1 ee ee 的值为 5 双曲线kx2 y2 1 的一条渐近线与直线 2x y 1 0 垂直 则此双曲线的离心率是 6 2010 年苏州调研 双曲线 1 的右焦点为F 右准线与一条渐近线交于点A AOF的面积 x2 a2 y2 b2 为 则两条渐近线的夹角为 a2 2 7 2009 年高考江西卷改编 设F1和F2为双曲线 1 a 0 b 0 的两个焦点 若 x2 a2 y2 b2 F1 F2 P 0 2b 是正三角形的三个顶点 则双曲线的离心率为 8 2010 年南通市质检 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为 x2 a2 y2 b2 F1 F2 P是双曲线上一点 且PF1 PF2 PF1 PF2 4ab 则双曲线的离心率是 9 已知双曲线C 1 a 0 b 0 的一个焦点是F2 2 0 离心率e 2 x2 a2 y2 b2 1 求双曲线C的方程 2 若以k k 0 为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M N 线段MN的垂直平分线与两 坐标轴围成的三角形的面积为 4 求实数k的取值范围 二 知识梳理 二 知识梳理 1 双曲线的定义 1 第一定义 当 2121 2 FFaPFPF 时 P的轨迹为双曲线 当 2121 2 FFaPFPF 时 P的轨迹不存在 当 2121 2 FFaPFPF 时 P的轨迹为以 21 FF 为端点的两条射线 2 双曲线的第二义 双曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化 解析 平面内到定点F与定直线l 定点F不在定直线l上 的距离之比是常数e 1 e 的点的轨迹为双 曲线 2 双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 焦点 0 0 cc 0 0 cc 焦距c2 范围 Ryax Rxay 顶点 0 0 aa 0 0 aa 对称性关于 x 轴 y 轴和原点对称 离心率 1 c e a 准线 c a x 2 c a y 2 性 质 渐近线 x a b y x b a y 与双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 共渐近线的双曲线系方程为 0 2 2 2 2 b y a x 与双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 共轭的双曲线为 22 22 1 yx ba 有相同的渐近线 相同焦距 等轴双曲线 222 ayx 的渐近线方程为 xy 离心率为 2 e 焦点在焦点在x x轴上的双曲线的焦半径 轴上的双曲线的焦半径 PFPF1 1 exex0 0 a a x x0 0 0 0 PFPF2 2 exex0 0 a a x x0 0 0 0 或或 PFPF1 1 exex0 0 a a x x0 0 0 0 PFPF2 2 exex0 0 a a x x0 0 0 0 的左 右焦点分别为F1 F2 其一条渐近线 x2 2 y2 b2 方程为y x 点P y0 在该双曲线上 则 1 2 3 PF PF 5 已知点F A分别为双曲线C 1 a 0 b 0 的左焦点 右顶点 点B 0 b 满 x2 a2 y2 b2 足 0 则双曲线的离心率为 FB AB 6 2009 年高考辽宁卷 已知F是双曲线 1 的左焦点 A 1 4 P是双曲线右支上的一动点 x2 4 y2 12 则 PF PA 的最小值为 7 2009 年高考全国卷 改编 已知双曲线C 1 a 0 b 0 的右焦点为F 过F且斜率为 x2 a2 y2 b2 的直线交C于A B两点 若A 4 则双曲线C的离心率为 3 F FB 8 2009 年高考湖南卷 已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四 边形中 有一个内角为 60 则双曲线C的离心率为 9 2010 年淮安 宿迁 徐州 连云港四市调研 如图 已知双曲线以长方形ABCD的顶点A B为左 右焦点 且过C D两顶点 若AB 4 BC 3 求此双曲线的标准方程 10 已知双曲线的中心在原点 焦点F1 F2在坐标轴上 离心率为 且过点 2 M 4 1 求双曲线方程 10 2 若点N 3 m 在双曲线上 求证 1 N2 0 NF F 3 求 F1NF2的面积 11 在 PAB中 已知A 0 B 0 动点P满足 PA PB 4 66 1 求动点P的轨迹方程 2 设M 2 0 N 2 0 过点N作直线l垂直于AB 且l与直线MP交于点Q 试在x轴上确定一 点T 使得PN QT 3 在 2 的条件下 设点Q关于x轴的对称点为R 求 的值 OP OR 一 基础练习答案 一 基础练习答案 1 解析 一要注意是否满足 21 2FFa 二要注意是一支还是两支 106 21 PFPF P的轨迹 是双曲线的右支 其方程为 0 1 169 22 x yx 2 解析 当焦点在 x 轴上时 2 3 a b 2 13 e 当焦点在 y 轴上时 2 3 b a 3 13 e 3 解析 2 3 13 12 1 21 PFPFcba由 又 22 21 aPFPF 由 解得 4 6 21 PFPF 52 52 2 21 2 2 2 1 FFPFPF 为 21F PF 直角三角形 1246 2 1 2 1 21 21 PFPFS FPF 4 解析 设 aPFPF2 21 mPFPF2 21 maPF 1 maPF 2 222 4 cmama 2 11 2 2 2 2 1 222 ee cma 5 解析 由题意知k 0 因为双曲线的渐近线y x中有一条与直线 2x y 1 0 垂直 所 k 以 2 1 即k 因此双曲线中a 2 c 所以离心率e 答案 k 1 45 c a 5 2 5 2 6 解析 据题意令Error yA 故S AOF c a b 故双曲线渐近线的方程为 ab c 1 2 ab c a2 2 y x 因此其夹角为直角 答案 90 7 解析 tan60 4b2 3c2 4 c2 a2 3c2 c2 4a2 4 e 2 PO F1O 2b c3 c2 a2 答案 2 8 解析 因为PF1 PF2 所以有Error 即 4c2 4a2 8ab 所以b 2a c2 5a2 即e 5 9 解 1 由已知得c 2 e 2 a 1 b 所求的双曲线方程为x2 1 3 y2 3 2 设直线l的方程为y kx m k 0 点M x1 y1 N x2 y2 的坐标满足方程组Error 将 式代入 式 整理得 3 k2 x2 2kmx m2 3 0 此方程有两个不等实根 于是 3 k2 0 且 2km 2 4 3 k2 m2 3 0 整理得 m2 3 k2 0 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标 x0 y0 满足x0 y0 kx0 m x1 x2 2 km 3 k2 3m 3 k2 从而线段MN的垂直平分线方程为y x 3m 3 k2 1 k km 3 k2 此直线与x轴 y轴的交点坐标分别为 0 0 4km 3 k2 4m 3 k2 由题设可得 4 整理得m2 k 0 1 2 4km 3 k2 4m 3 k2 3 k2 2 2 k 将 式代入 式得 3 k2 0 整理得 k2 3 k2 2 k 3 0 k 0 解得 0 k 3 k的取值范围是 3 0 0 3 33 三 互动展示答案三 互动展示答案 1 2 解题思路 这是一个存在性问题 可转化为最值问题来解决 解析 方法 1 由定义知 12 2PFPFa 又已知 12 4 PFPF 解得 1 8 3 PFa 2 2 3 PFa 在 12 PFF 中 由余弦定理 得 2 222 21 8 9 8 17 3 2 3 8 2 4 9 4 9 64 cose aa caa PFF 要求e的最大值 即求 21 cosPFF 的最小值 当 1cos 21 PFF 时 解得 5 3 e 即e的最大值为 5 3 方法 2 ac a PF a PF PFa PF PF 2 1 2 1 2 22 2 2 1 双曲线上存在一点 P 使 12 4 PFPF 等价于 3 5 4 2 1 e ac a 方法 3 设 yxP 由焦半径公式得 aexPFaexPF 21 21 4PFPF 4 aexaex x a e 3 5 ax 3 5 e e的最大值为 5 3 3 解析 1 依题意 有 2222 3523mnmn 即 22 8mn 即双曲线方程为 22 22 1 163 xy nn 故双曲线的渐近线方程是 22 22 0 163 xy nn 即 xy 4 3 2 设渐近线 xy 4 3 与直线 cxl 交于 A B 则 2 3 c AB 2 3 2 1c cS OAB 4 3 解得 1 c 即 1 22 ba 又 4 3 a b 19 3 19 16 22 ba 正确答案 c4 3 解解 设设动动圆圆 M 的的半半径径为为 r 则则由由已已知知 MC1 r 2 MC2 r 2 MC1 MC2 2 2 又又 C1 4 0 C2 4 0 C1C2 8 2 2 b B1F1B2 60 B1F1O 30 在 B1OF1中 tan30 b c b c 3 3 1 e2 e 答案 c2 a2 c2 1 3 a2 c2 1 3 a2 c2 2 3 c2 a2 3 2 6 2 6 2 9 解 设双曲线的标准方程为 1 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 由题意 得B 2 0 C 2 3 Error 解得Error 双曲线的标准方程为x2 1 y2 3 10 解 1 e 故可等轴设双曲线的方程为x2 y2 2 过点M 4 210 16 10 6 双曲线方程为x2 y2 6 2 证明 由 1 可知 在双曲线中 a b c 2 F1 2 0 F2 2 0 6333 2 3 m 2 3 m N 1 N2 2 3 2 3 NF1 3 NF2 3 F F 33 m2 3 m2 N点在双曲线上 9 m2 6 m2 3 0 NF1 NF2 3 F1NF2的底 F1F2 4 高h m S F1NF2 6 33 11 解 1 PA PB 40 b 0 由已知 得Error 解得Error b 动点P的轨迹方程 x2 a y2 b22 为 1 x 2 x2 4 y2 2 2 由题意知 直线MP的斜率存在且不为 0 直线l的方程为x 2 设MP的方程为y k x 2 点Q是直线l与直线MP的交点 Q 2 4k 设P x0 y0 由Error 整理得 1 2k2 x2 8k2x 8k2 4 0 则此方程必有两个不等实根x1 2 x2 x0 2 1 2k2 0 且 2x0 即x0 y0 k x0 2 8k2 4 1 2k2 4k2 2 1 2k2 P 4k 1 2k2 4k